Oscillateur harmonique Signaux physiques 1: Oscillateur harmonique

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimental 1°/ Observations

Dispositif électrique de repérage de la position Ressort Masse métallique

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation Question: Proposer une modélisation du dispositif, c’est-à-dire identifier les éléments essentiels et les schématiser.

Remarque: L’axe vertical Oz est orienté exceptionnellement vers le bas par commodité, nous reviendrons dessus plus tard O On passe à l’horizontale, par souci de simplification, sans que cela change quoi que ce soit dans le principe, ce qui sera montré plus tard. z

O M x Support horizontal idéal (sans frottements) z - Choix de l’axe Ox - Choix des origines ( x = 0 et t = 0) - On peut compléter avec un axe vertical - Réduction de la masse à un point matériel accroché à l’extrémité du ressort.

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures

Les oscillations sont quasi infinies Modélisation par une fonction sinusoïdale: x(t) = A0cos(wt + f) Mesures de : - La période T - L’amplitude A0

T = 0,94 s 9 périodes pour 8,5 s 2A = 7x 200 mV A = 700 mV

Calculs de : - la fréquence f = 1 / T - la pulsation w = 2 p f Remarques: la phase  peut-être mesurée, nous y reviendrons plus loin

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système

Réaction (verticale car il n’y a pas de frottements) N Poids P =m g Réaction (verticale car il n’y a pas de frottements) N Ressort F R M O x N F R P

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort Question: Proposer un protocole expérimental permettant de déterminer la force exercée par le ressort.

Principe de mesure: On accroche successivement différentes masses à l’extrémité du ressort. A l’équilibre, on mesure l’allongement du ressort ce qui permet de déterminer la relation force appliquée / allongement. Protocole de mesure: On accroche une masse connue à l’extrémité du ressort. On attend l’équilibre et l’on mesure alors la longueur « l » du ressort d’une extrémité à l’autre avec un réglet. On répète cela avec différentes valeurs de la masses. Exploitation des mesures: On fait l’hypothèse d’un comportement linéaire : F R = - k (l – l0) u x k : raideur du ressort (N.m-1) l0 : longueur à vide Traitement avec regressi: raideur ressort.rw3

La courbe confirme le modèle linéaire, on peut alors déterminer : La raideur : k = 14,6  1 N.cm-1 La longueur à vide : 11,2  0,9 cm

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement

(la masse reste sur l’axe Ox) Le référentiel du laboratoire peut-être considérer comme galiléen pour ce type de mouvement. On applique le Principe Fondamental de la Dynamique (ou deuxième loi de Newton): m a =m g + N + F R En projection : Sur Ox m x =−k x− l 0 (1) En utilisant la notation : 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥 𝑒𝑡 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = 𝑥 Sur Oz m z =0=−mg+N (la masse reste sur l’axe Ox) N = mg

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre

On cherche la valeur de x = xeq qui correspond à la position d’équilibre. Cela correspond à : x =0 et x =0 L’équation (1) devient : 0=−k x eq − l 0 Soit x eq = l 0 L’équation (1) devient : m x =−k (x − x eq )

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental

Il n’y a pas de force N puisqu’il n’y a pas de support m a =m g + F R z O Le référentiel du laboratoire peut toujours être considérer comme galiléen pour ce type de mouvement. On applique le Principe Fondamental de la Dynamique (ou deuxième loi de Newton): Il n’y a pas de force N puisqu’il n’y a pas de support m a =m g + F R En projection : Sur Oz m z =mg−k z− l 0 (2)

On cherche la valeur de z = zeq qui correspond à la position d’équilibre. Cela correspond à : z =0 et z =0 L’équation (2) devient : 0=mg−k z eq − l 0 Soit z eq = l 0 + mg k L’équation (2) devient : m z =−k (z − z eq ) Cette équation est identique à celle du paragraphe précédent, les deux dispositifs sont donc identiques.

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre

Le dispositif modélisé est caractéristique d’un oscillateur harmonique. Un dispositif se comportant comme un oscillateur harmonique est décrit par une équation différentielle du mouvement caractéristique : x + k m x= k m x eq Elle fait apparaître un paramètre caractéristique : k m

k m est homogène à l’inverse d’un temps au carré : T-2 Quelle est la dimension de k m ? k m est homogène à l’inverse d’un temps au carré : T-2 On appelle pulsation propre de l’oscillateur harmonique: w0 = k m en rad.s-1

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle

x + ω 0 2 x= ω 0 2 x eq d 2 x dt 2 + ω 0 2 x= ω 0 2 x eq L’équation différentielle s’écrit alors de manière caractéristique: x + ω 0 2 x= ω 0 2 x eq d 2 x dt 2 + ω 0 2 x= ω 0 2 x eq Cette équation différentielle est caractéristique d’un oscillateur harmonique. - Elle permet de l’identifier. - Elle permet de déterminer la pulsation propre de l’oscillateur harmonique : w0

Si l’on écrit cette équation différentielle sous une forme « plus mathématique »: f’’+ ω 0 2 f=a Analysons cette équation pour mieux comprendre les solutions: Le second membre caractérise le régime permanent. Il est constant donc en régime permanent x est constant : Equilibre !! L’équation homogène caractérise le régime transitoire. f’’ + ω 0 2 f = 0

Oscillateur harmonique I-Dispositif expérimentale 1°/ Observations 2°/ Schématisation 3°/ Observations quantitatives - Mesures II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions

Vérifier ! f(t) = fh(t) + fp(t) La solution f(t) est composé : - d’une solution homogène fh(t) vérifiant l’équation homogène fh’’+ ω 0 2 fh= 0 - d’une solution particulière, vérifiant l’équation différentielle avec 2nd membre, dont la forme est identique à celle du 2nd membre. fp(t) = constante f(t) = fh(t) + fp(t) Pour une équation différentielle de ce type : fh(t) = A cos(w0 t) + B sin(w0 t) ou fh(t) = C cos(w0 t + f) ou évidemment fh(t) = C sin(w0 t + ) Vérifier !

xp(t) = constante = a ω 0 2 = xeq Il s’agit d’une équation différentielle du deuxième ordre il y a donc deux constantes d’intégrations A et B (ou C et  ou  ) On déterminera ces deux constantes à l’aide des Conditions Initiales : x(t = 0) et x (t = 0) Mais avant il faut déterminer la solution particulière La forme de la solution particulière est donnée par celle du 2nd membre. xp(t) = constante = a ω 0 2 = xeq

En première approximation ! La solution est donc de la forme: x(t) = C cos(w0 t + f) + xeq Par comparaison entre la simulation sinusoïdale et l’acquisition du mouvement on valide le modèle. En première approximation !

Oscillateur harmonique II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions 4°/ Cas particulier

La solution est donc de la forme: x(t) = C cos(w0 t + f) + xeq Pour déterminer complètement cette solution il faut se fixer des conditions initiales, par exemple: x(t = 0 ) = xeq + X0 x (t = 0) = 0 x(t) = X0 cos(w0 t ) + xeq

Oscillateur harmonique II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions 4°/ Cas particulier 5°/ Analyse du mouvement sinusoïdal

Oscillations sinusoïdales autour de la position d’équilibre Oscillations sans fin (non amorties) Amplitude A0 Pulsation 0 Retrouvons ces caractéristiques sur notre dispositif expérimental !

Oscillateur harmonique II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions 4°/ Cas particulier 5°/ Analyse du mouvement sinusoïdal 6°/ Notion de phase

t est une grandeur algébrique, positive pour un retard Le décalage temporel par rapport à la fonction cos(0t) constitue le déphasage La fonction cos(0 t +  ) est décalée par rapport à la fonction cos(0t ) d’un intervalle de temps t. C’est-à-dire quelle reproduit la fonction cos(0t ) mais à l’instant (t + t ). t est une grandeur algébrique, positive pour un retard négative pour une avance. cos(0 (t + t) +  ) = cos(0t )

 = - 0 t  = - 𝜋 2 quadrature retard  = + 𝜋 2 quadrature avance En radians - Le choix de l’origine du temps est arbitraire ! Il se traduit par une phase à l’origine. - Tout décalage apparaît à travers un déphasage.  = - 𝜋 2 quadrature retard  = + 𝜋 2 quadrature avance  =  opposition de phase

Oscillateur harmonique II- Modélisation 1°/ Actions sur le système 2°/ Modélisation de la force de rappel du ressort 3°/ Equation du mouvement 4°/ Position d’équilibre 5°/ Lien avec le dispositif expérimental III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions 4°/ Cas particulier 5°/ Analyse du mouvement sinusoïdal 6°/ Notion de phase 7°/ Expression de la vitesse

v(t) = x (t) = - w0 X0 sin(w0 t ) Comportement sinusoïdal de pulsation w0 v(t) = x (t) = - w0 X0 sin(w0 t ) x(t) = X0 cos(w0 t ) + xeq La vitesse est nulle pour 0t = 0 ou  La position x = xeq pour 0t =  𝜋 2 (décalage d’un quart de période)

Courbe de la position en trait plein, courbe de la vitesse en pointillé

Remis à une même échelle pour faciliter la comparaison !

Oscillateur harmonique III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions 4°/ Cas particulier 5°/ Analyse du mouvement sinusoïdal 6°/ Notion de phase 7°/ Expression de la vitesse IV- Conservation de l’énergie 1°/ Energie cinétique

Ec(t) = 1 2 m ω 0 2 X 0 2 sin 2 (w0 t ) = 1 2 k X 0 2 sin 2 (w0 t ) Ec(t) = 1 2 m v 2 En Joule (J) Ec(t) = 1 2 m ω 0 2 X 0 2 sin 2 (w0 t ) = 1 2 k X 0 2 sin 2 (w0 t )

Oscillateur harmonique III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions 4°/ Cas particulier 5°/ Analyse du mouvement sinusoïdal 6°/ Notion de phase 7°/ Expression de la vitesse IV- Conservation de l’énergie 1°/ Energie cinétique 2°/ Energie potentielle

A la force F R =−k x− x eq u x est associée une énergie potentielle Ep(t) = 1 2 k (x− x eq ) 2 En Joule (J) Ep(t) = 1 2 k X 0 2 cos 2 (w0 t ) Il s’agit d’une énergie qui peut être stockée.

Oscillateur harmonique III- Equation caractéristique d’un oscillateur harmonique 1°/ Pulsation propre 2°/ Equation différentielle 3°/ Solutions 4°/ Cas particulier 5°/ Analyse du mouvement sinusoïdal 6°/ Notion de phase 7°/ Expression de la vitesse IV- Conservation de l’énergie 1°/ Energie cinétique 2°/ Energie potentielle 3°/ Energie mécanique

L’ensemble de l’énergie stockée dans un système mécanique sous toutes les formes disponibles constitue l’énergie mécanique: Em(t) Em(t) = Ec(t) + Ep(t) Em(t) = 1 2 k X 0 2 L’énergie mécanique est constante. Le mouvement correspond uniquement à un échange entre les deux formes d’énergies possibles. Ainsi le mouvement ne s’arrête pas (il s’agit de la modélisation idéale) !