Calculs des Structures Modélisation & Choix des hypothèses simplificatrices (P Marin) Symétries, Pb plan, Poutre, Plaque, Coque éléments finis (P Marin) Etude de cas de modélisation ( E. Frangin Schneider Electic) Maillage & Discussion autour des modèles (E Frangin) TD/projets (E Frangin) Etude par groupe d’un problème de structures (2 séances) Présentation de l’étude aux autres groupes (dernière séance –évaluation)

Formulation d’un problème de calcul de structure en statique La formulation générale d’un problème de structure est 3D (MMC) D’autres formulations existent avec des hypothèses simplificatrices Poutre (RDM), Plaque, Plan Le domaine sa frontière inconnues du problème sur déplacements ( tenseur ordre 1) auquel on associe les champs déformations ( tenseur ordre 2) contraintes ( tenseur ordre 2) est divisée en déplacement imposé effort imposé

Formulation 3D en statique 1.a – Formulation forte ou locale - Équation d’équilibre: (1) ou En dynamique, cela devient : - Conditions aux limites déplacement imposé: - blocage cas particulier déplacement imposé nul effort imposé: normale à la surface orientée vers l’extérieur - bord libre cas particulier d’effort imposé nul

Formulation 3D en statique Toute partie de la frontière doit être soit à déplacement imposé, soit à effort imposé Dans le cas contraire, le problème est mal posé. On ne dispose pas d’assez d’informations pour le résoudre  Problème de modélisation des conditions aux limites (2) Au sens large : frontières + 3 directions perpendiculaires Exemple 1

Formulation 3D en statique Exemple 1 : Et si nous n’avions pas : u=u1 u=0 p F u=u1 u=0 p F Modèle 1 Modèle 2

Formulation 3D en statique Relation de comportement relation intermédiaire entre le déplacement et la déformation: en petite perturbation: - Cas de l’élasticité linéaire H opérateur de Hooke - Cas de la thermoélasticité linéaire - Matériau isotrope l et m coefficients de Lamé H1 H2

Formulation 3D en statique Matériau isotrope: l et m coefficients de Lamé E module de Young et n coefficient de Poisson Relation inverse:

Formulation 3D en statique Notation ingénieur plus pratique (abus de langage) matrices symétriques On utilise la relation de comportement en élasticité linéaire isotrope que l’on peut écrire sous la forme Pourquoi 2epsilon xy ??? : on parle de distorsion angulaire = Gamma( M;a,b)= 2 a Epsi b = 2 Epsilona ab

Formulation 3D en statique De même la relation inverse devient que l’on peut écrire sous la forme: Formulation forte : forme très générale autre problème de physique stationnaire, thermique … Formulation forte definition

Formulation 3D en statique 1.b Unicité de la solution Soit : u une solution du problème v un champs de déplacement de corps rigide w = u+ v Les déformations et contraintes associées à u et w sont identiques w vérifie toutes les équations sauf éventuellement les conditions aux limites en déplacement.

Formulation 3D en statique 1° cas: CL en déplacement imposent les 6 mobilités de corps rigide (« solide fixé dans l’espace ») 1 solution unique 2° cas : le solide est mobile dans une ou plusieurs directions (mobilité qui ne déforme pas la structure) w est solution si le solide est en équilibre infinité de solutions http://sitasido.ec-lyon.fr/TrmEPot.php

Formulation 3D en statique Exemple 2 Lequel de ces modèles peut poser des problèmes ? 1 2 Les deux Aucun p F Modèle 1 Modèle 2

Formulation 3D en statique Formulation Forte – Locale Définition locale du problème comme vu précédemment Formulation Faible – Globale Travail des équations pour se ramener à un problème de minimisation Théorème de la divergence + intégration par partie Principe de puissances (travaux) virtuelles

Formulation 3D en statique Formulation faible Soit un champ de déplacements (vitesses) virtuel ou simplement une fonction vectorielle sur W. (1) => Intégration par partie + Théorème de la divergence Wint* Wext *

Formulation 3D en statique Cas élastique linéaire D symétrique Forme bilinéaire On cherche u cinématiquement admissible tel que pour tout V cinématiquement admissible Formulation faible

Formulation 3D en statique Recherche d’une solution approchée avec u appartenant à un espace fini E et combinaison linéaire de n fonction d’une base de cet espace. Equivalent à minimisation de l’énergie potentielle Energie de déformation élastique + Travail des efforts extérieurs donnés La solution u minimise l’énergie potentielle de la structure

Formulation 3D en statique Exemple : MEF, espace défini par une combinaison linéaire de fonctions simples ui inconnues caractérisant la solution approchée (ui fixé par CL pour i>n) Fi fonctions de base de l’espace choisi Minimisation de J D’où le système matriciel : avec

Méthode éléments finis Représentation des inconnues sur l’élément m nœuds sur l’élément, 3 ddl par noeud matrice de dimensions (p, m*p) vecteur de dimension m*p, nombre total des inconnues de l’élément

Méthode éléments finis Représentation de la déformation sur l’élément

Méthode éléments finis Expression matricielle de l’énergie de déformation et de la matrice de raideur élémentaire Énergie de déformation élémentaire Matrice de raideur élémentaire (p*m,p*m) en 3D (p*m,6) (6,6) (6,p*m)

Méthode éléments finis Expression des efforts élémentaires (termes complémentaires si Ud non nuls) On pose On peut donc exprimer le vecteur force élémentaire par

Expression matricielle de l’énergie de déformation et de la matrice de raideur élémentaire Énergie de déformation élémentaire Énergie de déformation totale

Expression des efforts élémentaires avec Travail virtuel des forces extérieures

Minimisation de l’énergie de déformation Remarque: Présentation simplifiée avec déplacement imposé nul sinon terme complémentaire

MEF – Eléments 3D Tétraèdre à 4 nœuds N1=1-a-b-g N2=a N3=b g N4=g 4 Élément de degré 1, J,B et Ke constants Tétraèdre à 10 nœuds (+ les milieux des arêtes)  variable de degré 2 Si éléments réels avec des bords droits, même transformation que pour un tétraèdre à 4 noeuds, J, composantes de F et G constantes, composantes de B sont des fonctions linéaires composantes de Ke fonctions paraboliques a b g 1 2 3 4

MEF – Eléments 3D Hexaèdre à 8 nœuds (variable de degré 2, polynôme incomplet) Hexaèdre à 20 nœuds (+ milieux des arêtes), variable de degré 3, polynôme incomplet J constant et les composantes de Ke polynômes si les bords restent droits + Penta H20 Tet10 Tet4 Pent6 H8

Remarques: Systèmes différentiels => recherche de solution approchée par résolution d’un système matriciel Pour passer d’un problème à l’autre, il faut définir l’énergie élastique et le travail des efforts extérieurs imposés

Formulation 3D en statique 1.c Modèle Simplification (raisonné) permettant la résolution des équation – MEF Existe-t-il un modèle idéal ? Forces concentrées  contraintes infinies Points singuliers  lorsque la géométrie contient des points anguleux, la solution du problème peut être localement infinie (suivant le chargement) Cela n’a pas de sens de chercher une valeur approchée locale de plus en plus fine de la contrainte en ces points !!!

Formulation 2D en statique 2 Modèles géométriques simplifiés 2.a Problème plan x et y directions du plan Contrainte Plane Déformation Plane Type des structures concernées: CP: Efforts et déplacements imposés dans le plan Pièce plane mince avec un plan de symétrie (pas de flexion - membrane) DP: Efforts et déplacements dans le plan, invariants suivant z Pièce longue suivant z, section constante H3 H4

Formulation 2D en statique Tunnel Photoelasticité

Formulation 2D en statique On travaille alors sur une géométrie plane 2D On cherche auquel on associe La relation de comportement est issue de celle 3D

Formulation 2D en statique En déformation plane, la relation 3D devient :

Formulation 2D en statique En contrainte plane, on a La relation de départ est 3D Or Relation que l’on injecte dans la relation 3D

Formulation 2D en statique Remarque L’énergie de déformation s’écrit avec les notations 2D Il n’y a que 3 déplacements de corps rigide à bloquer pour avoir l’unicité de la solution (2 translations + 1 rotation) Plusieurs problèmes mécaniques différents peuvent se modéliser de la même façon

Méthode éléments finis Représentation des inconnues sur l’élément m nœuds sur l’élément, p ddl par noeud Inconnue vectorielle: matrice de dimensions (p, m*p) vecteur de dimension m*p, nombre total des inconnues de l’élément

Méthode éléments finis Représentation de la déformation sur l’élément (exemple 2D contrainte ou déformation plane)

Méthode éléments finis Expression matricielle de l’énergie de déformation et de la matrice de raideur élémentaire Énergie de déformation élémentaire Matrice de raideur élémentaire (p*m,p*m) en 2D (p*m, 3) (3,3) (3,p*m)

Méthode éléments finis Expression des efforts élémentaires (termes complémentaires si Ud non nuls) On pose On peut donc exprimer le vecteur force élémentaire par

Formulation Axisym. en statique Problèmes axisymétriques Solide de révolution d’axe , chargement respectant cette symétrie Par symétrie, on a alors pas de déplacement suivant et les déplacements indépendants de En coordonnées cylindriques, on a alors S axe Ajouter les symétries planes

Formulation Axisym. en statique La restriction de la relation de comportement 3D: et avec ces notations On peut alors travailler sur une section 2D associée à un axe avec comme inconnues:

MEF – Concept et organisation Problèmes axisymétriques: Mêmes éléments (forme) qu’en 2D Mais Différences x y z r

Formulation Axisym. en statique Remarques Il n’y a aucune simplification / modèle 3D => Même résultat que le modèle 3D un seul mouvement de corps rigide, la translation suivant z La rotation dans le plan (r,z) et la translation suivant r induisent une déformation (par l’intermédiaire de )

Formulation Axisym. Exemple : problème axisymétrique Axe de symétrie Discussion sur le modèle Mieux encadréer Axe de symétrie Jusqu’où le modèle est valable ??

Formulation poutre en statique H5 2.c Poutres droites Hypothèse: état antiplan de contrainte Avec G module de cisaillement Sections droites restent planes et indéformables points de la section droite => mouvement de corps rigide

Formulation poutre en statique H5 Barre en traction compression Mouvement de la section: Déformation: Énergie de déformation

Formulation poutre en statique H5 Poutre droite en flexion + ‘cisaillement’ (suivant z) Mouvement de la section: Déformation:

Commentaires : poutres Bernoulli 2 théories Timoshenko Erreur % solution analytique Timoshenko Bernoulli Elongation

Formulation poutre en statique H5 Théorie d’Euler Bernouilli (sans cisaillement) Les sections droites restent droites Problème: Ed définie ssi défini par morceaux => continu ( 3D ou continu)

Formulation poutre en statique H5 Théorie avec cisaillement (poutre épaisse cisaillement non négligeable) avec 2 variables par nœuds (=> continus)

Formulation poutre en statique H5 Problème Cisaillement non constant sur la section => idée de la répartition de la contrainte tangentielle

Formulation poutre en statique H5 S’ section réduite, calculée à partir de la répartition de la contrainte de cisaillement Exemple poutre rectangulaire circulaire (La flexion suivant y fait apparaître des propriétés identiques)

Formulation poutre en statique H5 Poutre complète avec Il y des problèmes si le centre de torsion n’est pas sur la ligne moyenne Couplages supplémentaires torsion – flexion Certains codes tiennent compte de ces couplages et demandent en entrée des précisions supplémentaires sur la position du centre de torsion (cf Rdm)

Formulation poutre en statique H5 Approximations Rdm: Rétrécissement section Cisaillement mal représenté Gauchissement de la section en torsion Problème de la validité sur les encastrements, les appuis … Plus généralement : Rdm valable loin des points d’application des conditions aux limites ( principe de Saint-Venant )

Plaque et coque Une dimension petite par rapport aux autres – épaisseur Plaque = surface plane Coque = surface non plane Non étudié dans ce module Peut-être vu comme assemblage d’éléments plaques Equivalent des poutres courbes pour les poutres

Formulation plaque en statique H6 2.c Plaques 1 dim plus petite, h épaisseur, plan de symétrie L longueur caractéristique du plan moyen Hypothèse Segments droits restent ‘indéformables’ points du segment droit => mouvement de corps rigide z Plaque épaisse mince 3D L/h 4 20

Formulation plaque en statique H6 2 phénomènes Problème de membrane => 2D contrainte plane Flexion (généralement + rigide en membrane qu’en flexion) Effets découplés (faux en coque) Comme pour les poutres en flexion : effet de cisaillement (Bernoulli vs. Timoshenko ) Plaque (Mindlin-Reissner 1945 vs Kichhov-Love 1888) F

Formulation plaque en statique H6 Kirchoff Love Reissner Mindlin 2 théories Reissner Mindlin (épaisse) segment droit indéformable – cisaillement Kirchoff Love (mince) segment droit reste droit, perpendiculaire au plan moyen déformé - sans cisaillement

Formulation plaque en statique H6 Cas général mouvement du segment: déformation:

Formulation plaque en statique H6 3 types de déformations Membrane Flexion Cisaillement soit pour la déformation totale Remarque: les déformations de cisaillement et de membrane constantes dans l’épaisseur et celle de flexion varie linéairement

Formulation plaque en statique H6 Théorie de Kirchoff Love cisaillement nul On peut réécrire les déformations de flexion et donc Le problème fonction de u uniquement, mais l’énergie de déformation définie => u C1

Formulation plaque en statique H6 Théorie de Reissner Mindlin Le problème fonction de u et de w, mais l’énergie de déformation définie => u et w C0

Formulation plaque en statique H6 Contrainte nulle K-L R-M

Formulation plaque en statique H6 Energie de déformation après intégration dans l’épaisseur

Formulation plaque en statique H6 Cisaillement Comme pour les poutres, le cisaillement ne peut pas être constant dans l’épaisseur (nul en h/2 et – h/2) Coefficient correcteur de l’énergie de cisaillement (idem à la section réduite) K-L Ed c nulle et Ed f fonction des dérivées secondes de u uniquement L’énergie de déformation définie => u C1

MEF – Eléments Plaques Eléments plaques Membrane  identique à la contrainte plane, même Ke On ne s’intéresse qu’à la partie de Ke provenant de la flexion et du cisaillement Éléments de Kirchoff -Love , Flexion sans cisaillement pour pouvoir calculer ces dérivées secondes, il faut avoir uz, uz,x et uz,y continus  uz C1 pour un triangle à trois nœuds  3 ddl/nœud uz, uz,x et uz,y uz s’expriment en fonction de ces 9 ddls

MEF – Eléments Plaques Problème si uz cubique => 10 coefficients, un coefficient de trop Plusieurs solutions possibles => nombreux éléments => problème convergence => sensibilité à la distorsion Eléments de Kirchoff discrets Éléments de type Mindlin ou on annule le cisaillement en certains points de l’élément (DKT – DKQ)

MEF – Concept et organisation Eléments de Mindlin (partie flexion + cisaillement) 3 inconnues par nœuds bx , by et uz => C0 Élément le + simple, triangle 3 nœuds 1’ 2’ 3’ a b

MEF – Concept et organisation Matrice de rigidité élémentaire Avec et matrices de rigidité élémentaires: Kf en h3 et Kc en h Problème quand h->0, Kf<<Kc alors que le cisaillement devrait devenir négligeable

MEF – Concept et organisation Blocage en cisaillement (shear locking) Cet élément de Mindlin devient faux pour les plaques minces. Les inconnues servent à résoudre mieux l’équation locale de cisaillement (de faible importance) et il n’y a plus d’inconnue pour résoudre l’équation de flexion. Problème classique des formulations mixtes (exemple matériaux incompressibles) Amélioration: Kc sous intégrée (- de point de gauss que nécessaire) => amélioration du comportement et atténuation de l’effet de shear locking

Ansys Ref.

Exemple d’application Beaucoup ……