9 La complexité des activités mathématiques 9-4 La résolution des problèmes linéaires 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

La résolution algébrique des systèmes linéaires au collège A rebours de l’ordre historique nous utilisons ici les expressions algébriques pour analyser les méthodes de l’arithmétique scolaire Méthode de substitution L’une des équations est résolue par rapport à l’une des variables et l’expression obtenue lui est substituée dans l’autre équation Méthode d’égalisation Les deux équations sont résolues par rapport à la même variable et les expressions obtenues sont les deux membres d’une égalité Méthode d’addition Les deux équations sont multipliées par des nombres tels que les coefficients d’une même variable y soient opposés. L’addition membre à membre des deux équations obtenues élimine cette variable Les méthodes sont parfois dérivées de la forme générale, parfois introduites par des cas plus réduits – i.e. d’où certains paramètres ont disparu, annulés ou égaux à 1. 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

2 Organisation didactique traditionnelle de la résolution arithmétique des systèmes Forme générale Traditionnellement, les résolutions arithmétiques étaient introduites progressivement à partir de systèmes de moins en moins réduits: Échanges, ax + b = cx + d Partages inégaux additifs avec des parts différentes Partages proportionnels, (parts multiples) etc. a1x + b1y = r1 a2x + b2y = r2 x + y = r1 x - y = r2 x + b2y = r2 x/a + y/b = r2 ax + b = c 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

résolution par substitution par addition ou soustraction x + b1y = r1 a2x + b2y = r2 x + b2y = r2 x + y = r1 a1x + b1y = r1 x + y = r1 résolution par substitution par addition ou soustraction introduction à la multiplication par un coefficient etc. Ensuite la résolution du cas général : la double vente: a quantités d’un produit, b quantités d’un autres, r prix d’un achat La fausse supposition Composition d’un mélange Quelle proportion a1 de A à 18€/Kg et b1 de B à 23€/Kg pour du mélange à 20€/Kg 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

3 La modélisation est-elle le retour de l’arithmétique? a) La résolution arithmétique des problèmes linéaires d’ordre supérieur était traditionnellement abordée, principalement, avec les questions financières, les placements, l’escompte etc. Par exemple la « règle de compagnie » qui indiquait ce que chaque membre devait recevoir en fonction du temps et du montant de ses différents apports, etc. Elle était – avant le développement de l’algèbre de Viète - le moyen d’étendre et de systématiser l’usage de la « règle de trois » en « oubliant », les grandeurs lorsque la linéarité était établie L’enseignement de l’algèbre formelle a conduit à délester brutalement et radicalement les programmes d’enseignement des mathématiques de la considération des situations ordinaires. Or la mise en équation des problèmes reste une phase délicate de l’« application » du traitement mathématique aux situations quelconques. Il est heureux que sous le nom plus prestigieux de modélisation, le travail de mise en équation réapparaisse au niveau élémentaire pour achever le contournement de l’arithmétique élémentaire ancienne sans rien perdre de son utilité sociale 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

b) Rôle de la nature des grandeurs dans la résolution La complexité des énoncés et des solutions peut être représentée plus ou moins finement par celle de son expression : - par exemple, grossièrement par le nombre de mots figurant dans la solution minimale, - ou moins grossièrement par sa complexité syntaxique… - ou par celle de son graphe de situation et de résolution (Broin 2002) - ou enfin par la mesure1 de sa formule algébrique ou de sa résolution. Cependant on peut se rendre compte que la nature des grandeurs intervient très fortement dans les représentations des opérations qui guident les calculs en arithmétique, ou la mise en équation et donc qu’il faut la prendre en considération dans le calcul de la complexité. Voici une petite expérience que vous pouvez faire vous-même pour vous en convaincre. 1 de Kolmogorov 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

c) Mise en évidence du rôle des grandeurs L’algèbre s’est développée en dégageant le choix des calculs de l’influence de la nature des grandeurs et du contrôle qu’elle exerçait sur leur conduite,. Le fait est bien connu, mais il mérite d’être visité. L’expérience consiste - à considérer un énoncé correspondant au cas général à attribuer aux coefficients des quantités et des mesures diverses, - puis à générer une famille de problèmes obtenus en permutant les places attribuées à ces données comme dans l’exemple ci-après (en 2). La formulation peut être adaptée, mais les grandeurs sont conservées. On observe alors que pour une même équation, il apparaît des modes de résolution plus faciles à concevoir que d’autres. Ces différences se manifestent par complexité des solutions qui en découlent 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

d) Intérêt de ce genre d’étude Des circonstances favorables (à déterminer) pourraient - permettre à des élèves de se poser des questions sur le rapport des grandeurs avec les calculs numériques en arithmétique dans les problèmes - Et les conduire ainsi à « inventer » l’algèbre. Il ne s’agit pas de restaurer l’enseignement de ces types de raisonnements mais de cerner ce que l’enseignement de l’algèbre permet: - d’abord d’économiser les raisonnements arithmétiques, - puis de réintroduire par l’enseignement de la modélisation, la connaissance des grandeurs et de leurs relations. 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

2. une expérience sur la complexité des raisonnements Il s’agit de considérer une même équation et d’interpréter ses variables et ses coefficients par la permutation d’une famille de grandeurs différentes On constate que le mode de résolution arithmétique le plus facile à concevoir ou à mettre en œuvre change. Cette expérience montre les deux faces de la réalisation des expressions algébriques. 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Conditions générales Situation Sur le marché un vendeur de disques n’a que deux catégories de prix : les disques « bon marché » et les « chers ». Profil. Les disques valent suivant la catégorie p(a) € et p(b) € Chaque achat {i,j} est représenté par une formule qui détermine le nombre de disques q de chaque catégorie {a,b} Ex. Le premier achat comprend q(a,i) disques à pa euros et q(b,j) disques à pb euros et son prix total est Ti. La formulation algébrique du problème général est alors q(a,i). pa + q(b,i). pb = Ti q(a,j). pa + q(b,j). pb = Tj Le choix des variables (i.e. des coefficients inconnus) détermine les différents types de problème. 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Problème 0 les échanges Enoncé 0: Zoé fait un échange avec Aglaé. Elle donne 3 disques chers à 7 euros et 5 bon marché contre 2 disques chers, 6 bon marché et 3 € . Quel est le prix d’un disque bon marché ? Le profil de cet énoncé de problème…: 1 naturel 1décimal mesure q(a,i). pa + q(b,i). pb = q(a,j). pa + q(b,j). pb + S 3 . 7 + 5 . x = 2. 7 + 6. x + 3 … l’apparente à un système d’ordre 2 Solution du problème 0 Zoé a donné 1 disque cher, elle a reçu un bon marché et 3 €. Le disque bon marché vaut 3 € de moins que le disque cher, qui vaut donc 7+3 = 4 € Un profil de la solution du problème 0 est [q(a,i) - q(a,j)]. pa + [q(b,i) - q(b,j)]. pb = S [3.7 – 2.7] + [5x – 6x] = 3 7 - x = 3 X = 4 Note Cette solution peut être décomposée en un processus plus détaillé 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Méthodes imprévues : L’exhaustivité, la « chance »… Qu’a fait une élève naïve pour résoudre ce problème ? : « Le disque le plus cher vaut 7 euros ». Elle choisit une valeur arbitraire inférieure (6 euros). Effectue les calculs Elle constate que la valeur arbitraire ne convient pas, elle corrige et vérifie que 4 convient » Elle n’a utilisé aucune des méthodes envisagées La méthode d’exhaustivité est valide aussi. Le professeur lui donne un autre problème similaire mais avec un plus grand nombre de possibilités pour décourager les tâtonnements L’élève se met alors à remarquer qu’elle peut simplifier l’échange Une autre élève donne directement la solution : « Je ne sais pas, j’ai essayé et ça a marché ! » Ce n’est pas ce qu’attendait le professeur mais la réponse est valide En mathématique c’est seule la solution qui compte, en enseignement non! 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Problème 1 La double vente: 1. 1 La recherche du prix unitaire Énoncé 1.1: Zoé achète 3 disques chers et 5 disques bon marché pour 41 euros Aglaé achète 2 disques chers et 6 disques bon marché et les paie 38 € Quel est le prix d’un disque bon marché et celui d’un disque cher ? Profil de l’énoncé: q(a,i). pa + q(b,i). pb = PZ inconnues: pa et pb q(a,j). pa + q(b,j). pb = PA Solution arithmétique du problème 1.1: les combinaisons linéaires Si Zoé avait fait 2 achats identiques et si Aglaé en avait fait 3 elles auraient chacune 6 disques chers Deux achats comme celui de Zoé coûtent (41x2 = 82), 82 € et ils comprennent (2.3 = 6), 6 disques chers et (2.5 = 10), 10 disques bon marché. Trois achats comme celui d’Aglaé coûtent (3. 38 = 114) 114 € et comprennent 6 disques chers et 18 disques bon marché. La différence est (114 – 82 = 32), 32€ C’est le prix des (18 – 10 = 8) 8 disques bon marché supplémentaires 1 disque bon marché coûte donc (32/8 = 4) 4€ 6 disques bon marché coûtent à Aglaé (6.4=24) 24 euros. Ses deux disques chers lui coûtent (38 – 24 = 34) 14 euros 1 disque cher coûte (14 :2=7) 7 euros 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

1 .2 La recherche des quantités Enoncé 1- 2 Les disques « bon marché » sont à 4 € et les « chers » à 7 euros. Zoé achète 8 disques pour 41 € Quel est le nombre de disques bon marché et de disques chers achetés par Zoé? Profil de l’énoncé q(a,i). pa + q(b,i). pb = pz inconnues: q(a,i) et q(b,i) q(a,i). + q(b,i) = qz Solution arithmétique du problème 1.2 la fausse supposition Si Zoé n’avait acheté que des disques à 4€ elle aurait payé (4 x 8 = 32) 32€ Chaque fois qu’elle remplace un disque à 4€ par un disque à 7€ sa facture augmente de 3€. Elle doit donc augmenter de (41- 32 = 9), 9€ Elle a donc acheté (9/3 = 3) 3 disques chers et 5 disques bon marché. Profil de la solution arithmétique (1) 4.x + 7.y = 41 (2) x + y = 8 4.x + 7.y = 41 4 (x+y) = 32 4(x + 1) + 7( y - 1) = 4x + 4 + 7y - 7 = 4x + 7y - (7-4) = 41 – 3 remplacement 4 ( x+y) = 32 41 – [4x + 7y – 3] = 3 41-32/ 3 = 9/3 =3  x = 8 – 3 = 5 y = 8 – 5 = 3 Solution algébrique 4 (x+y) = 4 x + 4 y = 32 (4x + 7y) – (4x - 4y) = 41 - 32 = 3y  y = (41 – 32)/3 = 3 x = 8-3 = 5 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Enoncé 4 : L’abaque des mélanges Aïdée a acheté 15 disques au prix moyen de 10 € par disque. Mais certains disques coûtent 8 euros, d’autres 13 €. Combien a-t-elle acheté de disque de chaque sorte ? Solution arithmétique : la Croix des mélanges (Autre illustration). Le prix moyen d’un disque est 10 € La vente à 10 € d’un disque à 13 € est une perte de 3 € ; (13-10) = 3 au total 3 fois le nombre de disques chers Le gain sur la vente d’un disque à 8 € est 2€ Le gain sur les disque à 8 € est (10 -8) = 2 La perte doit être compensée par les gains donc 3 fois le nombre de disques chers est égal à 2 fois le nombre de disques bon marché. Le nombre de disques bon marché est le 3/2 du nombre de disques chers. Sur 5 disques vendus, 3 sont à 10 € et 2 à 13 € Pour 15 disques, il y en aura 9 à 8 € et 6 à 13 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Traduction algébrique des solutions arithmétiques Ex. La croix des mélanges 4x +7y = 41 (1) x + y = 8 (2) (4x +7y)/x+y = 41/8 (3) 41/8 x + 41/8 y = 4x + 7 y (41/8 – 4) x = (7 – 41/8) y x/y = (7 – 41/8) /(41/8 – 4) x/y = [(56 – 41)/8]/[(41 – 32)/8] x/y = 15 / 9 x + y = 8 x = 15/9 y (15/9 +1) y = 24/9 y = 8 y = 8 . 9/24 = 3 x = 5 Une mesure de complexité de Kolmogorov d’une telle solution consiste à attribuer un poids aux symboles d’égalité, un autre aux opérations et un aux symboles numériques… Ces poids peuvent être inférés du résultats d’expériences La mesure de Mc Cabe est similaire à celle de Kolmogorov 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Que donnerait l’application à E3 de la méthode de La croix des mélanges Le prix moyen des disques achetés par Zoé est 41/8 Chaque fois qu’elle paie 41/8 € pour un disque bon marché elle perd 9/8 € car (41/8 – 4) = 41/8 – 32/8 = 9/8 Mais chaque fois qu’elle paie 41/8 € pour un disque cher, elle gagne 7 – 41/8 € soit 7 – 41/8 = 56/8 – 41/8 = 15/8€. Cette perte doit être compensée par le gain. Il faut 9/8 disques chers d’une quantité totale de disques pour équilibrer 15/8 disques bon marchés. Le rapport entre les quantités des deux disques (chers / bon marché) est donc (9/8) / (15/8) = 9/15 = 3/5 Par rapport à la quantité totale 8 disques il y a donc 3 disques chers pour 5 bon marché. Il est clair que la difficulté varie suivant la nature des mesures à manipuler : considérer un achat comme un mélange n’est pas aisé. 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

Conclusions Sans entrer dans le détail, les calculs montrent (ce que le bon sens indique) : Que les solutions arithmétiques (S.AR.) mobilisent une beaucoup plus grande variété de concepts que les algébriques (L’algèbre économise des apprentissages), Que l’algorithme algébrique (A.AL) le plus général est parmi les plus complexes… (désavantage à A.AL, à l’algèbre) Et qu’il est insensible aux nombres et à leur interprétation comme grandeurs, (avantage à S.AL) Que les solutions arithmétiques les moins complexes correspondent aux cas algébriques dégénérés. (L’économie liée à l’usage des S.AR est modérée) Les variations importantes de complexité des solutions arithmétiques constituent des sauts informationnels 9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010

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