Seconde 8 Chapitre 2: L’espace M. FELT Chapitre 2 : L’espace 08/09/2015

Chapitre 2: L’espace

Chapitre 2: L’espace

Chapitre 2: L’espace Géométrie dans l’espace

I. Représentation dans l’espace 1. Perspective cavalière La perspective cavalière (ou perspective parallèle) est une convention mathématique de représentation des solides dans un plan. Ce n’est en aucun cas ce que nous voyons effectivement.

I.1 Perspective cavalière H G Droites parallèles Plan parallèle au plan frontal C D E F Plan frontal Angle de fuite A B

I.1 Perspective cavalière Règles de représentation: Une droite de l’espace est représentée par une droite; Les éléments visibles d’un solide sont dessinés en traits pleins; Les éléments cachés d’un solide sont dessinés en traits pointillés; Dans un plan vu de face, la figure représentée est en vraie grandeur ( mêmes longueurs et même forme). Propriétés: La représentation conserve sur un segment les proportions de longueur; Deux droites parallèles dans l’espace sont représentées par deux droites parallèles.

Une autre perspective : Point de fuite

Une autre perspective : Point de fuite

I. Représentation dans l’espace 1. Perspective cavalière La perspective cavalière (ou perspective parallèle) est une convention mathématique de représentation des solides dans un plan. Ce n’est en aucun cas ce que nous voyons effectivement.

I. Représentation dans l’espace 2. Patrons Un patron d’un solide est une figure plane qu’on pourrait obtenir par dépliage de ce solide. Inversement, à partir d’un patron d’un solide, on peut fabriquer ce solide par pliage

II. Les solides usuels II. Les solides usuels: 1. Les prismes droits et les cylindres: Le Cube Le Pavé droit ( ou parallélépipède rectangle ) Le Cylindre Le Prisme ( la base est un polygone. )

Devoirs pour mardi 22/09 1. Dans la partie cours, construire en perspective cavalière: Un Cube Un Pavé droit Un Cylindre 2. Exercice 14 page 320.

II. Les solides usuels II. Les solides usuels: 1. Les prismes droits et les cylindres: Le Cube Le Pavé droit ( ou parallélépipède rectangle ) Le Cylindre Le Prisme ( la base est un polygone. )

II.1 Les prismes droits et cylindres Le volume des solides droits est donné par la formule: Volume = Aire de la Base x Hauteur

II.1 Les prismes droits et cylindres

II.2 Les pyramides et cônes Le volume des pyramides par la formule: Volume = 1 3 Aire de la Base x Hauteur

II.3 La sphère et la boule 3. La sphère et la boule: La sphère est l’ensemble des points M de l’espace situés à une même distance r d’un point donné O appelé centre de la sphère. La boule est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM ≤ r. Volume = 4 3 𝜋 × 𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 3

Activités Exercice 18 page 321:

Activités Exercice 17 page 321:

Activités Exercice 75 page 331: 1. d. 2. a. 3. e. 4. b. 5. g. 6. h. 7. f. 8. c.

III. Plan de l’espace 1. Propriétés: (admises) 2. Définitions: Par deux points distincts, il passe une unique droite. Par trois points non alignés de l’espace, il passe un unique plan. Si un plan contient deux points A et B, il contient toute la droite (AB). Si (d) est une droite et A un point non situé sur cette droite, alors il passe un unique plan contenant (d) et A. 2. Définitions: Quatre points de l’espace sont coplanaires s’ils appartiennent à un même plan. Deux droites de l’espace sont coplanaires si elles sont incluses dans un même plan.

III.2. Définitions Un plan peut donc être défini: par trois points non alignés: x A B x x C

III.2. Définitions Un plan peut donc être défini: par une droite et un point n’appartenant pas à cette droite: x A

III.2. Définitions Un plan peut donc être défini: par deux droites sécantes:

III.2. Définitions Un plan peut donc être défini: par deux droites strictement parallèles:

III.3 Positions relatives de deux droites Deux droites de l’espace peuvent être: Coplanaires: Sécantes Strictement parallèles Confondues Non coplanaires d1 d2 I d1 d2 d1 d2 d1 d2

Activités Exercice 27 page 322:

III.4 Positions relatives de deux plans Deux plans de l’espace sont: soit parallèles. strictement parallèles. confondus. soit sécants. L’intersection de deux plans sécants est une droite.

III.5 Positions relatives droite/plan 5. Positions relatives d’une droite et d’un plan: Une droite de l’espace est: soit contenue dans un plan. la droite passe par deux points de ce plan. soit sécante au plan. la droite n’a qu’un point commun avec le plan. soit parallèle au plan. la droite n’a aucun point commun avec le plan.

Activités Exercice 29 page 323:

Activité: Calcul Mental Exercice 30 page 323: Vrai ou faux ? ( Justifier la réponse) 1. Deux droites de l’espace peuvent être à la fois ni parallèles ni sécantes. 2. Deux plans peuvent se couper en un point. 3. Une droite et un plan ont forcément un point en commun. 4. Si deux points A et B appartiennent à un plan, alors la droite (AB) est incluse dans ce plan. 1. Vrai: c’est la définition de deux droites non coplanaires. 2. Faux: si un point appartient à deux plans alors ceux-ci sont soit sécants selon une droite (passant par ce point), soit confondus. 5. Deux droites déterminent toujours un plan. 6. Deux droites de l’espace peuvent se couper en deux points distincts. 5. Faux: pour déterminer un plan, deux droites doivent être sécantes ou strictement parallèles. 6. Faux: si elles ont deux points communs, elles sont confondues donc parallèles, donc non sécantes. 3. Faux: une droite et un plan peuvent être strictement parallèles. 4. Vrai: tout point de la droite (AB) appartient au plan, celle-ci est donc incluse dans le plan.

Devoirs pour mardi: Exercice 32 et 33 page 323:

Devoirs pour mardi: Exercice 32 323:

Devoirs pour mardi: Exercice 33 323:

Devoirs pour mardi: Ranger par ordre croissant:

IV. Parallélisme dans l’espace 1. Propriétés (parallélisme entre droites): 1. Par tout point n’appartenant pas à la droite (d), il passe une et une seule droite parallèle à (d). 2. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. 3. Si deux droites sont parallèles, alors tout plan sécant avec l’une est sécant avec l’autre.

IV. Parallélisme dans l’espace 2. Propriétés: 1. Par tout point n’appartenant pas au plan P, il passe un et un seul plan qui soit parallèle à P. 2. Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l’un est aussi parallèle à l’autre. 3. Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un l’est aussi avec l’autre, et les intersections sont deux droites parallèles.

IV. Parallélisme dans l’espace 4. Une droite (d) est parallèle à un plan P, si et seulement si elle est parallèle à une droite (d’) contenu dans P. 5. "Théorème du toit": Si deux droites (d) et (d’) sont parallèles, avec (d) contenue dans le plan P et (d’) contenue dans le plan P ‘, et avec P et P ‘ ’sécants en une droite (∆), alors (∆) est parallèle à (d) et (d’).

Activités Exercice 31 page 323:

Activités Exercice 55 page 327 P x (d) Correction: Les plans (SAB) et (SDC) sont sécants (ils contiennent le point S). (AB) est incluse dans (SAB) et (DC) est incluse dans (SDC) et ces deux droites sont parallèles. Donc, d’après le théorème du toit, l’intersection d de ces deux plans est la parallèle à ces deux droites passant par S. d et (FB) sont coplanaires dans (FAB) et non parallèles, elles sont donc sécantes en un point P. Ce point P appartient à la droite d, donc au plan (SDC).

Activités Exercice 42 page 325 x L x Q 1. Le plan (IJK) coupe le plan (EFG) selon la droite (IJ), or les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles, donc l’intersection du plan (IJK) et (ABC) est une droite parallèle à (IJ). Or K appartient au plan (ABC), c’est donc la parallèle à (IJ) passant par K. 2. La section du cube par le plan (IJK) est l’hexagone JIQPMN : d’après 1., on trace la droite (MP) parallèle à (IJ) passant par K ; on cherche alors le point d’intersection L des droites (IJ) et (EF), coplanaires dans (EFG). La droite (LM) coupe (AE) en N. On peut alors soit faire de même avec l’intersection des droites (IJ) et (FG), en utilisant le point P pour trouver Q, ou simplement tracer la droite (PQ) comme la parallèle à (NI) passant par P. N x x P x M

Devoir Maison #2: A rendre Mardi 13 octobre à 9h00. Exercice 64 page 328. Exercice 70 page 328.

Pour Jeudi 8 octobre: QCM en ligne Le cube: http://www.qcmdemath.net/geometrie/espace/qcm01cube.htm La pyramide: http://www.qcmdemath.net/geometrie/espace/qcm01pyramide.htm Liens sur www.MonsieurFelt.fr ( classe de seconde )