- Courant auto-généré (bootstrap) -

L’échange de quantité de mouvement entre les particules piégées et circulantes  courant de bootstrap jB Régime où les effets d’orbite sont importants : fréquence de dépiégeage eff << fréquence de rebond 1/B avec pour les électrons marginalement piégés Régime banane: Taux de transfert de densité d’impulsion parallèle entre les électrons piégés et passants

Comme les électrons circulants échangent principalement leur quantité de mouvement avec les ions Courant de bootstrap:

De cette vision physique, on peut qualitativement tirer la dépendence paramétrique de façon plus simple encore: Jboot ≈ ft(1-ft) où ft est la fraction de particules piégées. Sachant que Jboot Jboot Tore Supra r(m) e

Probabilité de transition entre trajectoires piégées et circulantes A(u) A(d) (a) (b) (c) Marche aléatoire n Flux électrons piégés Perte de quantité de mouvement (aa+b) (a+bb) (ba+b) (a+ba) > mv// < 0 mv// > 0 Courant de bootstrap avec et

Expression calculée pour la première fois par M Expression calculée pour la première fois par M. Rosenbluth peut être démontrée facilement dans la limite Zi >> 1 et Ti = 0 (Modèle de Lorentz) pour un plasma Maxwellien. et comme où

On prend pour opérateur de collision la limite de la diffusion angulaire (Zi >> 1, Ti = 0), correspondant à des ions immobiles). C’est le modèle de Lorentz L’équation pour la correction néoclassique g vaut donc où

Sachant que g est nulle dans le domaine piégé, Comme

On a alors car avec Après avoir effectué la moyenne sur la surface de flux du courant s’écoulant le long de la ligne de champ, soit on trouve Lien entre profil de courant et de pression (alignement ?)

Cas étudiés: C-MOD, TORE SUPRA, DIII-D, RTP,ARIES, r/a = 0.71, e = 0.23 C-MOD

Courant de bootstrap: plasma Maxwellien Grille radiale ajustée sur la grille angulaire

r/a ≈ 0.7 Antisymétrique x0 Symétrique x0 ~

Solution Fokker-Planck Solution DKE

En intégrant sur le rayon plasma on obtient la loi d’échelle suivante : où bp est la pression normalisée au champ poloïdal et avec On cherche donc à maximiser le courant de bootstrap en diminuant le rapport d’aspect (tokamak compact), et en augmentant la pression normalisée. L’objectif est ainsi d’atteindre une fraction de 80-90%. Mais le problème est que sa valeur est nulle au centre (stabilité  génération de courant au centre par onde rapide par exemple)

ARIES-Advanced Tokamak ICRF/FW on-axis CD; 96 MHz, N||=2, PCD=5 MW, h=0.032 A/W LHCD off-axis CD; 3.6 GHz , N||=1.65-3.5, PCD=24.5 MW, h=0.024-0.053 A/W; 2.5 GHz, N||=5.0, PCD=12.5 MW, h=0.013 A/W

- Courant inductif (loi d’Ohm) -

C’est le champ électrique induit dans le plasma par le circuit primaire, le plasma jouant le rôle de circuit secondaire Le courant généré est donné par la loi d’Ohm: où //(r) est la conductivité du plasma (comparable à celle du cuivre). Seules les particules circulantes pouvant transporter un courant le long de la ligne de champ, //(r) ≈1-ft ≈1-1.4e Loi d’Hirschman-Sigmar La conductivité décroit inversement proportionnellement à la collisionnalité du plasma 1/Zi

Zi  ∞, le résultat est indépendant du modèle de collision e-e E = 0.01, Te = Ti = 0.1 keV pmax = 30, 200100 Zi  ∞, le résultat est indépendant du modèle de collision e-e

Conductivité néoclassique

Cette méthode de génération de courant est très efficace (d’où le succès des tokamaks), puisqu’on arrive à une efficacité de l’ordre de 1MA/1MW. Mais elle présente de nombreux inconvénients: Durée limitée au flux magnétique disponible dans le circuit primaire La source de courant est la principale source de chauffage, et seule, elle ne permet pas d’atteindre des températures excédant 1 keV Le profil de courant et de pression sont liés par la conductivité (~ Te3/2)  facteur de sécurité q trop bas au centre (q < 1) lorsque on veut augmenter le courant (dents de scie) Un champ électrique trop fort peut générer des électrons découplés très énergétiques qui peuvent endommager la structure de la machine

avec Lorsque ve ≥ vD, les collisions ne sont plus en mesure de contrebalancer l’accélération induite par le champ électrique. Les électrons gagnent de l’énergie jusqu’à ce que le rayonnement synchrotron soit le canal de perte principal. Ces électrons dérivent rapidement, et sont perdus sur la paroi (limiteur). Le taux d’électrons découplés est le flux d’électrons sortant du domaine d’intégration de l’équation de dérive cinétique. Il y a perte du nombre de particules qui doit être compensé par une source en p = 0. Le taux d’électrons découplés décroît comme esiééé.

Courant de bootstrap en présence d’électrons découplés

- Courant Radio-Fréquence -

propagation (tracé de rayon/WKB, full-wave) Carte du champ électrique // Absorption (théorie quasi-linéaire) (fonction de distribution moyennée sur les trajectoires) J, P, J/P

Résonance cyclotronique électronique (harmonique n ≠ 0) Le problème de la propagation est évalué dans l’approximation du plasma froid, car sauf à la résonance, v >> vth, ou critère équivalent th << l. On recherche les ondes qui peuvent se propager transversalement aux lignes de champ sans rencontrer une coupure (n=0) avant de rencontrer une résonance dans le plasma. Il y a deux types d’interaction possibles à partir des propriétés de la partie anti-hermitienne du tenseur diélectrique: Résonance cyclotronique électronique (harmonique n ≠ 0) Résonance cinétique Landau (n=0)

- ps/2π (s-1) cs/2π (s-1) Ions 2.110+9 6.110+7 Electrons 9.010+10 Tenseur diélectrique avec - ps/2π (s-1) cs/2π (s-1) Ions 2.110+9 6.110+7 Electrons 9.010+10 1.110+11

Condition d’existence d’un mode propagatif : donc (relation de dispersion) où le tenseur de Maxwell vaut: ce qui donne une équation bicarrée en n (biréfringence) où est l’indice de réfraction avec Valeur fixée par l’antenne au bord du plasma

Couplage entre les modes: propagation de l’énergie portée par l’onde Tracé de rayon (ou full-wave) Principe: séparation des quantités du varient lentement de celles qui évoluent rapidement Par analogie avec la représentation en onde plane

En pratique, la pulsation ne varie pas au cours de la propagation, et de la relation de dispersion on peut en déduire qu’elle est une fonction implicite de , et t. La trajectoire du rayon est donnée par la relation où est la vitesse de groupe de l’onde qui vaut Celle-ci correspond au flux d’énergie portée par l’onde (front d’onde). A partir de la dérivée partielle de la relation de dispersion D,

Dans ce système, et jouant le rôle de variables hamiltoniennes conjuguées, l’hamiltonien H étant donnée par on trouve alors l’équation d’évolution pour le vecteur d’onde Ce sont les équations des rayons, qui suivent les règlent de l’optique géométrique. Elles sont résolues numériquement par des méthodes d’intégration d’équation différentielles ordinaires avec conditions initiales: Runge-Kutta, prédicteur/correcteur Condition en tous points:

Ce calcul n’est valable que si Problème au voisinage d’une coupure et points tournants (au voisinage d’une caustique) et Validité en question lorsque l’onde subit de multiples réflexions dans le plasma avant d’être absorbée (méthode full-wave, onde de cavité)

Il est d’usage de décomposer le vecteur d’onde en ses modes poloïdaux m et toroïdaux n selon la règle car cela permet de faire apparaître les symétries (n = Cte pour un tokamak axisymétrique). Les équations de rayon deviennent alors

Une équation d’évolution de la puissance s’écoulant le long du rayon est intégrée simultanément avec les équations de rayon pour évaluer l’absorption à partir d’un coefficient d’amortissement g, tel que  = r - ig: où Interaction résonnante Amortissement collisionnel non-résonnant Vecteur de Poynting A la limite gT petit, sa valeur est déduite d’un développement de la relation de dispersion D() ≈ Dr (r - ig ) = Dr (r) +iDi (r) = 0, où à partir des termes imaginaires Di(a) :

Pour la contribution électronique, on montre par exemple que pour l’onde hybride dont la composante du champ électrique de l’onde est essentiellement parallèle à la ligne de champ, où Lien avec l’équation de dérive cinétique Il est aussi possible de faire intervenir d’autres contributions comme les particules a dans le régime thermonucléaire.

Une question fondamentale concerne la catégorie d’électron qu’il faut accélérer pour optimiser l’efficacité J/P. L’incrément d’énergie DEc// vaut la variation de courant vaut En raison des collisions, pour maintenir l’incrément de courant, il faut fournir une puissance d’où où n est la fréquence de collisions. A basse vitesse, n = Cte, et à haute vitesse n ~ 1/v//3.

Il apparait naturellement deux limites pour générer du courant efficacement: à très basse vitesse, en donnant un petit incrément d’impulsion à des électrons très collisionnels mais qui sont en grand nombre (régime ohmique, ondes d’Alfven,…) à très haute vitesse, en transférant un grand incrément d’impulsion à des électrons très peu collisionnels, qui malgré leur faible nombre sont capables de porter une large part du courant plasma, car ils sont en mesure de conserver l’impulsion sur des temps très longs par rapport au temps moyen de collision des électrons thermiques (génération de courant par onde, maximiser vf, donc minimiser l’indice de réfraction n// = c/vf

Second point important concernant la génération de courant: est-il préférable de donner de l’impulsion // ou  aux électrons pour être plus efficace ? 3 3

Description statistique: <…>  moyenne sur les trajectoires des électrons dans l’espace des phases. La moyenne de l’incrément de courant au temp t+dt résulte de l’impulsion donnée au temps  Le taux de transfert d’impulsions valant: et sachant que l’incrément de vitesse est donné par où est le flux électronique induit par l’onde dans l’espace des vitesses

Lorsque la puissance fournie est constante, en intégrant sur le temps on obtient: L’intégrale peut être calculée à partir des équations de Langevin, dans la limite haute vitesse pour l’opérateur de collision. On ne considère que le cas sans champ électrique E, pour lequel une solution analytique est envisageable. En présence d’un champ, seule l’approche numérique est possible par méthode Monte-Carlo.

où le terme stochastique B(t) responsable de la diffusion angulaire est décrit par ses propriétés statistiques

et on en déduit que Fonction de réponse de Fisch-Boozer On obtient alors en utilisant les relations et L’efficacité de génération de courant est donnée par la relation où

Cette expression, qui peut être obtenue rigoureusement à partir de la méthode des fonctions de Green est très importante et appelle une remarque fondamentale: Il est presque aussi efficace d’accélérer des électrons selon les directions longitudinales où transverses aux lignes de champ pour générer du courant (ondes LH ou EC), car seule la direction du flux importe, pas son module (rapport 4:3). Ceci provient de la dépendance en vitesse de l’opérateur de collision. Ce résultat n’est plus valable en présence d’une fraction importante de particules piégées, car celles-ci participent à la collisionnalité du plasma mais ne peuvent contribuer au courant. D’où l’importance d’un calcul exact prenant en compte les types de particules et les moyennes sur les trajectoires ( équation de dérive cinétique)

Décroissance monotone

- Onde à la fréquence hybride basse -

Onde hybride basse: Pour les paramètres dans un tokamak Pour n// > 1, P0 > 0, P2 < 0 : il existe donc deux modes de propagation: (signe +) Onde rapide (/k grand) (signe -) Onde lente (petit /k):

La branche correspondant au mode lent possède une résonance « froide » lorsque e 0, n , et celle-ci correspond à la fréquence hybride basse LH d’où le nom attribué à ce mode: L’onde lente est la plus intéressante du point de vue de la génération de courant. En effet, la polarisation déduite du produit scalaire et de la relation de dispersion vaut: A la résonance E ,k 0, l’onde est donc quasi-électrostatique, le champ électrique et le vecteur d’onde étant parallèle. Comme de plus , le champ électrique E est principalement dirigé le long de la ligne de champ

Il est donc d’usage de choisir la fréquence telle que l’onde en se propageant dans le plasma s’approche de la résonance sans atteindre néanmoins totalement celle-ci (car l’onde ne se propage plus). Pour TORE SUPRA, /2π = 3.7 GHz La coupure correspond au cas n  0, donc e//  0. Elle intervient donc au bord du plasma, à très basse densité. Comme la densité décroît avec r, si l’onde est lancée de trop loin, l’onde va rencontrer la coupure et sera réfléchie. Elle ne pourra donc pas pénétrer dans le plasma. soit ne ≈ 1.7

Distance plasma-antenne Pour pouvoir coupler la puissance, il convient donc d’approcher l’antenne du plasma, de telle sorte que la densité locale soit supérieure à la densité de coupure. Il s’agit d’un gros inconvénient technique, puisque le plasma vient au contact d’un élément solide, ce qui est source d’impuretés pour le plasma, et d’échauffement pour l’antenne. Distance plasma-antenne (TORE SUPRA) Effet profil densité (JET)

TORE SUPRA: Edge density modification ncutoff Far Close Loin de l’antenne densité inchangée Proximité de l’antenne: la valeur de la densité est découplée de celle du plasma

Nouvelle antenne « hybride » Echauffements des structures de l’antenne TORE SUPRA Protections latérales activement refroidies TORE SUPRA

Nouveau coupleur LH Antenne dessinée pour des décharges longues (4MW, 1000 s, 3.7 GHz) Guide d ’onde arrondis Densité de puissance limitée (25 MW/m2 à pleine puissance et n//0 = 2) Protections latérales activement refroidies (Capacité d ’extraction de puissance:10 MW/m2) 1.7 ≤ n//0 ≤ 2.3 Directivité: 60% (n//0 = 2.0) 48 guides d ’onde actifs / 9 passifs

Forte réduction de la charge thermique Ancienne antenne Forte réduction de la charge thermique Nouvelle antenne

La capacité de localiser le courant généré par l’onde dépend de l’absorption mais aussi du domaine de propagation de celle-ci. Sa détermination est donc cruciale. Un des premiers critères est que l’onde lente reste lente dans tout le plasma pour toutes les valeurs de n// excitée à l’antenne. Pour cela, il faut éviter la conversion de mode froide (onde lente  onde rapide) qui intervient lorsque le discriminant de l’équation de propagation est nul soit P22-P0P4 = 0. Dans le cas où ce ≤ pe, la limite inférieure pour n// est donnée par le critère d’accessibilité de Stix-Golant:

Pour les valeurs telles que n// < n//acc, la conversion de mode intervient dans le plasma. L’onde lente se transforme alors en onde rapide qui se propage dans le sens inverse à celui de l’onde lente, l’onde revient vers le bord où elle subit une réflexion (coupure) plasma. Elle effectue ainsi ad infinitum des aller-retour dans le plasma, jusqu’à ce qu’elle soit absorbée. C’est le régime multipassage qui n’existe que lorsque l’absorption est faible

Accessibilité de l’onde « hybride basse» 2-D dans TORE SUPRA ne0 = 410+19 m-3, Bt0 = 2T n//acc Modèle cylindrique

Il existe également un autre critère important délimitant le domaine de propagation de l’onde hybride: l’enveloppe des caustiques, définie par la condition kr = 0. En reprenant la relation de dispersion, et dans le cas simplifié d’un équilibre cylindrique, il existe deux valeurs m+ et m- du nombre de mode poloïdal, pour une valeur n fixe.

Pour l’indice de réfraction parallèle, en utilisant la relation: on obtient

Dans le cas d’une très faible absorption, le détail de la trajectoire des rayons n’a pas d’importance, et on peut simplifier le problème de la propagation en le décrivant sous une forme diffusive. Ceci n’est valable que si n///n// << 1 à chaque aller-retour et que la dynamique puisse être considérée comme une marche aléatoire (stochasticité)

La dernière limite est enfin celle de l’absorption cinétique Landau qui n’intervient que lorsqu’il y suffisamment d’électrons pouvant une résonance cinétique. Des calculs cinétiques montrent que cela intervient lorsque v ≈ 3-4 vth, ce qui correspond à Pour Te = 5 keV, n//Landau≈ 65. Cette valeur est très supérieure à celle injectée dans le plasma, puisque pour maximiser l’efficacité on cherche à injecter des indices très bas (n//0 ~ 1.4-3), afin de se coupler par résonance cinétique à des électrons très rapides qui sont peu collisionnels. Pour que l’onde puisse se coupler et être absorbée, il faut un mécanisme qui fasse que n// augmente dans le plasma pour combler le « gap spectral »

La géométrie torique fournit un mécanisme intrinsèque naturel puisque le nombre de modes poloïdaux m n’est pas constant en raison de la dépendance poloïdale du champ magnétique, les variables (m,q) étant conjuguées au sens hamiltonien.

La physique de la génération de courant par l’onde hybride basse est très complexe, puisqu’on montre que la dynamique des rayons est chaotique, et très non-linéaire. Avec des conditions initiales très voisines, les trajectoires des rayons sont rapidement très différentes

Profil de dépôt de puissance Efficacité de génération de courant Non-linéarité de la génération de courant par onde hybride basse Profil de dépôt de puissance Efficacité de génération de courant

Code lourd: grand nombre de rayons (100-400). Validité incertaine Code tracé de rayons pour l’onde hybride basse 1.0 MA 1.6 MA Forte absorption Landau Equilibre MHD quelconque Effet de la corrugation du champ magnétique torique (N = 18 pour TS) Tenseur diélectrique avec correction plasma chaud Absorption: code DKE Couplage à CRONOS 1.0 MA 1.6 MA Code lourd: grand nombre de rayons (100-400). Validité incertaine 2 réflexions avant l’absorption

Expérience Tracé de rayons

Approche « full-wave » Description de la phase et de l’amplitude de l’onde Formulation variationnelle en limite cylindrique Condition aux limites au bord: nxE*(r) = 0 et nxE = 0 (mur parfaitement conducteur) Fonctions d’essai de type eikonale (4 modes: ondes lentes et rapides se propageant vers le centre et l’extérieur) Raccordement local d’une cellule à l’autre: nlxEl = -nl+1xEl+1

Onde lente n// = 1.4 Onde rapide n//acc = 1.35 Flux du vecteur de Poynting n// = 1.3 Code précis mais d’un emploi très lourd. Version torique en cours de réalisation

Profil de dépôt de puissance LH et phasage à l ’antenne Applatissement du profil de q sur une large région (CRONOS) Conséquences sur le confinement la stabilité MHD

Transition LHEP Teo à t≈7.5s Spectre LH profils q Confinement M.H.D. Pas de transition Teo Transition LHEP Teo à t≈7.5s #28348 #28344 #28342 #28334 <n//0> = 1.80 <n//0> = 1.90 <n//0> = 1.95 <n//0> = 2.05 s≥0 s≤0 (r/a≤0.2) s≤0 (r/a≤0.3) s≤0 (r/a≤0.35) Pas de M.H.D. M.H.D. M.H.D. M.H.D.

Relation densité de courant et facteur de sécurité q Facteur de sécurité: q = df/dq= rBf/RBs de champ) Cisaillement magnétique: s = dq/dr variation de l’)

Pour mieux contrôler le lieu où est généré le courant par l’onde hybride, on essaie de combler activement le « gap spectral »: méthode à deux antennes avec l’une placée verticalement, l’augmentation de l’indice n// étant alors très rapide.

Efficacité de génération de courant LH 0.4 ≤ Ip(MA) ≤ 0.8 Vloop = 0 V 0.55 ≤ h0 ≤ 0.85 pas d’effet de n//0 sur h0 réduction de h0 lorsque Zeff augmente Activité MHD mode tearing global (m = 2 n = 1), réduction h0 de 20 % (Ip = 0.8 MA) Bt = 3.9 T, 143 décharges 0.4 ≤ Ip(MA) ≤ 1.2 1.3 ≤ nl (10+19 m-3) ≤ 4.5

Record 6mn 30S

Efficacité de génération de courant: l’hybride reste la meilleure méthode non-inductive à ce jour. Ip = 18 MA, R = 8m ITER TS

Le succès de l’onde hybride pour la génération de courant est venu du fait que la théorie cinétique 1-D à permet de prédire de nombreux résultats sur l’efficacité de la méthode. En unités normalisées (v = v///vth), et en posant fe ≈ fM(v)f(v//) et à la limite haute vitesse pour l’opérateur de collisions: C(f)+Q(f) = 0 qui peut être intégrée facilement

Sachant que DLH0 ≠ 0 lorsque vmin ≤ v ≤ vmax, on obtient; Dans la limite DLH0 >> (2+Z)/2, sa valeur n’intervient plus et

Résultat très proche de la méthode adjoint car

Calculs avec l’équation de dérive cinétique LH wave No trapping effect 200100 grid-points th = 0.1 (Te = 5.11 keV)

LH wave Linearized e-e collision operator No trapping effect 200200 grid-points Centered differences code ≈ 1.5  adjoint

Corrections néoclassiques: synergie courants bootstrap et LH Effet Fish-Boozer sur la correction néoclassique

Les résultats du code suggère que le supplément de courant ob-tenu par le calcul complet <Jsyn> = <Jtot> - <JRF> - <Jboot(th)> résulte simplement d’une augmentation du nombre d’électrons en v//min Modèle hybride 1D : Avec corrections: Facteur d’amélioration: Modèle de Lorentz (Zi >> 1) dans la limite 0 ≈ 1 et 0T << 1 : lorsque

DLH = 1 vmax = 6 r/a = 0.71  = 0.23 Zi = 1

neTe = Cte r/a = 0.71, v//min = 3.5, v//max = 6, DLH = 1, Zi = 1 <Jsyn>/<JLH> augmente avec le gradient de Te (10-15%) <Jsyn>/<JLH> proportionnel à Pas d’effet du gradient de densité ne

L’efficacité de génération h s’améliore très faiblement (14%) Modèle hybride 1D avec corrections:

Le rôle des alphas peut être délétère vis-à-vis de la génération de courant par l’onde hybride si l’on ne prend par garde à la fréquence. C’est crucial pour la génération de courant dans un réacteur. Effet de la résonance cyclotronique (modèle plasma chaud, équation de Vlasov)

On peut faire une estimation simple de la raison pourquoi la fréquence joue un rôle si important pour les particules a. Dans la limite électrostatique, l’absorption est dominante sur les électrons lorsque et comme cela revient à la condition La condition minimale d’absorption de l’onde hybride par les a étant

Il n’y aura a fortiori pas d’absorption par les a si où pmax est l’énergie des particules a issues des réactions nucléaires, soit pour une éenrgie cinétique de 3.5 MeV. La condition d’une absorption négligeable sur les aest donc donnée par Un plasma chaud favorise l’absorption sur les électrons, tandis qu’un plasma dense favorise l’absorption sur les particules a.

5 GHz 3.7 GHz