1 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Problème des groupes Un amphi de 200 élèves : loi normale moyenne X et écart type s –Un élève : on peut connaître la probabilité de sa note –Exemple, X=10, s=2, l’élève à 14 => Top 2,5% L’élève à 11 => Top 31% Comment faire pour un groupe d’élèves ? –Sur un groupe, les bonnes notes sont compensées par les mauvaises –Extrêmement improbable qu’un groupe ait 14 de moyenne 8 ; 14 ; 16 ; 16 ; 18 –Une moyenne de 12, c’est déjà beaucoup : 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16

2 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Comment faire ? Individu On compare la note d’un individu à la distribution des notes On conclut grâce à la loi normale Groupe de taille N On compare un groupe de taille N à la distribution des groupes de taille N.  Plus précisément, on compare la moyenne d’un groupe avec la distribution des moyennes des groupes de taille N On conclut grâce à la loi normale

3 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Exemple VOS notes d’anglais de l’an dernier Notes d’anglais par groupe de 4

4 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Distribution d’échantillonnage des moyennes On prend un groupe E au hasard de taille N On calcule sa moyenne E = 10,2 On recommence avec beaucoup de groupes 9,6 9,7 10,3 10,8 10,0 10,3 11,2 On obtient une distribution C’est la distribution d’échantillonnage des moyennes

5 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Théorème central limite Soit X une variable suivant une loi normale de moyenne X écart type s x On note EX la distribution d’échantillonnage des moyennes. Alors –EX suit une loi normale –Cette loi normale a pour moyenne X –Cette loi normale a pour écart type s x /  N

6 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Exemple des Notes d’anglais Les notes d’anglais suivent –la loi normale (plus ou moins) –de moyenne X=10,5 –et d’écart type s X = 3 Sa distribution d’échantillonnage des moyennes (groupes de taille 4) –suit une loi normale –de moyenne EX=10,5 –et d’écart type s EX =3/  4 = 3/2=1,5

7 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Exemple des notes Un amphi de 200 élèves suit –la loi normale –de moyenne X=10 –et d’écart type s X = 2 Sa distribution d’échantillonnage des moyennes (groupes de taille 25) –suit une loi normale –de moyenne EX=10 –et d’écart type s EX =2/  25 = 2/5=0,4

8 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Ne mélangeons pas tout ! X est la moyenne de la distribution X G est la moyenne du groupe G E est la moyenne de l’échantillon E EX est la distribution d’échantillonnage des moyennes. Comme toute distribution, EX a une moyenne. EX est la moyenne de la distribution EX Si c’est clair, tout le reste est facile !

9 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Problème Un amphi : moyenne X=10, écart type s X = 2 Le groupe des APA (25 élèves) : moyenne G=11 La différence est-elle significative ? On va comparer la moyenne du groupe à la distribution d’échantillonnage des moyennes EX : –EX=10 –s EX =2/  25 = 2/5=0,4 Ensuite, on utilise la loi normale : Hautement significatif (au risque 1%)

10 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Autre formulation de la solution

11 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Quand on ne connaît pas  Dans l’exemple précédent, on a comparé la moyenne d’un groupe G à la moyenne de la population X. Coup de chance, on connaissait l’écart type de la population. Problème : Si on ne connaît pas  X, comment faire ? Solution : On fait une approximation, on remplace  X par s G

12 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Exemple des salaires Un groupe de 10 femmes comparent leur salaire à celui des hommes : Salaire moyen des hommes : –moyenne=28 k$, –Écart type=? Salaire des 10 femmes : 24, 27, 31, 21, 19, 26, 30, 22, 15, 36 –Moyenne = 25,1 k$ –Écart type = 5,9 On approxime l’écart type des salaires moyens des hommes par l’écart type des salaires moyens des femmes

13 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Approximation : s G n’est pas  X Si N est grand (N>30) : pas de problème, s G est presque égal à  X Si N est petit (N<30 ) : s G est une sous estimation de  X –Donc le Z obtenue serait trop grand (par rapport à celui qu’on obtiendrait si on connaissait  X ) Dans ce cas, on remplace Z par le T de Student

14 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Récapitulatif On connaît s X On conclut grâce à la table de la loi normale On ne connaît pas  X N est grand (N>30) On conclut grâce à la table de la loi normale On ne connaît pas  X N est petit (N<30) On conclut grâce à la table du T de Student

15 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini T de Student Un échantillon de taille N a un degré de liberté (ddl) de N-1. On trouve le T de Student grâce à la table :

16 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini ATTENTION Pour le  2 DDL = (colonnes-1)x(lignes-1) Pour le T de Student DDL = effectifs - 1

17 Licence Stat-info CM3 a 2004 V1.2Christophe Genolini Exemple des salaires On calcule T Obs : Au risque 5% DDL 9, on trouve T Th =2,262 Comme T Obs < T Th, on ne peut pas rejeter H0