Deux, trois mots sur l’Aérodynamique (IV) Régime fluide parfait incompressible…1/2 Cas d’un profil symétrique - NACA0012…1/6 Cas d’un profil dissymétrique - Wortman Fx13.7…1/4 On a vu la complexité des coefficients aérodynamiques en fonction de la géométrie de l’obstacle, des conditions de vol et des caractéristiques physiques de l’air. De plus, si l’analyse dimensionnelle nous a donné les bons paramètres sans dimension, elle n’a pas donné l’expression de la fonction qui fournit les coefficients aérodynamiques. Résultats fondamentaux en fluide parfait incompressible 2D …1/4 Conclusions

Régime fluide parfait incompressible… 1/2 Dans ce régime, moyennant un écoulement uniforme à l’infini amont, D. Bernoulli (1700-1782) a établi le résultat : ou Le groupement est appelée « pression dynamique ». C’est, également, une énergie cinétique par unité de volume… Chaque fois que la pression dynamique croît, la pression p décroît et inversement. Le groupement est la pression maximale de l’écoulement obtenue au(x) points(s) d’arrêt.

Régime fluide parfait incompressible… 2/2 Plutôt que de travailler avec la pression, il est préférable d’utiliser… un paramètre sans dimension, le coefficient de pression, défini par : Qui devient, avec la relation de D. Bernoulli : Intérêt de la définition du Cp…Il est clair que la pression constante p∞ ne crée aucun effort…C’est donc uniquement l’écart par rapport à cette valeur qui est important. En plus la valeur de p∞ est grande par rapport à 1/2 rho V∞^2…Exemple : p∞ = 101325 N/m^2…prenons V∞=30 m/s, rho∞=1.225 kg/m^3… 1/2 rho V∞^2≈ 540 N/m^2…ridicule…Donc en évacuant p∞ on rend visible l’influence de l’obstacle. Pression ou coefficient de pression évoluent dans le même sens avec la vitesse… L’intégration des Cp, en divisant par Sref, donne directement les coefficients aérodynamiques. Noter que Cpmax = 1 obtenu au(x) point(s) d’arrêt.

Cas d’un profil symétrique : NACA0012 - 1/6 Cp > 0 Cp < 0 Cp min = -0.41205 En réalité, le Cx obtenu numériquement n’est pas rigoureusement nul, mais égal, ici, à 21 10^-5 (la discrétisation est en 360 px) L’abscisse du Cmin est à 11,42% alors que le maître-couple est à 29.66% Le point d’arrêt au BA est exactement en x = 0% Localement, la vitesse maximale (obtenue au Cp min) vaut ≈ 1,19 fois V∞…Si V∞ vaut 30 m/s (108 Km/h), alors, la vitesse max sur le profil est de 35,65 m/s Cza = 0 ; Cxa = 0 ; CmBA= 0

Cas d’un profil symétrique : NACA0012 - 2/6 Cp > 0 Cp < 0 Cp min = -0.7872 Cza = 0.23819 - rho=1.225 kg/m^3 - Sref = 260 m^2 - Va = 100 km/h = De même que dans la planche précédente, le Cx obtenu numériquement n’est pas rigoureusement nul, mais égal, ici, à 22 10^-5 (la discrétisation est en 240 px) L’abscisse du Cmin extrados est à 3.17% alors que côté intrados, le Cp min est à 23.14% Le point d’arrêt au BA est passé légèrement côté intrados, en x = 0.108% A l’extardos la vitesse max est maintenant 1,34 fois V∞…Pour fixer les idées, avec toujours V∞ = 30 m/s…la vitesse locale atteint un peu plus de 40 m/s Cp min = -0.21421 Cza = 0.23716 ; Cxa = 0 ; CmBA = 0.06117

Cas d’un profil symétrique : NACA0012 - 3/6 Cp > 0 Cp < 0 Cp min = -1.51754 De même que dans la planche précédente, le Cx obtenu numériquement n’est pas rigoureusement nul, mais égal, ici, à 26 10^-5 (la discrétisation est en 240 px) L’abscisse du Cmin extrados est à 1.19% alors que côté intrados, le Cp min (-0,08151) est à 34.14% Le point d’arrêt au BA continue sa migration vers l’intrados en x =0.43% Côté extrados…Vmax fait ≈ 1,59 fois V∞…Toujours avec V∞=30 m/s…on aurait Vmax = 47,6 m/s Cza = 0.47403 ; Cxa = 0 ; CmBA = 0.12205

Cas d’un profil symétrique : NACA0012 - 4/6 Cp > 0 Cp < 0 Cp min = -2.65087 De même que dans la planche précédente, le Cx obtenu numériquement n’est pas rigoureusement nul, mais égal, ici, à 32 10^-5 (la discrétisation est en 240 px) L’abscisse du Cmin extrados est à 0.52% alors que côté intrados, le Cp min (devenu positif0.01466) est à 47.82% Le point d’arrêt continue à se déplacer côté intrados et atteint x = 0.9% Côté extrados…Vmax fait ≈ 1,91 fois V∞…Toujours avec V∞=30 m/s…on aurait Vmax = 57,3 m/s Cza = 0.71031 ; Cxa = 0 ; CmBA = 0.18232

Cas d’un profil symétrique : NACA0012 - 5/6 Cp > 0 Cp < 0 Cp min = -4.18548 De même que dans la planche précédente, le Cx obtenu numériquement n’est pas rigoureusement nul, mais égal, ici, à 41 10^-5 (la discrétisation est en 360 px) L’abscisse du Cmin extrados est à 0.32% alors que côté intrados, le Cp min (devenu positif) est à 63.36% Le point d’arrêt continue à se déplacer côté intrados et atteint x = 0.9% Côté extrados…Vmax fait ≈ 2,28 fois V∞…Toujours avec V∞=30 m/s…on aurait Vmax = 68,3 m/s Cza = 0.94572 ; Cxa = 0 ; CmBA = 0.24171

Cas d’un profil symétrique : NACA0012 - 6/6 Autre façon de présenter la distribution de Cp sur un profil, simplement en fonction de l’abscisse réduite x/l. Comme, à l’extrados, l’écoulement va plus vite qu’à l’intrados, le Cp y est plus faible. On trace alors les Cp tête en bas, de sorte que, pour une incidence donnée, la courbe supérieure correspond au dessus du profil (et la courbe inférieure, au dessous) Le profil étant symétrique, lorsqu’il est à 0° d’incidence, l’écoulement est parfaitement symétrique haut-bas..Les Cp extrados et intrados coïncident…d’où la courbe unique en noir. Par contre, dès que l’on met de l’incidence, l’écoulement est dissymétrique. Les couleurs froides sont pour l’extrados, alors que les couleurs chaudes sont pour l’intrados On note que plus l’incidence augmente, plus les Cp intrados augmentent alors qu’à l’inverse, les Cp extrados diminuent. Corrélativement la différence Cp- - Cp+ croît d’où l’augmentation de la portance avec l’incidence.

Cas d’un profil dissymétrique : 1/4

Cas d’un profil dissymétrique 2/4

Cas d’un profil dissymétrique 3/4

Cas d’un profil dissymétrique 4/4 Gradient de pression à  = 0° Gradient de pression à  = 4° Notez qu’au-delà de 0°, on a bien visuellement la courbe Cp extrados au-dessus de celle intrados. Par contre à -2° les courbes se croisent…si la distribution de Cp avait été tracée pour l’incidence de portance nulle la surface avec Cp--Cp+ >0 (qui donne du Cz>0) aurait été exactement compensée par la surface où Cp--Cp+ <0 (qui donne du Cz<0)

Résultats fondamentaux en Fluide parfait incompressible 2D plan Les résultats théoriques, confortés par les calculs numériques, dans cette modélisation, sont : Coefficient de traînée : Cxa = 0 Paradoxe de d’Alembert (1717-1783) Coefficient de portance : Cza = k sin( - 0) Exploitation du théorème de Joukowski (1847-1904) Le résultat pour la traînée a été jugé suffisamment surprenant pour être qualifié de paradoxe..De paradoxe, il n’y en a pas…le résultat est juste cohérent avec les hypothèses qui permettent de l’établir….on est en Fluide parfait, incompressible,stationnaire… et 2D plan…. 4 hypothèses….On peut affirmer, pratiquement, qu’en en changeant une seule et en gardant les trois autres, va apparaître de la traînée… Il existe un point fixe F, appelé « foyer », autour duquel le moment est indépendant de l’incidence, soit CmF = cte. Ne pas confondre, en général, le foyer et le centre de poussée P tel que CmP = 0.

Résultats fondamentaux en Fluide parfait incompressible 2D plan L’angle 0 est l’incidence de portance nulle…qui dépend essentiellement de la cambrure relative… Pour tout profil symétrique 0 = 0…de même que CmF. Le gradient de portance dû à l’incidence k = [∂Cz/∂]=0 dépend à la fois des épaisseur et cambrure relatives. Puisque le moment est indépendant de l’incidence, le moment peut être calculé au foyer pour n’importe quelle incidence…Pour un profil symétrique, l’incidence nulle est particulièrement intéressante…puisque l’écoulement est symétrique et les forces locales et moments locaux s’annulent entre l’extrados et l’intrados. Pourquoi le sinus a disparu ? Simplement parce que, lorsque un angle est faible, la valeur de son sinus est très proche de l’angle lui-même exprimé en radian.. On peut vérifier que jusqu’à 14° (soit environ 0.244 radians) on commet une erreur inférieure à 1% en confondant le sinus et l’angle. Pour les profils minces (faibles épaisseur et cambrure relatives), la valeur de k est voisine de k ≈ 2π …et le foyer est proche du quart avant du profil. Pour ce type de profils, et à faible incidence, a-t-on : Cza ≈ 2π ( - 0)

Résultats fondamentaux en Fluide parfait incompressible 2D plan Exemple de résultats théoriques pour le NACA0012 : k = 6.7953 - 0 = 0° - CmF = 0 - xF/l = 0.2581 - y F/l = 0 Exemple de résultats théoriques pour le Wortman Fx13.7 On note les valeurs théoriques de k légèrement supérieures à 2π en raison de l’épaisseur (NACA0012) ou de l’épaisseur et de la cambrure (Wortman). En fluide réel, la valeur de k va être réduite et se rerouvera finalement assez proche de 2π. La forte cambrure du Wortman induit cette incidence de portance nulle fortement négative. On note que les abscisses du foyer sont très proches de la valeur 1/4 (profil mince). k = 6.8308 - 0 = -8.91° - CmF = 0.2322 - xF/l = 0.2530 - yF/l = 0.0025

Résultats fondamentaux en Fluide parfait incompressible 2D plan Un petit exemple très simple…le squelette en arc de cercle, cas particulier de profils Joukowki…pour lesquels les solutions sont analytiques… c l Pourquoi avoir choisi cet exemple ? Tout simplement parce, sur Internet, figure souvent une « explication » à la portance qui commence en ces termes «  comme le trajet est plus long côté extrados, qu’à l’intrados, la vitesse est plus grande et la pression plus faible, d’où la portance ». S’il est vrai que la portance provient d’un écart de pression entre le haut et le bas, et que, bien sûr, un coefficient de portance positif, nécessite une pression moyenne extrados plus faible qu’à l’intrados, donc une vitesse moyenne plus importante, ceci ne provient pas d’une histoire de trajet. Il est du reste curieux que personne ne se pose la question du temps de parcours…car comment déduire une vitesse avec pour seule donnée une longueur…sans avoir le moindre temps. En l’occurrence, sur l’exemple donné, squelette en arc de cercle, à incidence nulle, on note que les particules fluide ont exactement la même longueur à parcourir, du BA au BF, c’est la longueur de l’arc de cercle, et pourtant, il y a bien une portance en 4π c barre ! Qui conduit au gradient de portance : Et une incidence de portance nulle telle que : Placé à 0° d’incidence, l’écoulement se raccorde tangentiellement aux bords d’attaque et de fuite. La portance vaut .

Conclusions Trois résultats fondamentaux ont été donnés… …mais dans le cadre restreint du modèle : « fluide parfait », soit Rel infini…   « incompressible », soit M∞= 0… Le résultat pour la traînée a été jugé suffisamment surprenant pour être qualifié de paradoxe..De paradoxe, il n’y en a pas…le résultat est juste cohérent avec les hypothèses qui permettent de l’établir….on est en Fluide parfait, incompressible,stationnaire… et 2D plan…. 4 hypothèses….On peut affirmer, pratiquement, qu’en en changeant une seule et en gardant les trois autres, va apparaître de la traînée… « 2D plan, soit  infini… Avant d’aborder les effets spécifiques de la viscosité, il est plus commode de rester en « fluide parfait 2D plan stationnaire » et de chercher les effets du nombre de Mach. A suivre…donc…

Braquage d’une gouverne On a vu que, pour n’importe quel profil, le coefficient de portance s’écrivait, en fluide parfait : Cza = k sin( - 0) Braquer une gouverne, un volet, un aileron, sur un profil, change juste l’objet ! Ainsi, le gradient de portance k dû à l’incidence et l’incidence de portance nulle 0, sont liés aux deux paramètres sans dimension (lv/l, ) . Le résultat pour la traînée a été jugé suffisamment surprenant pour être qualifié de paradoxe..De paradoxe, il n’y en a pas…le résultat est juste cohérent avec les hypothèses qui permettent de l’établir….on est en Fluide parfait, incompressible,stationnaire… et 2D plan…. 4 hypothèses….On peut affirmer, pratiquement, qu’en en changeant une seule et en gardant les trois autres, va apparaître de la traînée…  angle en radian, toujours positif vers le bas lv/l longueur de la gouverne ramenée à la corde A suivre…donc…

Braquage d’une gouverne Sur ce NACA0012, le volet fait 30% de la corde, et le braquage de 10° : Le résultat pour la traînée a été jugé suffisamment surprenant pour être qualifié de paradoxe..De paradoxe, il n’y en a pas…le résultat est juste cohérent avec les hypothèses qui permettent de l’établir….on est en Fluide parfait, incompressible,stationnaire… et 2D plan…. 4 hypothèses….On peut affirmer, pratiquement, qu’en en changeant une seule et en gardant les trois autres, va apparaître de la traînée… A suivre…donc…

Braquage d’une gouverne Sur ce NACA0012, le volet fait 30% de la corde, et le braquage de 10° : Le résultat pour la traînée a été jugé suffisamment surprenant pour être qualifié de paradoxe..De paradoxe, il n’y en a pas…le résultat est juste cohérent avec les hypothèses qui permettent de l’établir….on est en Fluide parfait, incompressible,stationnaire… et 2D plan…. 4 hypothèses….On peut affirmer, pratiquement, qu’en en changeant une seule et en gardant les trois autres, va apparaître de la traînée…