Jacques Paradis Professeur Dérivée en un point Jacques Paradis Professeur Département de mathématiques

Plan de la rencontre Élément de compétence Taux de variation moyen Vitesse moyenne Dérivée en un point Taux de variation instantanée Vitesse instantanée Département de mathématiques

Élément de compétence Déterminer si une fonction a une limite, est continue, est dérivable, en un point et sur un intervalle. Calculer le taux de variation moyen Interpréter graphiquement le taux de variation moyen Calculer des vitesses moyennes Calculer la dérivée d’une fonction en un point Interpréter graphiquement la dérivée en un point Calculer des vitesses instantanées Appliquer la fonction dérivée en utilisant sa définition Élément de compétence no 2 Département de mathématiques

Rappel sur la droite Soit y = ax + b l’équation d’une droite de pente « a » passant par (x1 , y1) et (x2 , y2), où b représente l’ordonnée à l’origine : (0 , b) Exemple : Trouver l’équation de la droite passant par (-2 , 3) et (3 , 1). b x1 x2 (x2 , y2) (x1 , y1) y2 y1 ∆y = pente de la droite ∆x Département de mathématiques

Taux de variation moyen (1 de 3) f(x) continue sur [a,b] Taux de variation moyen sur [a, b] TVM[a,b] = = pente de S (sécante) Ex. Si f(x) = x2 + 4 TVM[3,5] = = 8 x y S P Q a b f(b) f(a) f(b)-f(a) b-a Département de mathématiques

Taux de variation moyen (2 de 3) Taux de variation moyen sur [x, x + x] TVM[x,x+x] = = = pente de S y P Q x x+x S f(x+x) y Pour alléger l’écriture, nous pouvons remplacer x par h, où h > 0. f(x) x Département de mathématiques

Exemple 1. Soit f(x) = 1/(x + 2), a)Trouver le taux de variation moyen sur [0 , 4] b) Même question sur [3 , 3 +h] c) Trouver 2. Le 03 février 2012, l’indice composé de la bourse de Toronto S&P/TSX a débuté la journée (09:30) à 12 553,48 points et a clôturé à 12 577,28 points (16:30). Déterminer le taux de variation moyen de l’indice sur cette période. Département de mathématiques

Taux de variation moyen (3 de 3) Vitesse moyenne sur [ti , tf] Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t, La vitesse moyenne de cet objet sur un intervalle de temps [ti , tf] est définie par : = ti : temps initial; tf : temps final; x(t) est la notation pour exprimer la distance empruntée à la physique. Département de mathématiques

Exemple Un individu, placé sur le toit d’un immeuble de 50 m, lance une balle vers le haut. La hauteur de cet objet, à l’instant t, est donnée par x(t) = 50 + 10t -2,5t2. a) Combien de temps la balle prendra-t-elle pour toucher le sol? b) Quelle est la vitesse moyenne de la balle durant les deux premières secondes? Exercices 3.1, page 93, nos 2, 4, 7, 9, 12 Département de mathématiques

Dérivée en un point (définition) La dérivée d’une fonction f(x) au point P(a , f(a)), notée f’(a), est définie par : f’(a) = = = pente de T = taux de variation instantané, noté TVIx=a y f(a+x) S x y P Q1 a a+x Q2 T f(x) est une fonction continue en x = a Q3 f(a) Département de mathématiques

Dérivée en un point (remarque) L’évaluation de la dérivée d’une fonction f(x) au point P(a , f(a)) est définie par : f’ (a) = conduit toujours à une indétermination de la forme : Département de mathématiques

Dérivée en un point (Exemple) S Soit f(x) = 2x2 + x – 3 a) Trouver l’accroissement de f(x) sur [-1 , 2] b) Trouver le taux de variation moyen sur [-1 , 2] c) Trouver le taux de variation instantané en x = -1 d) Trouver l’équation de la droite tangente à la courbe en x = -1 (2,7) y x T Exercices 3.2, page 109, nos 2a, 2b et 3 (-1,-2) Département de mathématiques

Dérivée en un point (Vitesse) Vitesse instantanée à l’instant t = a Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t, La vitesse instantanée de cet objet au temps t = a est définie par : vt=a = Département de mathématiques

Exemple Un individu, placé sur le toit d’un immeuble de 50 m, lance une balle vers le haut. La hauteur de cet objet, à l’instant t, est donnée par x (t) = 50 + 10t -2,5t 2. Quelle est la vitesse instantanée de la balle à la deuxième seconde? Quelle est la signification de votre résultat? Quelle est la vitesse instantanée de la balle à la troisième seconde? Exercice : page 109, no 2a Département de mathématiques

Devoir Exercices 3.1, page 93, nos 1 à 4, 7 à 10, 12. Exercices 3.2, page 109, nos 1, 2a, 2b, 3, 4, 5, 8 (sauf d), 9 et 10. Exercices récapitulatifs, page 119, nos 1a, 1b, 2, 3, 5, 9 (sauf d), 10, 11 et 14. Réponses no 10 : a) 4, b) -2, c) 0, d) 1. Réponses no 11 : a) -0,09 mol/L, b) -0,004 mol/L/sec, c) -0,002 mol/L/sec Réponses no 14 : a) 260 cm2 et 886,6… cm3, b) 52 cm2/cm et 177,3… cm3/cm c) 32 cm2/cm et 64 cm3/cm Département de mathématiques