Couche limite atmosphérique Théorie de la similitude Définition La couche limite atmosphérique est la partie de l’atmosphère en contact avec la surface terrestre, directement influencée par la présence de celle-ci

Hypothèse de similitude Si les conditions de réalisation de deux expériences sont identiques leurs résultats sont aussi identiques Mêmes causes  mêmes effets Il n ’y est pas nécessaire que tous les paramètres définissant l ’expérience aient les mêmes valeurs : il faut cependant qu ’ils satisfassent les conditions de similitude.

Similitude Similitude est la théorie et l ’art de prédire le comportement d ’un phénomène en construisant un modèle du phénomène (ou prototype). Similarité géométrique : deux systèmes sont similaires géométriquement s ’il ont un rapport d ’échelle L/L* constant. Similarité cinématique : pour qu ’il y ai de la similitude cinématique entre deux écoulements, les vitesses doivent être similaires aux endroits Correspondants (similaires) : u1/u1* = u2/u2* . Similarité dynamique : pour qu ’il y ai de la similitude dynamique toutes les forces en jeu, c’est-à-dire leur intensité et leur point d ’application, doivent être similaires. Notons que la similitude dynamique est une condition nécessaire à la similitude cinématique

? ? Similitude géométrique Considérons un phénomène dont la dimension linéaire est L. Soit L* l ’échelle caractéristique du prototype. Toutes les autres dimensions doivent être dans le rapport L/L* . ? Les surfaces doivent satisfaire le rapport (L/L*)2 ? Les volumes doivent satisfaire le rapport (L/L*)3

Similitude dynamique Considérons la loi de Newton : Forces possibles: Force d ’inertie Force de viscosité Force de pression Force de compressibilité Force de pesanteur Force de tension superficielle

Similitude dynamique Les deux écoulements sont similaires si:

Rapports de forces : nombres sans dimensions

Similitude Les différences observées entre les résultas de deux expériences similaires ne sont pas imputables à une différence de nature mais uniquement à des différences d ’échelle. La théorie de similitude se base dans l ’organisation des variables que définissent le phénomène en groupes sans dimensions. Pour la formation de ces groupes sans dimensions on recours à l ’analyse dimensionnelle.

Dimensions : le 7 grandeurs de base Grandeur Symbole dimensionnel Unité masse M kilogramme longueur L mètre temps T seconde intensité électrique I ampère température  kelvin intensité lumineuse J candela quantité de matière N mole

Analyse dimensionnelle : homogénéité dimensionnelle L ’homogénéité dimensionnelle constitue une contrainte assez puissante sur la forme des relations entre les paramètres physiques qui sont identifiés comme importants pour définir le phénomène à étudier. théorème  Une relation entre n paramètres b1, b2, …, bn , peut s’écrire comme une relation entre (n-r) paramètres sans dimensions Où r est le nombre de dimensions indépendantes, c’est-à-dire La base dimensionnelle du phénomène.

Analyse dimensionnelle : homogénéité dimensionnelle théorème  Soit l ’ensemble de n paramètres b1, b2, …, bn. Le théorème  nous dit que si r des n paramètres ont des dimensions physiques indépendantes, alors on peut former (n-r) paramètres physiques indépendants et sans dimensions. Chaque combinaison sans dimensions est formée à l ’aide d ’un ensemble libre maximum, p. ex. : b1, b2, …, br et de l ’un des paramètres de l ’ensemble complémentaire, ici br+1, br+2, …, bn.

Théorème  : procédure 1 - Identification de tous les paramètres pertinents pour l ’étude du problème spécifique (éviter d ’introduire trop de paramètres). 2 - Mettre sur pied un ensemble complet de variables sans dimensions qui caractériserons le phénomène 1, 2, …, n-r. (r est la base dimensionnelle et doit contenir toutes les dimensions fondamentales) 3 - Prendre des mesures afin relier ces variables entre elles et ainsi déterminer la forme des fonctions universelles qui gouvernent le phénomène : f(1, 2, …, n-r)=0 Exemple: profil vertical de la vitesse dans la CLP

Théorème  : exemple 1 [T-1] Variables importantes pour la description du phénomène et dimensions de chaque variable: [L] Altitude [LT-1] Frottement au sol [LT-1 ] Flux cinématique de chaleur en surface [T-1] Paramètre de Coriolis [LT-2 -1 ] Paramètre de flottabilité

Théorème  : exemple 1 Construction de la matrice dimensionnelle : L 1 1 1 1 1 M T -1 -1 -1 -2 -1  -1 1 Rang de la matrice = r = 3

Théorème  : exemple 1 Choix des «variables clé» ou base dimensionnelle Contraintes: a) le nombre de variables clé doit être égale au rang de la matrice dimensionnelle. b) toutes les dimensions doivent être représentées; c) doivent être dimensionnellement indépendantes. [T-1] Base dimensionnelle: [L] [LT-1] Paramètres dépendants [T-1] [LT-2 ] [LT-1 ]

Théorème  : exemple 1 Rang de la matrice = r = 3 Base dimensionnelle: Paramètres dépendants

Théorème  : exemple 1 Calcul des fonctions 

Théorème  : exemple 1

Théorème  : exemple 1 Traditionnellement on définie deux échelles de longueur :

Théorème  : exemple 1 et sont des fonctions à déterminer par la théorie du phénomène ou expérimentalement. Conclusion : 1) L ’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle entre les paramètre. 2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales où théoriques.

Classes de similitude Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la CS Similitude de la couche de mélange Similitude locale u* , L, Calculés localement Convection libre locale Similitude de Monin Obukhov: Couche de surface stratifié. Applicable seulement quand les vents sont importants, c’est-à-dir u* doit être différent de zéro Similitude de la couche de mélange: Couche de mélange en état de convection libre. Les vents sont calmes, u* est petit. L,échelle de vitesse pertinente est w*. Similitude locale : couche limite stable, en dehors de la couche de surface. Z n’est pas un paramètre important (z less similitude). Les flux de surface ne sont pas caractéristiques des flux locaux. Convection libre locale: La force de flotabilité est important mais est influencée par la distance à la surface. L’échelle importante est z et non zi Similitude de Rossby: Couplage entre l’atmosphère libre (forçages extérieures) et la couche de surface (les flux de surface) à travers la couche d’Ekman ou extérieure. Similitude de Rossby

Classes de similitude Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la CS Applicable dans la couche de surface Couche de surface : où les flux sont constants. On utilise alors les flux à un seule niveau. Cette théorie est valable seulement quand il y a du vent et que u* est différent de zéro. Échelles importantes : L = longueur de Monin Obukhov (1m à 200 m) zo = paramètre de rugosité (1 mm à 1 m) u* = vitesse de frottement (0.05 à 0.3 m/s) *SL = échelle de température (0.1 à 2.0 K) q*SL = échelle d ’humidité (0.1 à 5g/kg)

? Similitude de Monin Obukhov Appliquée essentiellement dans la couche de surface définie comme la couche à flux constant. Variables importantes pour la description de et dimensions de chaque variable: Flux cinématique de chaleur en surface [L] Altitude [LT-1] Frottement au sol [LT-2 ] Paramètre de flottabilité [LT-1 ] ? Base dimensionnelle [L,T, ]

Similitude de Monin Obukhov r=3 n-r = 2 Base dimensionnelle

Similitude de Monin Obukhov

Similitude de Monin Obukhov : longueur de Monin Obukhov Échelles dans la couche de surface stratifiée : Longueur 1m à 200 m 0.05 à 0.3 m3s Vitesse Température 0.1 à 2.0 K

Similitude de Monin Obukhov : gradients sans dimensions

Détermination des fonctions universelles Conditions des mesures: stationnarité et homogénéité Mesures :

Détermination des fonctions universelles transparents Kansas 1968

Théorie de la similitude de Monin Obukhov Erreur dans Stull pg. 384

Théorie de la similitude de Monin Obukhov Prouvez que :

Théorie de la similitude de Monin Obukhov Prouver que :

Similitude Monin Obukhov L ’expérience montre que la structure de la CS, (c ’est-à-dire, les gradients des quantités moyenne, les variances, les covariances ) est déterminée par quelques paramètres clés comme Monin et Obukhov ont proposée en 1954. Quels sont ces paramètres ?

Similitude Monin Obukhov Selon l ’hypothèse de similitude de M-O les valeurs des gradients moyens et d ’autres paramètres statistiques deviennent des fonctions universelles de z/L quand normalisés par les échelles :

Similitude Monin Obukhov Ces échelles sont strictement définies à la surface. Cependant, souvent les mesures de température et vitesse se font à une certaine distance de la surface en supposant que dans la couche de surface les flux sont constants. La variation verticale des flux est négligeable pour Où L est la longueur de M-O

Théorie de la similitude de Monin Obukhov

Théorie de la similitude de Monin Obukhov D ’autres fonctions importantes dans la CS sont :

Théorie de la similitude de Monin Obukhov

Similitude des termes de l ’équation TKE Dyer and Hicks,1970 Wingaard et Coté,1971 Kaimal,1978

Couche de surface: calcul du profil du vent

Couche de surface: calcul du profil du vent Dans le cas neutre :

Couche de surface: calcul du profil du vent Dans le cas stable : Dans le cas instable :

Couche de surface: calcul du profil du vent

Couche de surface: calcul du profil du vent distance de déplacement

Comment trouver d la distance de déplacement

Comment trouver d la distance de déplacement En connaissant le vent à 3 niveau différents d est calculée par une méthode itérative

Comment trouver z0 et u* En connaissant d la représentation graphique de dans un graphique semi-logarithmique permet d ’obtenir graphiquement z0

Similitude de Monin Obukhov : mesure de stabilité instable neutre stable -2.5 + 2.5 - +

Similitude de Monin Obukhov : limites asymptotiques Neutralité : est une mesure de l ’influence de la flottabilité neutre stable instable + - + 2.5 -2.5 Voir les données expérimentales de Kansas, 1968

Similitude de Monin Obukhov : limites assymptotiques Similitude locale Grande stabilité : Les mouvements verticaux sont largement freinés. Les fluctuations verticales sont petites. La taille des tourbillons va dépendre plus de la stabilité locale (LL) que de la distance au sol (z). Celle-ci n ’est plus un paramètre pertinent. On parle alors d ’indépendance locale de z (z less theory). Cette théorie est valable dans des cas très stables et assez loin du sommet de la couche stable h. LL 0 à 50 m uL 0 à 0.3 m/s L 0 à 2.0 K qL 0 à 5 g/kg

Similitude de Monin Obukhov : limites assymptotiques Similitude de convection libre locale Grande instabilité : Dans le cas de grande instabilité u* n ’est pas un paramètre pertinent. On appelle cette classe de similitude de convection libre locale. La théorie de similitude de Monin Obukhov ne peux pas s ’appliquer. Les variables pertinentes sont: z 0 à 50 m uLf 0 à 0.5 m/s Lf 0 à 2.0 K qLf 0 à 5 g/kg

Similitude spectrale : domaine inertiel Paramètres pertinents :