LES TABLEAUX DE KARNAUGH LOGIQUE COMBINATOIRE LES TABLEAUX DE KARNAUGH

INTRODUCTION Au même titre que les propriétés et relations booléennes, les tableaux de KARNAUGH sont des outils de simplification des expressions logiques

Méthode de résolution d'un problème Le tableau de KARNAUGH ne diffère de la table de vérité que par sa présentation Méthode de résolution d'un problème Description du fonctionnement Identification des entrées/sorties Table de vérité Tableau de KARNAUGH Equations simplifiées Logigramme et/ou schéma électrique

Règles de construction du tableau de KARNAUGH Le tableau de KARNAUGH comporte autant de cases que la table de vérité a de lignes (soit 2n avec n le nombre d’entrées) On réalise 1 tableau pour 1 sortie Chaque case correspond à une et une seule combinaison des variables d’entrées Dans chaque case, on indique l’état logique de la sortie correspondante à la combinaison des variables d’entrées

exemple Table de vérité Le tableau de KARNAUGH comporte autant de cases que la table de vérité a de lignes (soit 2n avec n le nombre d’entrées) Exemple : 3entrées : a, b, c et 1 sortie L a b c L 8 lignes 8 cases 8 combinaisons possibles 23 = 8 Tableau de KARNAUGH L a b c

exemple Table de vérité a b c L 1 •Chaque case correspond à une et une seule combinaison des variables d’entrées Tableau de KARNAUGH 8 7 6 5 4 3 2 1 L a b c L a b c 1

exemple Table de vérité a b c L 1 En analysant le fonctionnement souhaité du système, on indique dans chaque case l’état de la sortie correspondant à la combinaison des variables d’entrées Tableau de KARNAUGH 8 7 6 5 4 3 2 1 L a b c

exemple a b c L 1 La table de vérité nous donne l'équation de la sortie mais elle n'est pas simplifiée L = a.b.c + a.b.c + a.b.c 8 7 6 5 4 3 2 1 L a b c

Règles de simplification Si on regroupe les cases contenant des 1 dans un tableau de Karnaugh, l’équation de ce regroupement sera plus simple que la somme des équations de chaque case. Cela permet de simplifier les équations logiques. En STI2D, nous utiliserons un logiciel qui nous donnera l'équation logique simplifié à partir d'un tableau de Karnaugh rempli.

LA SUITE N'EST PAS AU PROGRAMME DE STI2D

Règle n°1: On ne peut regrouper qu’un nombre de cases correspondant à une puissance de 2 (donc 1,2,4,8,16…) Règle n°2: Un regroupement doit-être en ligne, en colonne, en carré ou en rectangle Règle n°3: Il faut faire les plus grands regroupements possible Règle n°4: On fait des groupements jusqu’à ce que tous les 1 fassent partie d’un groupement

Règle n°5: Il faut commencer par: Règle n°5: Il faut commencer par: _les cases qui ne peuvent se grouper que d’une seule manière _les groupements les plus grands Règle n°6: L’équation d’un groupement est le produit logique (ET) des variables qui conservent le même état pour toutes les cases _Si a=0 pour toutes les cases, on a a _Si a=1 pour toutes les cases on a a Règle n°7:L’équation de la sortie est la somme logique (ou) des équations des groupements

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 1 case 1 L1 a b c 1 L1 a b c Groupement de 2 cases 1 L3 a b c 1 L3 a b c 1 L3 a b c 1 L3 a b c 1 L2 a b c 1 L2 a b c 1 L2 a b c

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 4 cases L4 a b c 1 d L5 a b c 1 d 1 1

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 4 cases L6 a b c 1 d L7 a b c 1 d 1 1

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 4 cases L8 a b c 1 d L9 a b c 1 d 1 1

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 4 cases a b c 1 d L10 a b c 1 d L11 1 1

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 8 cases a b c 1 d L12 a b c 1 d L13 1 1

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 8 cases a b c 1 d L14 a b c 1 d L15 1 1

Exemple de groupement possible Règles 1,2,3,4 et 5 Groupement de 16 cases a b c 1 d L16 1 Un seul groupement possible

La liste de ces exemples de groupements possibles n’est pas exhaustive

Équation qui découle des tableaux Pour trouver les équations à partir des groupements nous allons appliquer les règles 6 et 7 Règle n°6: L’équation d’un groupement est le produit logique (ET) des variables qui conservent le même état pour toutes les cases _Si a=0 pour toutes les cases, on a a _Si a=1 pour toutes les cases on a a •Règle n°7:L’équation de la sortie est la somme logique (ou) des équations des groupements

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 1 case 1 L1 a b c 1 L1 a b c 1 OU L1= a.b.c + a.b.c + a.b.c

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 2 cases 1 L2 a b c 1 L3 a b c 1 L2= b.c + b.c L3= a.b + a.c + a.b

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 4 cases 1 L4 a b c d 1 L5 a b c d 1 L4= c.d + c.d L5= a.b + a.b

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 4 cases 1 L6 a b c d L7 a b c 1 d 1 L6= b.d + b.d L7= b.d + b.d

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 4 cases 1 L8 a b c d 1 L9 a b c d 1 L8= a.c + a.c L9= a.c + a.c

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 4 cases 1 a b c d L10 1 a b c d L11 1 L10= b.c + a.d L11= a.c + b.d

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 8 cases 1 a b c d L12 1 a b c d L13 1 L12= c L13= b

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 8 cases 1 a b c d L14 1 a b c d L15 1 L14= b + c L15= b + d

Équation qui découle des tableaux Règles 6 et 7 Groupement de 16 cases 1 a b c d L16 1 L16= 1

Exemple final a b c 1 d L17 1 1 1 1 1 L17= a.b.c.d + b.d + c.d + a.b.c

FIN