Traitement Numérique du Signal Wadih SAWAYA

I - Rappels en théorie du Signal

2. Rappels en théorie du Signal Nous distinguons: Les signaux déterministes: réalisation certaine dans le temps. Classification au sens énergétique : Signaux à énergie finie Signaux à puissance moyenne finie. Les signaux aléatoires: A chaque réalisation w nous obtenons un signal temporel différent. Ce sont des processus aléatoires notés Etude des signaux en fonction de leurs propriétés statistiques et temporelles.

3. Signaux déterministes

4. Exemple de signaux Signal à énergie finie: 1 - 1 t 1/2 -1/2 f

5. Exemple de signaux Signal périodique carré de période T: Coefficients de la série de Fourier: T/4 -T/4 3T/4 T T

6. Les processus aléatoires Soit x(t,w) un processus aléatoire. L'ensemble des mesures effectuées à l'instant t0 forme une variable aléatoire X0. Nous pouvons ainsi collecter les variables aléatoires X1, X2, ..., prises aux instants t1 , t2 , …, ayant chacune: une densité de probabilité: Un moment d’ordre 1 (moyenne statistique): Un moment d’ordre 2 (fonction d'autocorrélation):

7. Les p.a stationnaires du second ordre au sens large Un p.a est dit stationnaire du 2nd ordre au sens large si: 1) 2) 3) est continue à l'origine. Un p.a stationnaire du 2nd ordre au sens large admet une densité spectrale de puissance tel que:

8. Filtrage des p.a stationnaires du second ordre au sens large Soit x(t,w) un p.a stationnaire du 2nd ordre au sens large à l'entrée d'un filtre de réponse impulsionnelle h(t) et de fonction de transfert H(f). 1) La sortie y(t,w) est un p.a stationnaire du 2nd ordre au sens large. 2) 3) 4)

9. Les signaux à temps discret Enoncé du théorème d'échantillonage: Soit un signal x(t) à bande limitée Ce signal est entièrement défini par ses échantillons prélevés aux instants kTe tel que: Expression de la séquence discrète: Sa transformée de Fourier est périodique de période 1/Te:

10. Transformée de fourrier du signal discret - B B -2fe 2fe fe -fe B -B f

11. Reconstitution d'un signal Filtrage dans la bande du signal: C'est une formule d'interpolation. Elle nécessite la connaissance de tous les échantillons kTe pour reproduire le signal d'origine. D'où l'impossibilité en pratique de reconstituer un signal sans erreurs. -2fe 2fe fe -fe B -B

II - Pratique du Traitement du Signal

13. Effets de troncature En pratique on traite le signal par blocs (ou fenêtres) de durées T = NTe Te = pas d'échantillonnage N = nombre d'échantillons à traiter Le signal tronqué s'exprime ainsi: Nous remarquons qu'un phénomène d'ondulations intervient en fréquence provenant de l'opération de convolution avec le sinus cardinal.

14. Effets de troncature Plus N est grand plus ces ondulations vont diminuer (sans toutefois disparaître dans certains cas). Il y a donc un compromis à faire sur le choix de N: N élevé : on réduit l'amplitude des ondulations survenant dans la bande passante, mais nombre d’opérations nécessaires au traitement élevés. N faible: réduction du nombre d'opérations à effectuer et du temps de traitement, mais puissance de l’erreur plus grande à cause des ondulations générées en bande.

15. Effets de troncature Exemples: Synthèse de filtres connus par leur "fonction de transfert » et de réponse impulsionnelle à durée infinie: filtres en cosinus surélevé filtres de Butterworth, Chebyshef.... t f T Fonction de transfert du filtre en rolloff avec la présence d’ondulations en bande et hors bande réponse impulsionnelle du filtre en roll-off tronquée sur une fenêtre de durée T

16. Fenêtres de pondération Jusqu'ici nous avons considéré un fenêtrage temporel brutal, comme si on multipliait le signal par la fonction rect(). Il y a un moyen d'adoucir cette troncature en considérant des fenêtres appelées fenêtres de pondération et dont les caractéristiques permettent de réduire ces ondulations survenant en bande.

17. Fenêtres de pondération Voici quelques exemples de fenêtres: Fenêtre de Bartlett : Fenêtre de Hanning :

18. Phénomène de Gibbs En présence de discontinuités dans la fonction de transfert, les ondulations ne disparaissent pas lorsque N  , mais se concentrent autour des points de discontinuités. C'est le phénomène de Gibbs. Soit à synthétiser un filtre passe-bas idéal par exemple. La réponse impulsionnelle tronquée de ce filtre a comme transformée de Fourier: la série en sinus cardinal n'est pas convergente pour N  et donc

Exemple de synthèse d'un filtre passe-bas idéal 19. Phénomène de Gibbs N = 16 N = 64 Exemple de synthèse d'un filtre passe-bas idéal

20. Recouvrement de spectre Nécessité d’un filtre anti-repliement Quand le signal est à bande infinie, les bandes obtenues par périodisation vont chevaucher la bande de base. Afin d'éviter ce phénomène, on filtre le signal d'origine pour ne garder que la bande utile. L'erreur qu'introduit le filtre anti-repliement reste inférieure à l'erreur générée par le recouvrement spectral. Cette erreur est théoriquement minimale si on filtre la séquence discrète avec un filtre passe-bas idéal.

III - Outils théoriques pour le Traitement numérique du signal - La Transformée de Fourrier Discrète. - La Transformée en Z

22. La Transformée de Fourier discrète TFD La transformée de Fourier n'est pas la mieux adaptée aux processeurs de traitement numérique du signal . Nous introduisons la TFD sur N points: La TFD est calculée sur échantillons temporels, et pour valeurs de fréquences discrètes. Bien qu'elle soit périodique en temps et en fréquence, nous ne considérons que N valeurs dans les deux domaines.

23. Propiétés de la TFD Soient: Linéarité: Décalage cyclique: x[k] x1[k] exemple m = -2 ; N = 5 k 1 2 3 4 (k-m)N

24. La convolution cyclique Soient si alors: l'opération est appelée convolution cyclique, l'argument (k-m) étant pris modulo N. La multiplication de deux TFD correspond à une convolution cyclique et non à une convolution linéaire.

25. Convolution cyclique et convolution linéaire 5 10 15 20 25 30 0.5 1 1.5 xk) L = 12 pts 1.5 y(k) 1 P = 12 pts 0.5 5 10 15 20 25 30 convolution linéaire z(k) convolution cyclique sur N = L points

26. Convolution cyclique et convolution linéaire x(k) L = 12 pts y(k) P = 5 pts convolution linéaire z(k) convolution cyclique sur N = P+L-1 points

27. Convolutions cyclique et linéaires Les deux convolutions coïncident et sont équivalentes lorsque la convolution cyclique est effectuée sur N  L+P-1 points. Il suffit de rajouter des zéros sur les séquences x et y pour rendre ces séquences de longueur N.

28. Calcul rapide de la TFD: La Transformée de Fourier rapide Le calcul de la transformée de Fourier discrète fait intervenir N 2 multiplications complexes. Des algorithmes tenant profit de la symétrie de la suite des exponentielles complexes disposées sur un cercle de rayon unité, permettent de réduire ces multiplications à: Terminologie: TFR ou en anglais FFT

29. Convolutions cycliques et TFR: Conséquences pratiques Exemple: Filtrage numérique L’opération de filtrage en traitement numérique reste toujours l’opération linéaire de convolution: Cette opération peut être réalisée dans le domaine temporel par le calcul de l ’expression de convolution linéaire Si L est le nombre d’échantillons du filtre et P la taille du signal , le nombre total de multiplications pour réaliser la convolution est : x(k) h(k) y(k) = 0 si L est paire et L+1 si L est impaire

30. Convolutions cycliques et TFR: Conséquences pratiques Exemple : Filtrage numérique (suite) Dans le cas où , le nombre de multiplications Nb à réaliser devient vite très élevé (ex: ) Pour cela on préfère réaliser le filtrage en fréquence, c’est-à-dire la multiplication point à point des deux TFD. Les deux TFD ont même nombre de points N. La réponse temporelle de cette opération est une convolution cyclique et non une opération de convolution linéaire propre au filtrage. Pour que la convolution cyclique coïncide avec la convolution linéaire, il faut choisir N  L+P-1 points

31. Convolutions cycliques et TFR: Conséquences pratiques Exemple: Filtrage numérique (suite) La TFR (ou FFT) est obtenue avec opérations de multiplications Le nombre d ’opérations total correspond à celui de: (2 TFR) + ( N multiplications points à points des 2 TFR) + (1 TFRInverse) , au total Exemples ; Nb = 32768 multiplications au lieu de 114816, donc un gain de 70% environs. x(k) TFR X(n) h(k) TFR H(n) X Y(n) y(k) TFRI multiplications

32. La Transformée en Z Définition: Outil très apprécié en traitement numérique du signal. Permet une représentation des séquences et des systèmes discrets afin de faciliter : l ’étude de leur comportement les simuler et les synthétiser Définition:

33. La Transformée en Z z est une variable complexe. La série X(z) peut ne pas converger pour toutes les séquences et pour toutes les valeurs de z Pour une séquence donnée on définit la région du plan complexe où la série converge.

34. La Transformée en Z La partie causale de X(z), soit X+(z) converge pour La partie anti-causale de X(z), soit X-(z) converge pour R+ R- zone de convergence

35. Convergence, stabilité L'étude de la zone de convergence nous permet de savoir si: La transformée de Fourier existe <=> le cercle de rayon unité appartient à la zone de convergence. En effet il suffit de remplacer z par e j2pkf dans X(z), donc par un nombre complexe de module 1, pour obtenir la transformée de Fourrier du signal discret . La condition de stabilité pour un filtre causal dont la fonction de transfert H(z) existe est: Pour q'un filtre causal soit stable il faut et il suffit que tous ces pôles soient à l'intérieur du cercle unité.

36. Expression de X(z) Lorsque H(z) existe, elle tend dans sa région de convergence, vers une fonction qui s'exprime sous la forme analytique: Si le filtre sera à réponse impulsionnelle finie (RIF), sinon c ’est un filtre récursif à réponse impulsionnelle infinie (RII). Dans sa forme générale, H(z) peut être décomposée en éléments simples: ri étant un pôle de H(z).

37. Synthèse de filtres RIF Réponse impulsionnelle finie équation de filtrage : convolution linéaire x(n) h(0) y(n) T h(1) h (M-2) S h(M-1)

38. Synthèse des filtres RII La décomposition en éléments simples permet la synthèse des filtres RII : exemple: Soit le filtre dont la transformée en Z peut être décomposée sous la forme suivante si X(z) est à l ’entrée de ce filtre et Y(z) en sortie, alors: Ce schémas peut être câblé ou programmé. Il existe d ’autres manières pour la synthèse des filtres numériques (cf. cours A22, II-4) + - Te 3 0.2 2 x(n) y1(n) y2(n) y (n)

39. Du filtre analogique au filtre numérique La transformée en Z d ’un filtre numérique peut être obtenue à partir de la fonction de transfert du filtre écrite dans le domaine de Laplace en remplaçant p par : En effet, pour la transformée de Laplace nous avons: Essayons d'approximer cette intégrale pour les signaux discrets en utilisant la méthode du trapèze.

40. Du filtre analogique au filtre numérique Soit yk le calcul intégral approximé jusqu'à l'instant kTe: Te xk-1 xk

IV - Processus aléatoires à temps discrets - Estimation des moments du 1er et 2nd ordre. - Estimation de la densité spectrale de puissance

42. Estimations des paramètres d ’un p.a Lors du traitement d’un processus aléatoire stationnaire et ergodique, nous devons procéder sur un nombre N fini d’échantillons observés. Or en pratique, l ’ensemble des échantillons traités ne remplit pas totalement l ’espace probabilisé. L ’espérance mathématique comme opération pour calculer les moments ne pourra donc être utilisée dans son expression originelle (le calcul de l ’espérance faisant intervenir tous les évènements possibles avec leur probabilité respectives connues). Le calcul des moments est remplacé alors par leur estimation à partir des N d’échantillons observés.

43. Choix d ’une bonne estimation des paramètres d ’un p.a Soit un paramètre d’un processus aléatoire . On cherche à estimer L ’estimation de s ’écrit . Exemple: Estimation de la moyenne Cette estimation est obtenue à partir des observations aux instants t1 t2,…. tN . Soient ces échantillons, alors Pour chaque bloc différent d’échantillons , nous aurons une valeur de différente. devient elle même une variable aléatoire dont la valeur dépend du bloc Elle admet donc une moyenne et une variance.

44. Choix d ’une bonne estimation des paramètres d ’un p.a Deux critères importants à retenir pour le choix du bon estimateur, c ’est-à-dire de la fonction Un bon estimateur est un estimateur sans biais. Le biais étant définit par , un estimateur sans biais est tel que: La variance de l’estimation définit l ’erreur de l ’estimation. Lorsque cette variance tend vers 0 quand le nombre d ’observation N tend vers l’infini on dit que l ’estimateur est convergent: Notons que la variance admet une borne inférieure connue sous le nom de borne de Cramer Rao.

45. Estimateur de moyenne Soit l ’estimateur opérant la moyenne arithmétique (ou empirique) sur les N échantillons observés d ’un p.a stationnaire du 2nd ordre de moyenne et de variance théoriques m et s2. Cet estimateur est non biaisé . En effet Si les échantillons sont indépendants alors:

46. Estimateur de variance Soit l’estimateur opérant la variance empirique sur les N échantillons observés d ’un p.a stationnaire du 2nd ordre de moyenne et de variance théoriques m et s2. Cet estimateur est non biaisé . En effet on peut montrer aussi que cet estimateur est convergent.

47. Estimation de la fonction d ’autocorrelation (1) Soit les N échantillons observés d ’un p.a stationnaire du 2nd ordre de fonction d ’autocorrelation Rxx(k). En général on a : mais problème dus aux débordements aux extrémités, car la taille des tableaux (ou de la mémoire) contenant les N échantillons est fixée. Alors on prend: Résultats: Biais, fonction du rapport ne dépend pas de k

48. Estimation de la fonction d ’autocorrelation (2) Pour enlever le biais on peut prendre: Résultats : Exemple : Estimateur non biaisé croît avec k et diverge aux extrémités Signal sinusoïdal Estimateur biaisé avec k Estimateur non biaisé

49. Estimation de la Densité Spectrale de Puissance La densité spectrale de puissance peut être estimée : soit par l’estimation de la moyenne de la quantité appelée periodogramme soit par le calcul de la TFD de l ’estimation de la fonction d ’autocorrelation:

50. Estimation de la Densité Spectrale de Puissance Méthode du périodogramme Préliminaires: Soit xT (t,w) la réalisation w du p.a. mesuré dans l ’intervalle [-T , T]. Soit XT (f, w) la transformée de Fourrier de xT (t,w) . La densité spectrale de puissance du p.a. est alors égale à: La quantité est appelée périodogramme. On peut démontrer que pour T suffisamment large, la moyenne de ST(f,w) sur toutes les réalisations w tend vers la densité spectrale S( f ). D ’où l ’estimation de la densité spectrale de puissance de la manière suivante: 1. Génération de M blocs de N échantillons chacun notés (m = 1,… , M) 2. Calcul des TFD de chaque bloc  Création des M périodogrammes 3. Estimation par moyenne empirique de la densité spectrale de puissance :

51. Estimation de la Densité Spectrale de Puissance Méthode du périodogramme Il a été noté que la moyenne des périodogrammes tend vers la densité spectrale de puissance lorsque T tend vers l ’infini. L ’estimateur est donc asymptotiquement non biaisé . Plus la taille N d ’un bloc est grande, plus le biais est faible. Par ailleurs, la variance de la moyenne empirique étant inversement proportionnelle au nombre de tirages M, plus M est grand plus la variance de l ’erreur d ’estimation est faible. Pour une séquence de taille donnée, il y a donc un compromis à faire entre le choix du nombre de blocs à considérer et la taille de ces blocs. 0.05 0.1 0.15 -50 -40 -30 -20 -10 10 N=128 M=2343 estimateur biaisé faible variance de l’erreur d ’estimation N = 4098 M=73 estimateur très faible biais variance de l’erreur d ’estimation plus grande