REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA OPTION : OUVRAGES METALLIQUES Tanindrazana – Fahafahana - Fandrosoana Flambement Programme du SECTEUR : INDUSTRIEL FILIERE : STRUCTURES METALLIQUES OPTION : OUVRAGES METALLIQUES ACCESMAD 2014 document proposé par ACCESMAD 2014

Objectifs du document -définir le flambement (ou flambage) sur un exemple -étudier les différents paramètres pouvant favoriser le phénomène -donner l’expression de la charge et de la contrainte associée au flambement (théorie d’Euler). -développer les différentes méthodes de vérification des pièces soumises au flambement.

1-Exemple de pièce soumise au flambement simple(*) Barre de section rectangulaire articulée entre 2 nœuds et soumise à une compression axiale x Effort normal N Le nœud supérieur peut coulisser verticalement (*) pièce soumise à la seule compression (absence de flexion due à des charges extérieures ) L’intensité N peut-elle augmenter sans risque pour la colonne? Le nœud inférieur est immobile y z Vue de la section en coupe

Exemple de pièce soumise au flambement simple Barre de section rectangulaire articulée entre 2 nœuds et soumise à une compression axiale N<Nk Compression Le système reste stable Le système reste stable y z

Exemple de pièce soumise au flambement simple Barre de section rectangulaire articulée entre 2 nœuds et soumise à une compression axiale N=Nk (charge critique) La section subit alors une déviation ou flèche. L’équilibre obtenu devient précaire Compression + amorce d’une flexion flèche La flèche se produit perpendiculairement à l’axe z’z ; (axe par rapport auquel le moment quadratique de la section est minimal) Un accroissement infime de la charge peut produire une déformation importante La déformation n’est pas proportionnelle à l’intensité de la force extérieure Le système devient instable Z y Z’

Exemple de pièce soumise au flambement simple N>Nk L’expérience est facilement réalisable avec Une règle plate que l’on pose verticalement sur une table. Appuyer dessus avec la main, la règle reste droite jusqu’à une certaine limite. Au-delà, la force exercée fait fléchir brutalement la règle qui risque de se rompre flèche Risque de rupture y z Z’

Exemple de pièce soumise au flambement simple EFFONDREMENT! Au delà de sa valeur critique, la force risque d’entrainer un effondrement de la structure N>>Nk La force critique ne devra jamais être dépassée!

2-détermination de la charge critique x 2-détermination de la charge critique Evaluons les efforts internes qui prennent naissance dans toute les sections d’abscisse x lors du flambage. La section étant faiblement déviée de y par rapport à l’axe neutre initial, un moment de flexion M=-F.y de rappel permet encore de réaliser son équilibre Fcr B La relation différentielle de flexion s’écrit: L/2 f La solution de l’équation est sinusoïdale. L’axe longitudinal de la poutre décrit une demie sinusoïde de période spatiale 2L et d’amplitude f. La solution s’écrit: y Mf L/2 F x D’où l’expression de la force critique A y E=module d’élasticité du matériaux, Izz’=moment quadratique minimal de la section Remarquons que le risque de flambage augmente fortement avec L

La flexion se produit toujours dans le plan qui correspond à la résistance minimale en flexion (plan perpendiculaire à l'axe zz' pour les exemples suivants).

3-influence de la nature des liaisons d’extrémité de la structure Plus généralement , par application de la théorie d'EULER, on montre que la charge critique peut se mettre sous la forme : Avec lk « longueur libre de voilement » ou « longueur de flambement» Exemples: Pour une poutre à nœuds guidés et encastrés lk=L/2 . La charge critique est donc quatre fois supérieure à celle d'une poutre de même longueur et articulée à ses extrémités. Le risque de flambement est donc moindre avec deux encastrements. Exemples:

4-Quelques définitions 4-1-le rayon de giration rzz’ relatif à un axe zz’ d’une surface de section S et de moment quadratique Iz’z par rapport à cet axe (fig.A). surface S réelle z’ z de moment quadratique Izz’ par rapport à l’axe z’z Fig A S Un point concentrant toute la section S (fig.B) devrait être placé à la distance rz’z de l’axe z’z pour avoir le même moment quadratique Izz’ que la section S, soit: (On peut imaginer la surface S « repliée » sur elle-même en ce point) Point fictif concentrant toute la section S z’ z Fig.B Cette définition va nous permettre dans donner une autre, celle de l’élancement d’une structure ….

4-3-contrainte critique scr 4-2-l’élancement l : C’est le rapport entre la longueur de flambement lk et le rayon de giration r l caractérise la flexibilité de la poutre et permet de classer les poutres ou colonnes courtes ou longues 4-3-contrainte critique scr La contrainte critique est celle engendrée par la force critique. La flèche étant faible, celle-ci peut être considérée en première approximation comme étant due à une compression seule.. Cette contrainte limite due au flambage est d’autant plus réduite que l’élancement est grand (c’est le cas en général des pièces longues)

5-domaine d’utilisation de la formule de la contrainte critique: Pour les petits élancements (pièces courtes), la contrainte critique (qui apparait en pointillé sur le graphe ci-dessous et prend une valeur élevée) n’est plus déterminante pour la vérification de la pièce, la contrainte dans la pièce ne pouvant dépasser la limite élastique se . Ainsi pour l’acier ordinaire (se=240MPa et E=210GPa), la formule de la contrainte critique ne peut s’appliquer que si l’élancement de la pièce est supérieur ou égal à lc (élancement critique): pièces longues pièces courtes Domaine d’utilisation de scr

Pièces moyennes (20<l<100) Pièces longues (l>100) 6-Procédures de vérification de pièces: 6-1 cas des poutres en acier: 6-1-1 méthode simplifiée d’Euler- Rankine: La vérification dépend de l’élancement de la pièce: Pièces courtes (l<20) Pièces moyennes (20<l<100) Pièces longues (l>100) Compression sans flexion Fle de Rankine Fle d’Euler 6-1-2 règles CM66: Ces réglements encore en usage ont été établis à partir des travaux de Dutheil dans les années 1960 La méthode de Dutheil prend en compte les défauts d’alignement des profilés lors du laminage, de l’excentration inévitable de la charge de compression et de la contrainte résultant de la flexion lors du flambement.

6-1-2-1 flambement sous compression simple de poutre à âme pleine (absence de moment de flexion dueà des charges extérieures dans le plan de flambement) : -calcul de la contrainte de compression:

B-méthode graphique Par ex, pour l=113, ss=102MPa La valeur de ss peut être trouvée graphiquement en utilisant la courbe (rose) Par ex, pourl=113, ss=102MPa Par ex, pour l=113, ss=102MPa

1-Expression de la charge critique Fcr F = Fcr F< Fcr pivot 1-Expression de la charge critique Fcr L flambage Compression La poutre reste droite La déformée est sinusoïdale