Introduction à la physique du son Un peu de physique pour les musiciens, un peu de musique pour les physiciens Jérôme Joubert CRR de Saint-Maur-des-Fossés - 2013

Instruments à cordes

Rappel : nature physique du son - surpression Vibration d’un matériau (fluide en général) Oscillation de pression au sein de tranches de fluide Évolution spatiale : Évolution temporelle : exemple d’une onde sinusoïdale Source : http://www.energieplus-lesite.be Patm ≈ 100000 Pa P ≈ 0,01 Pa

Rappel : nature physique du son - vitesse L’intensité dépend de la vitesse de déplacement des tranches de fluide I = p.v en Watt par m² (flux de puissance sonore à travers une surface d’un m²) v

Rappel : nature physique du son - fréquence La hauteur du son dépend de sa fréquence f = 1/T f en Hz, c’est le nombre de vibrations identiques en une seconde Plus la vibration est rapide, plus le son est ressenti aigu La réalité n’est pas si simple : un son de basse fréquence et de très forte intensité est parfois ressenti plus aigu qu’un son de plus haute fréquence : c’est le domaine de la psycho-acoustique

Propagation du son et longueur d’onde La transmission n’est pas instantanée Longueur d’onde et fréquence sont liés par la vitesse de propagation, notée c l = c/f

Sons complexes : notion de timbre Un son est rarement constitué par une vibration à une seule fréquence On peut décomposer un son en une série de partiels, i.e. d’ondes sinusoïdales chacune caractérisée par une fréquence (éventuellement variable) une intensité (éventuellement variable) une phase (= décalage à l’origine de l’émission du son) Le timbre se définit par l’ensemble de ces paramètres et sans doute aussi par beaucoup de ressenti psycho-acoustique… Décomposition en somme de Fourier Joseph Fourier (1768-1830), mathématicien et physicien français

Représentation du contenu fréquentiel Représentation graphique de la décomposition en somme de Fourier Gain de lisibilité + = Onde sonore Spectre

Représentation du contenu fréquentiel Le contenu fréquentiel peut évoluer au cours du temps (c’est une des caractéristique du timbre). Deux représentations possibles : spectre en 3D ; sonogramme.

Harmoniques & partiels Pour des partiels harmoniques : Partiel trop haut par rapport à la note « juste » fn = n.ffondamental Partiel trop bas par rapport à la note « juste » n° du partiel La série harmonique sonne « faux »

Vibration d’une corde fixée à ses extrémités Quel est le lien entre la série harmonique et une corde vibrante ? Nécessité d’un premier modèle : la corde infiniment fine fixée à ses extrémités en des points immobiles.

Vibration d’une corde fixée à ses extrémités Le monocorde : lorsqu’on divise la corde en n, chaque sous-partie vibre à la fréquence du nième partiel de la série harmonique (si la corde est très fine) C’est le principe de génération des différentes hauteurs de son des violons, des violes et des guitare Monocorde de Mersenne l’Harmonie Universelle

Vibration d’une corde fixée à ses extrémités La fréquence de vibration est donnée par la relation : Plus la corde est longue, plus elle sonne grave. Ceci est mis en application pour la harpe. Pour ne pas avoir une harpe trop grande, on joue sur la tension mais ça ne suffit pas : harpe trop grande cordes graves sous-tendues L : longueur de la corde T : tension de la corde µ : masse linéique de la corde

Vibration d’une corde fixée à ses extrémités Plus la corde est lourde, plus elle sonne grave à tension et longueur égale : On utilise une corde de plus grand diamètre ; On utilise un enroulement de métal autour d’une corde simple (corde filée).

Vibration d’une corde fixée à ses extrémités On rencontre le même genre de problème avec les violons et les altos. Si la tension et la masse des cordes étaient les mêmes, la longueur de corde d’un alto devrait être 1,5 fois celle du violon : 49 cm, c’est très grand. Les cordes d’alto mesurent environ 38 cm : elles sont moins tendues et plus lourdes pour compenser.

Vibration d’une corde fixée à ses extrémités À longueur fixée (cas des instruments de la famille des violons ou des violes), on peut jouer sur le diamètre et/ou la tension. On peut montrer que, à T et L constant : Ré-La Rapport de fréquence : 0,75 Rapport de diamètre : 0,8 La-Mi Rapport de fréquence : 0,75 Rapport de diamètre : 0,77 C : constante liée aux dimensions de l’instrument D : diamètre de la corde La tension n’est pas constante ! Mi-Do Rapport de fréquence : 0,79 Rapport de diamètre : 0,76 note fréquence diamètre ré 146,8 Hz 160 mm la 110 Hz 200 mm mi 82,4 Hz 260 mm do 65,4 Hz 340 mm sol 49 Hz 460 mm 36,7 Hz 610 mm Do-Sol Rapport de fréquence : 0,75 Rapport de diamètre : 0,74 Sol-Ré Rapport de fréquence : 0,75 Rapport de diamètre : 0,76 Diamètre équivalent si la corde était en boyau

Modes propres et timbre Lorsqu’on fait vibrer une corde, les différents partiels sonnent tous en même temps avec différentes intensités : c’est une partie de ce qui fait le timbre Les modes propres ont une fréquence proche de celle donnée par la série harmonique Spectre 3D d’une note de violon Exemple de corde vibrant selon deux modes simultanément Source : Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset

Effets non-linéaires : inharmonicité Plusieurs phénomènes intrinsèque à la corde contribuent à modifier la fréquence des partiels par rapport à la série harmonique : L’épaisseur de la corde et son homogénéité ; La raideur de la corde L’accroissement de la longueur entre l’état de repos et la position écartée ; L’accroissement de tension entre l’état de repos et la position écartée. Des phénomènes de couplage corde/caisse de résonance ou corde/archet viennent s’ajouter aux causes d’inharmonicité Contrainte : s = F/s0 Allongement relatif : e = (l−l0)/l0 Module d'Young (ou module d'élasticité) : E = s/e Évolution de la fréquence selon une série harmonique (en rouge) et en prenant en compte la raideur (en vert) E : module d’Young de la corde, i.e. sa capacité à s’opposer aux déformation Effet minime pour ces deux derniers points (variation de fréquence de l’ordre de 0,1% voire moins)

Inharmonicité : cas du piano Le piano n’a pas de caisse de résonance, seulement une table d’harmonie. La table d’harmonie du piano est connue pour être surtout un amplificateur : elle à peu d’influence en retour sur la vibration des cordes. (cf. article Le piano, E. Blackham - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset) Structure d’une corde de piano Cordes aigues : simple fil d’acier homogène Cordes graves : fil d’acier entourée d’un fil de cuivre ou de fer (deux enroulements pour les cordes très graves)

Inharmonicité : cas du piano Le 16e partiel est plus haut d’un demi-ton que l’harmonique correspondante : c’est un la # médium au lieu d’être un la 440Hz. Conséquences importantes sur la façon d’accorder les pianos pour que les accords sonnent bien. Évolution de la fréquence selon une série harmonique (en rouge) et en prenant en compte la raideur (en vert) Fréquence des partiels du la grave d’un piano (trait plein) – fréquences de la série harmonique (trait pointillé) Source : Le piano, E. Blackham - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset

Différentes méthodes d’excitation Excitation continue ou prolongée par « archet » (violons, violes, ou vielles à roue) : oscillations forcées (auto-oscillations) Excitation de très courte durée (corde frappée ou pincée) : oscillations libres

Oscillations amorties Le signal est pseudo-périodique (pas de répétition rigoureuse d’une période au cours du temps) Exemple d’une sinusoïde atténuée de façon exponentielle : Élargissement spectral Timbre est plus riche que si le son était continu et rigoureusement périodique

Amortissement d’une corde en oscillation libre Temps caractéristique d’amortissement d’une corde par l’effet de la viscosité de l’air en fonction de sa fréquence de vibration Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008 Le temps d’amortissement dépend de la fréquence de vibration de la corde Les différents partiels ne s’amortissent pas tous à la même vitesse en fonction de la nature de la corde (attention aux couplages avec la table d’harmonie et/ou la caise de résonance vide infra) Sonogramme d’un son de guitare selon la nature de la corde Source : M. Castellego, BUP N°649 (1982) pp.337-346

Cordes pincées Temps d’excitation court : quelques millisecondes, i.e. de l’ordre de grandeur de la plupart des périodes T = 1/f des vibrations émises (voire plus court) Source : http://jpchorier.perso.sfr.fr/introductionalamusique/instruments/Leclavecin.html Force exercée par un plectre sur une corde de clavecin Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008

Cordes pincées La position du point d’excitation (plectre ou doigt) impose une condition de vibration à la corde : il ne peut pas y avoir un nœud de vibration à cet endroit Effet sur le timbre Source : M. Castellego, BUP N°649 (1982) pp.337-346

Cordes frottées : principe de fonctionnement de l’archet L’archet entraîne des successions de tension-détente de la corde par des phases d’adhérence et des phases de glissement Son « triangulaire » très différent d’un son pur Ce n’est pas le son d’un instrument à archet… Modélisation grossière Couplage avec la table d’harmonie et la caisse de résonance triangulaire sinusoïdal pur t x,x’ Déplacement de la corde sous l’archet (en rouge) et vitesse du point de contact corde-archet (en bleu) Modèle de Helmholtz

Action de l’archet sur la corde La phase d’adhérence présente des oscillations (modes propres de torsion de la corde) La phase de glissement se déroule en plusieurs étapes Engendre une complexification du contenu fréquentiel de la vibration, donc un enrichissement du timbre vitesse du point de contact corde-archet (modèle de Helmholtz en pointillé) Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008

Cordes frottées : placement de l’archet La place de l’archet impose un déplacement dans la zone de contact : Pas de nœud à cet endroit Impact sur le timbre La place d’archet conditionne la longueur relative des phases d’adhérence et de glissement Impact sur l’excitation de la corde

Effet de la pression de l’archet La fréquence de vibration est abaissée si la pression est trop grande L’effet est plus marqué à faible vitesse Lorsqu’on joue plus près du milieu de la corde Les vibrations ne sont plus imposées par la corde : l’archet crée une non-linéarité forte Effet de la pression de l’archet sur la fréquence de vibration d’une corde en fonction de la vitesse d’archet ou de sa position sur la corde Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008

Caisse de résonance et table d’harmonie et chevalet La vibration d’une corde ne met pas suffisamment l’air en mouvement pour générer une onde sonore musicalement intéressante. Le rôle de la table est de transmettre la vibration de la corde à l’air environnant : c’est le système de diffusion du son. La caisse de résonance est un filtre : certaines fréquences sont amplifiées, d’autres sont atténuées Le chevalet est l’élément qui transmet l’énergie de la corde vibrante à l’ensemble {table,caisse}

Quelques exemples de chevalet Le chevalet doit être adapté aux types de vibrations : entretenues ou libres

Chevalet pour oscillations libres Pour des oscillations libres, le chevalet doit transmettre l’énergie progressivement à la table Décroissance lente de l’onde, son de durée suffisante Pas de claquement trop prononcé à l’attaque Par exemple, pour une guitare, on utilise du palissandre ; si on prend un bois plus dur (ébène), la vibration est transmise plus directement à la table : le son est moins « malléable ».

Chevalet pour oscillations entretenues Pour des oscillations entretenues, le chevalet doit transmettre rapidement et presque totalement l’énergie à la table l’énergie ne s’emmagasine pas dans la corde : Amplitude pas trop grande : évite la distorsion du son (saturation, non linéarité) Optimisation de l’effort du musicien pour obtenir un son puissant

Son émis et vibrations de l’ensemble {table-caisse} Le timbre ressenti à proximité de l’instrument est fortement lié à ce que transmet la vibration de la table Les fréquences atténuées par l’ensemble {caisse-table} donnent lieu à des partiels atténués ou manquants dans le timbre Réponse de la caisse à un bruit blanc Atténuation (dB) Zones de forte atténuation Analyse du timbre d’un la 110 Hz Partiels absents Étude des vibrations de la caisse d’un violoncelle : comparaison au timbre Fréquence (Hz)

Rayonnement de la table d’harmonie La table doit avoir une surface adaptée : trop grande, elle vibre à basse fréquence et ne permet pas la transmission des aigus trop petite, elle vibre à haute fréquence et ne permet pas la transmission des graves

Rayonnement de la table d’harmonie Pour les instrument qui couvrent un large domaine de fréquence, la table comporte des régions adaptées

Rayonnement de la table d’harmonie Le rayonnement est directionnel Le placement relatif auditeur/table d’harmonie joue sur la perception de l’intensité, mais aussi du timbre : la table ne rayonne pas de la même manière à toutes les fréquences Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008

Table de clavecin La table est une surface vibrante selon des modes, comme une corde, mais en 2 dimensions. Un barrage complexe permet une transmission correcte de larges plages de fréquences en empêchant la table de vibrer uniquement à basse fréquence. Sous la table d’un clavecin Keiser (Cité de la Musique, Paris)

Quelques modes de vibration d’une table d’harmonie de clavecin Table de clavecin 36 modes identifiés entre 0 et 600 Hz : par une grande densité de mode, on accroît les chances qu’un partiel issu de la corde soit transmis Quelques modes de vibration d’une table d’harmonie de clavecin Source : E. Kottick, K. Marschall, T. Hendrickson, L’acoustique du clavecin - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset, Pour la Science 1995

Plaques de violon On appelle « plaque » la table et le fond du violon. Les plaques ont leurs modes propres de vibration Premiers modes de vibration d’une table (rangée du haut ; 80, 147, 222, 304 et 349 Hz) et d’un fond de violon (rangée du bas ; 116, 167, 222, 230, 349 et 403 Hz) Source : C. Maley Hutchins, L’acoustique des plaques de violon - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset, Pour la Science 1995

Plaques de violon Les vibrations de la table et du fond sont couplées quand la caisse est montée : il faut accorder les modes de vibration avant montage. Les modes 1, 2 et 5 semblent critiques. Si l’écart de fréquence de ces modes est trop grand entre le fond et la table, le violon devient grinçant Ces modes sont testés « à la main » par les luthiers On ajuste la fréquence en jouant sur la raideur de la plaque (en rabotant plus ou moins) On peut agir sélectivement sur un mode en ponçant des zones de ventre de vibration de ce mode qui sont des nœuds pour les autres modes

Caisse de résonance Elle n’existe pas chez tous les instruments à cordes (ex : pas de caisse de résonance pour un piano) Elle doit amplifier les vibrations transmises à la table en accumulant de l’énergie libérée de façon contrôlée par la table Elle ne doit pas être trop sélective, sinon le timbre ne sera pas homogène

Exemples de modes de vibration de la caisse de résonance d’un clavecin Elle possède des modes propres de vibration en 3 dimensions Exemples de modes de vibration de la caisse de résonance d’un clavecin Source : E. Kottick, K. Marschall, T. Hendrickson, L’acoustique du clavecin - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset, Pour la Science 1995

Caisse de résonance et ouïes Les ouïes permettent d’évacuer une surpression locale d’un mode propre de la caisse qui se formerait à leur place si elles n’étaient pas là. Elles empêchent que certains modes de la caisse forcent sur la table d’harmonie Elles contribuent au rayonnement de l’instrument Elles peuvent faire vibrer les cordes par sympathie dans le cas des oscillations libres

Couplages cordes-table-caisse L’ensemble table-caisse n’est pas qu’un filtre des signaux envoyés par la corde : il impose ses vibrations propres à la corde. Si le couplage est trop grand, il peut être nuisible pour la musique ; c’est la note du loup des violoncelles, des violes de gambe (et dans une moindre mesure des altos) Elle se produit sur une fréquence propre de la caisse de résonance (déterminé par le volume d’air emprisonné). La caisse amplifie de façon trop importante une fréquence. Lorsque cette fréquence est excitée sur la corde, la caisse accentue l’amplitude de la vibration de la corde, créant une instabilité au niveau du contact corde-archet : il y a une phase de glissement supplémentaire.

Atténuation de la note du loup On peut atténuer la note du loup : En appuyant l’archet plus fort ; En plaçant sur la caisse ou sur les cordes (entre le chevalet et le cordier) un absorbeur d’énergie correspondant à la fréquence gênante.

Les harmoniques Les sons harmoniques sont des effets : on excite la corde en bloquant l’émission du fondamental ; Un nœud est créé artificiellement (en l’effleurant dans le cas des violons) mais la corde vibre sur toute sa longueur ; Son faible : l’amplitude de vibration est limitée par la suppression de ventres au point d’effleurement.

Bibliographie Le son musical, John Pierce, Pour le Science 1983 Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset, Pour la Science 1995 Étude acoustique du timbre d’un instrument de musique, M. Castellengo, BUP N°649 (1982) pp.337-346 Intervalles, échelles, tempéraments et accordages musicaux, Jean Lattard, L’Harmattan 2003 Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008 Acoustique, informatique et musique, Brigitte d’Andréa-Novel, Presses des Mines 2012 Physique, Eugene Hecht, De Boeck 1999

Quelques logiciels Audacity 2.0 - logiciel libre http://audacity.sourceforge.net Goldwave - version d’essai complète http://www.goldwave.com/