Couche limite et micrométéorologie Le problème de fermeture Types de fermeture Fermeture d’ordre 0 : La théorie de similitude de Monin-Obukov ou de la couche de surface. Exemple : le profil vertical du vent

Équation pronostique moment Nombre d ’équations Nombre d ’inconnues Le problème de fermeture dans la CLA Le nombre d ’inconnues est plus élevé que le nombre d’équations...

Équations de Boussinesq : les termes de Reynolds Variation local du vent Advection Force de gradient de pression Force de Coriolis Force de flottabilité Force de frottement turbulent

Équations de Boussinesq : les termes de Reynolds Variation locale de la température Advection de température Chaleur sensible Chaleur latente Chaleur sensible transportée par la turbulence turbulence

Ordre de fermeture Triangle des inconnues Zéro Un Deux

Modélisation de la CLA Fermetures Méthodes semi-empiriques Méthodes d’ordre supérieure Ordre 1 K algébrique Ordre 1,5 K différentielle Ordre 0,5 Méthode couche Ordre 0 similitude Fait Aujourd’hui

Si les conditions de réalisation de deux expériences sont identiques leurs résultats sont aussi identiques Mêmes causes  mêmes effets Il n’est pas nécessaire que tous les paramètres définissant l’expérience aient les mêmes valeurs : il faut cependant qu’ils satisfassent les conditions de similitude. Hypothèse de similitude

Similitude Similitude est la théorie et l ’art de prédire le comportement d ’un phénomène en construisant un modèle du phénomène (ou prototype). Similarité géométrique Similarité géométrique : deux systèmes sont similaires géométriquement s ’il ont un rapport d ’échelle L/L * constant Similarité cinématique Similarité cinématique : pour qu ’il y ai de la similitude cinématique entre deux écoulements doivent être similaires aux endroits correspondants : u 1 /u 1 * = u 2 /u 2 *. Similarité dynamique Similarité dynamique : pour qu ’il y ai de la similitude dynamique toutes les forces en jeu, quand à leur intensité, direction et leur point d’application doivent être similaires. Notons que la similitude dynamique est une condition nécessaire à la similitude cinématique Similitude

Les différences observées entre les résultas de deux similaires expériences similaires ne sont pas imputables à une nature différence de nature mais uniquement à des différences d ’échelle différences d ’échelle. La théorie de similitude se base dans l ’organisation groupes des variables que définissent le phénomène en groupes sans dimensions sans dimensions. Pour la formation de ces groupes sans ’analyse dimensionnelle dimensions on recours à l’analyse dimensionnelle. Similitude

Considérons un phénomène dont la dimension linéaire est L. Soit L* l ’échelle caractéristique. Toutes les autres dimensions doivent être dans le rapport L/L*. Les surfaces doivent satisfaire le rapport ? (L/L*) 2 Les volumes doivent satisfaire le rapport ? (L/L*) 3 Similitude géométrique

Considérons la loi de Newton : Forces possibles: Force d ’inertie Force de pression Force de pesanteur Force de viscosité Force de compressibilité Force de tension superficielle Similitude dynamique

Les deux écoulements sont similaires si: Similitude dynamique

Rapports de forces : nb sans dimensions

Analyse dimensionnelle et théorie de similitude En absence d'une théorie sur la turbulence on utilise l'analyse dimensionnelle et la théorie de similitude pour déterminer le comportement du fluide. Dans cette théorie, on ne considère pas le temps comme une variable qui décrit l’écoulement du fluide. Elle s’applique à des écoulements quasi-stationnaires. Les grandeurs physiques ont des dimensions bien précises. Si on connaît les causes du comportement du fluide il est possible de trouver une combinaison mathématique de ces causes (en utilisant la multiplication, la division, l'exponentielle,…) qui a les unités du terme qu'on veut connaître.

GrandeurSymbole dimensionnelUnité masseMkilogramme longueurLmètre tempsTseconde intensité électriqueIampère température  kelvin intensité lumineuseJcandela quantité de matièreNmole Dimensions : 7 grandeurs de base

L ’homogénéité dimensionnelle constitue une contrainte assez puissante sur la forme des relations entre les paramètres physiques qui sont identifiés comme importants pour définir le phénomène à étudier. Soit l ’ensemble de n paramètres b 1, b 2, …, b n. Le théorème  nous dit que si r des n paramètres ont des dimensions physiques indépendantes, alors on peut former (n-r) paramètres physiques dépendants et sans dimensions. Chaque combinaison sans dimensions est formée à l ’aide d ’un ensemble libre maximum, p. ex. : b 1, b 2, …, b r et de l ’un des paramètres de l ’ensemble complémentaire, ici b r+1, b r+2, …, b n. Soit l ’ensemble de n paramètres b 1, b 2, …, b n. Le théorème  nous dit que si r des n paramètres ont des dimensions physiques indépendantes, alors on peut former (n-r) paramètres physiques dépendants et sans dimensions. Chaque combinaison sans dimensions est formée à l ’aide d ’un ensemble libre maximum, p. ex. : b 1, b 2, …, b r et de l ’un des paramètres de l ’ensemble complémentaire, ici b r+1, b r+2, …, b n. théorème  Analyse dimensionnelle : le théorème Pi

1 - Identification de tous les paramètres pertinents pour l ’étude du problème spécifique l ’étude du problème spécifique (éviter d ’introduire trop de paramètres). (éviter d ’introduire trop de paramètres). 2 - Mettre sur pied un ensemble complet de variables sans dimensions qui caractériserons le phénomène sans dimensions qui caractériserons le phénomène  1,  2, …,  n-r.  1,  2, …,  n-r. (r est la base dimensionnelle et doit contenir toutes les (r est la base dimensionnelle et doit contenir toutes les dimensions fondamentales) dimensions fondamentales) 3 - Prendre des mesures afin relier ces variables entre elles et ainsi déterminer la forme des fonctions universelles et ainsi déterminer la forme des fonctions universelles qui gouvernent le phénomène : qui gouvernent le phénomène : f(  1,  2, …,  n-r )=0 f(  1,  2, …,  n-r )=0 Exemple: profil vertical de la vitesse dans la CLP Théorème  : procédure

[T -1 ] [L]Altitude [LT -1 ] Frottement au sol [T -1 ] Paramètre de Coriolis [LT -2  -1 ] Paramètre de flottabilité [LT -1  ] Flux cinématique de chaleur en surface Variables importantes pour la description du phénomène et dimensions de chaque variable: Théorème  : exemple 1

L M T  Rang de la matrice = r = 3 Construction de la matrice dimensionnelle : Théorème  : exemple 1

[T -1 ] [L] [LT -1 ] [T -1 ] [LT -2  -1 ] [LT -1  ] Base dimensionnelle: Paramètres dépendants Choix des «variables clé» ou base dimensionnelle Contraintes: a) le nombre de variables clé doit être égale au rang de la matrice dimensionnelle. au rang de la matrice dimensionnelle. b) toutes les dimensions doivent être b) toutes les dimensions doivent être représentées; représentées; c) doivent être dimensionnellement c) doivent être dimensionnellement indépendantes. indépendantes. Théorème  : exemple 1

Rang de la matrice = r = 3 Base dimensionnelle: Paramètres dépendants Théorème  : exemple 1

Calcul des fonctions  Théorème  : exemple 1

Traditionnellement on définie deux échelles de longueur : Théorème  : exemple 1

sont des fonctions à déterminer par la théorie du phénomène ou expérimentalement. et Conclusion : 1) L ’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle entre les paramètre. entre les paramètre. 2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales où théoriques. où théoriques. Théorème  : exemple 1

Développement de la théorie de similitude 1) Sélection (par la théorie ou par intuition) des variables importantes pour décrire la situation 2) Organisation des variables en groupes sans dimensions (  1,  2, …,  n ) 2) Organisation des variables en groupes sans dimensions (  1,  2, …,  n ) 3) Trouver expérimentalement la valeur des groupes sans dimensions 4) Trouver, par régression et minimisation des écarts quadratiques, la courbe que représente les données expérimentales. Ces 4 étapes nous donnent une équation empirique ou un ensemble de courbes de forme similaire, d’où le nom de théorie de similitude

Si nous sélectionnons trop de variables (plus que nécessaire) il aura des groupes sans dimensions dont le phénomène ne dépend pas. Si la sélection ne contient pas tous les paramètres pertinents pour décrire la situation, la dispersion des données au tour des relations de similarité est très grande. Les relations de similitude s’appliquent à l’équilibre (état quasi-stationnaire). Elles sont utilisées souvent dans la détermination des quantités moyennes et la statistique de la turbulence en fonction de z (homogénéité horizontale) La théorie de similitude est une fermeture d’ordre 0 Développement de la théorie de similitude

Similitude de Monin Obukhov (similitude de la CS) Similitude de la couche de mélange Similitude locale (z less theory) Convection libre locale Similitude de Rossby (modèles à grande échelle) Classes de similitude

Couche de surface neutre, homogène horizontalement et stationnaire Toutes ces approximations s'appliquent dans la couche à la proximité de la surface, dont l'épaisseur est 10 % de la hauteur de la couche limite Variation local du vent = 0 Advection = 0 Force de gradient de pression ~ 0 Force de Coriolis ~ 0 Force de flottabilité = 0 Force de frottement turbulent

Couche de surface neutre, homogène horizontalement et stationnaire, h CS = 0,1h CL Variation local du vent = 0 Advection = 0 Force de gradient de pression ~ 0 Force de Coriolis ~ 0 Force de flottabilité = 0 Force de frottement turbulent Avec l'axe des x dans le sens du mouvement :  Où  représente les forces de contraintes visqueuses à la surface

1) L’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle entre les paramètre. entre les paramètre. 2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales où théoriques. où théoriques. Exemple : le profil logarithmique du vent De quoi dépend le cisaillement du vent dans la couche de surface neutre, stationnaire et horizontalement homogène  u/  z ?  De la hauteur z  De l’intensité des contraintes de Reynolds, u *

On connaît maintenant comment le vent varie avec z : Exemple : le profil logarithmique du vent Le vent moyen que présente cette pente en fonction de z est : la longueur de rugosité aérodynamique. Où z 0 est la hauteur à laquelle le vent est nul : la longueur de rugosité aérodynamique.

Exemple : le profil logarithmique du vent z 0 la longueur de rugosité aérodynamique. z 0 est la longueur de rugosité aérodynamique. Elle correspond à la hauteur à laquelle le vent serait nul selon la loi logarithmique. En effet z 0 se situe dans la couche de rugosité où la vitesse moyenne du vent se dévie de la loi logarithmique. Elle représente l'effet globale des éléments de rugosité de la surface sur l'écoulement et est approximativement égale à un 1/10 de la hauteur moyenne des éléments de rugosité. On approfondira ce sujet plus tard. kconstante de von Karman k est la constante de von Karman dont la valeur de 0,4 est obtenue des observations. Elle est la même pour tout fluide turbulent. En laboratoire, la valeur déduite des observations est de 0,4. Dans l'écoulement atmosphérique, les scientifiques ne s'accorde pas. 0,4 K varie entre 0,35 et 0,42 selon les auteurs. La valeur la pus utilisée est 0,4

Distribution de la vitesse au dessus d'une surface lisse, qui montre la transition entre 'écoulement laminaire (à gauche du point A) et l'écoulement turbulent à droite du point B), d'après les données expérimentales de Reichardt et Laufer. Longueur de rugosité Garrat, 1992

Exemple : détermination de z 0 et u * Graphique linéaireGraphique logarithmique z 0 = 0,1 m

Effet de la rugosité sur le profil du vent La rugosité du terrain influence le profil vertical du vent : Le cisaillement diminue avec l’augmentation de la rugosité, l’intensité de la turbulence augmente et la hauteur de la couche de surface augmente.

Longueur de rugosité : Classification de Davenport-Wieringa classification Type de surface 0,0002sea Mer, aires asphaltées, plaines couvertes de neige, déserts sans orographie. 0,0050smoothPlages, champs couverts de neige. 0,0300openPrairies herbacées et champs cultivés, aéroports 0,1000Roughly openChamps cultivés avec quelques obstacles 0,2500roughCultures de hauteur variable, vignobles 0,5000Very roughFermes avec arbre fruitiers et d'autres arbres ainsi que quelques bâtisses 1,0000closedVillages, forêts matures, banlieue  2 chaoticForets avec éclaircies, grandes villes (gratte-ciels, maisons d'habitation, parcs)

Vitesse de friction Les contraintes de viscosité, , à la surface terrestre définissent la vitesse de friction : Quelques valeurs typiques de la vitesse de friction : Vents calmes : u * ~ 0 Vents modérés: u * ~ 0,5 m/s Vents forts : u * ~ 1 m/s

Dans la couche de surface ( hauteur entre 50 et 100 mètres) si on connaît le vent à une hauteur z 1 on peut évaluer le vent à une hauteur z 2 : Exemple : le profil logarithmique du vent statiquement neutresurfaces uniformes Ce type de comportement est observé quand la couche de surface est statiquement neutre (par exemple des jours nuageux et venteux), sur de surfaces uniformes (homogènes horizontalement). la longueur de rugosité aérodynamique Il faut aussi connaître z 0, la longueur de rugosité aérodynamique du site.

Exemple : le profil logarithmique du vent Dans un verger, un jour nuageux, la vitesse du vent à 10 m est de 5 m/s. Quelle est la vitesse du vent à 25 mètres? Solution : Données : u(z 1 ) = 5 m/s; z 1 = 10 m ; z 0 = 0,5 m (verger); z 2 = 25 m neutralité statique (nuageux) À trouver : u(z 2 ) = ? (m/s)

Couche de surface stratifiée (non neutre) La plupart du temps la couche de surface est stable ou instable. L'effet de l'instabilité est d'augmenter la turbulence et l'efficacité des transferts (des flux). L'inverse arrive avec quand 'atmosphère est instable. Les transferts doivent être plus difficiles. On peut imaginer que les transferts sont proportionnels à a taille des tourbillons qui transportent de l'énergie: Type de tourbillons selon la stabilité de la couche de surface Neutrestable zzz Instable

Effet de la stabilité sur le profil du vent La vitesse du vent dans la couche de surface en incluant l'effet de la stabilité thermique. Représentation schématique du profil du vent et de la structure des tourbillons. Oke, 1978.

Applicable dans la couche de surface Couche de surface : où les flux sont constants. On utilise alors les flux à un seul niveau. Cette théorie est valable seulement quand il y a du vent et que u * est différent de zéro. Échelles importantes : L = longueur de Monin Obukhov (1m à 200 m) z o = paramètre de rugosité (1 mm à 1 m) u * = vitesse de frottement (0.05 à 0.3 m/s)  * SL = échelle de température (0.1 à 2.0 K) q * SL = échelle d ’humidité (0.1 à 5g/kg) Classes de similitude : la similitude de Monin- Obukhov

Échelles dans la couche de surface stratifiée : Longueur Vitesse Température 1m à 200 m 0.05 à 0.3 m/s 0.1 à 2.0 K Similitude de Monin-Obukhov : longueur de Monin-Obukhov

Appliquée essentiellement dans la couche de surface définie comme la couche à flux constant. Variables importantes pour la description de et dimensions de chaque variable: Base dimensionnelle ? Altitude Flux cinématique de chaleur en surface [L] [LT -1 ] Frottement au sol [LT -2  -1 ] Paramètre de flottabilité [LT -1  ] [L,T,  ] Similitude de Monin-Obukhov

Base dimensionnelle n=5r=3 n-r = 2 Similitude de Monin-Obukhov

Fonctions universelles de Monin-Obukhov

Échelles dans la couche de surface stratifiée : Longueur Vitesse Température 1m à 200 m 0.05 à 0.3 m/s 0.1 à 2.0 K La longueur de Monin Obukhov

Théorie de similitude de Monin Obukhov Et toute grandeur de la couche de surface normalisée par les échelles de vitesse, longueur, température, etc., est représentée par une fonction universelle de la hauteur normalisé z/L (ou des constantes).

Kansas 1968 Terrain homogène sur quelques kilomètres carrés Conditions quasi-stationnaires Détermination des fonctions universelles

Quasi-stationnarité Temps de réponse de la couche de surface : z/u *, z/L ou z/w * Typiquement < 1 minute Temps caractéristique de variation du chaleur sensible : jour : ~4 h nuit : très, très grand! Attention au coucher et lever du soleil! On est loin de la stationnarité

Mesures : les contraintes de surface : Détermination des fonctions universelles Kansas 1968

Mesures : flux de chaleur par la méthode des corrélations Détermination des fonctions universelles Kansas 1968

Mesures : Gradients moyens de vitesse du vent et de température Détermination des fonctions universelles Kansas 1968

Détermination de Kansas 1968

Détermination des fonctions Kansas 1968

Théorie de similitude de Monin Obukhov Businger et, 1978

Théorie de similitude de Monin Obukhov

Longueur de Monin-Obukhov : signification physique de Dans l'équation d'énergie cinétique turbulente on a le terme et Dans la couche de surface neutre

neutre 0 stableinstable -2+2 Longueur de Monin-Obukhov : critère de stabilité convective

Relation entre a longueur de Monin-Obukhov et le nombre de Richardson gradient Conditions stables (z/L > 0) Conditions instables (z/L > 0) La détermination de L est difficile. On utilise souvent les relations entre z/L et le nombre de Richardson gradient, R i, plus facile à déterminer puisque il dépend des gradients des quantités moyennes.

Profil du vent dans la couche de surface stratifiée (-2<z/L<1) Cas stable : Cas neutre : Cas instable :

Exemple : profil du vent dans la couche de surface Calculez le profil verticale de la vitesse du vent dans a couche de surface dans les conditions suivantes : vitesse de friction = 0,3 m/s; longueur de rugosité = 0,02 m température virtuelle moyenne = 300 K et flux cinématique de chaleur à la surface = -0,05 K m/s. Solution : Données : u * = 0,3 m/s; z 0 = 0,02, T v = 300 K ~  v et F H,s = -0,05 K m/s Calcul de L Atmosphère stable...

Exemple : profil du vent dans la couche de surface stable stableneutre

Extrapolation du vent dans une couche de surface stratifiée (-5<z/L<1)

Profil du vent dans la couche de surface stratifiée (-5<z/L<1) : difficultés Il faut déterminer ou connaître :