Commande en temps fini (boucle ouverte) Contenu Retour >> Quitter Commande en temps fini (boucle ouverte) Auteur :Jean-Paul Stromboni, Version : Février 2003 Elèves, Module : ESSI 2 IM, SSI 2 Durée : 1h Objectifs : exploiter la représentation d’état pour la commande en boucle ouverte définir et évaluer l’énergie dépensée pour une séquence de commande utiliser la propriété de gouvernabilité pour : parcourir une trajectoire donnée en temps minimal assurer une trajectoire fixée en temps fini non minimal construire une simulation avec MATLAB

Définition : commande en temps fini On peut en théorie amener l’état d’un processus d’ordre N entièrement gouvernable à prendre n’importe quelle valeur en M périodes d’échantillonnage avec : Si M = N, on parle de commande en temps minimal on se cantonne ici au cas plus simple de la commande en boucle ouverte, c’est à dire sans contre réaction

Définition de l’énergie de commande En pratique, la commande en temps fini peut impliquer des pics de commande inacceptables, ce que l’on évalue : avec le maximum de la grandeur de commande a(k), à l’aide de l’énergie de commande En général, on pourra diminuer les pics de commande en augmentant la durée de la trajectoire :

Le problème posé Soit le processus d’ordre N , d’entrée et de sortie scalaires pour simplifier, et dont les équations sont données sous la représentation d’état suivante : Est il possible de joindre les états X0 et Xm en agissant sur la commande a(n) ? Est ce possible en particulier pour M = N ? Que vaut dans ce cas l’énergie de commande ?

Transformation du problème On montre que cela revient à résoudre une équation de la forme ci-contre (s’il existe une solution !) : Préciser G, U et Y, ainsi que leurs dimensions. Que rappelle G ?

Solution dans le cas où G est carrée Quelle est la condition sur G pour qu’il y ait une solution, quelle est alors la solution ? Quelle est alors la durée de la commande ? Exprimer l’énergie de commande

Cas où n’est pas carrée G est la matrice de gouvernabilité d’un processus d’ordre N avec et à quelle condition G est-elle la matrice d’une application surjective ? Quelle est la condition d’injectivité de GT ?

Propriétés de la matrice GGT Donner les dimensions de la matrice GGT Montrer que GGT est inversible si G est de rang N Montrer que GGT est symétrique

Solution si est non carrée Déduire une solution U de l’équation Y=GU si G est de rang N : Cette solution est-elle unique ? Expression de l’énergie de commande ?

Reconstruire l’état à partir des observations (à entrée nulle pour simplifier) Par une démonstration duale de celle de la commande en temps fini, on prouve que si la matrice d’observabilité est de rang N ordre du système, on peut reconstituer X0 avec un nombre fini d’observations selon la formule :

Retour à l’équilibre du système à inertie Il s’agit d’amener le système à inertie discrétisé avec Te =1s dans le cours précédent de l’état X(0)= [1;0] jusqu’à X(2) =[0;0] : vérifier que c’est possible et donner la séquence des commandes quelle est la durée de la commande ? et l’énergie de commande?

Simulation avec Matlab %seance 2 AutoIM s=ss([0 1; 0 0],[0;1],[1 0],0) tf(s) %pour vérifier Te=1 % T echantillonnage sd=c2d(s,Te) ad=get(sd,'a') bd=get(sd,'b') G=[ad*bd, bd] x0=[1 0]' a=-inv(G)*(ad^2)*x0 E=0.5*a'*a max(abs(a)) x1=ad*x0+bd*a(1) x2=ad*x1+bd*a(2) x=[x0, x1, x2] plot(x(1,:),x(2,:)) grid

Et si la durée vaut 4s au lieu de 2s ?

Et si on divise la trajectoire en deux ?