COURS DE TECHNIQUES QUANTITATIVES Prévisions et correction de données Dans le cadre de Variations saisonnières Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONS SAISONNIERES Quelques principes de bases. Le principe consiste à partir de séries chronologiques passées au sein desquelles on repèrera des régularités que l’on projettera dans le futur pour établir des prévisions Le travail consistera à : - observer le passé - émettre des hypothèses sur le modèle. - construire le modèle en calculant ses paramètres, - vérifier la qualité du modèle pour en établir la fiabilité. - faire tourner le modèle pour poser une prévision ou une correction Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : Soit le tableau suivant de distribution des ventes (yi)en fonction des dépenses de publicité (xi) : Il s’ensuit le nuage de points suivant qui en lissant les points fait penser à une droite… Donc à un modèle : y=ax+b i XI Yi 1 10 200 2 15 320 3 20 330 4 25 480 5 30 530 yi xi Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : En l’occurrence ici on écrira Avec valeur calculée différente de yi valeur réelle observée Et donc écart entre l’ordonnée du point calculé par le modèle et le point réel observé. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : La question sera donc celle de déterminer les paramètres a et b de afin de pouvoir prolonger la droite dans une logique de prévision. Cette droite devra être la plus proche possible des points observés La méthode des moindres carrés consistera à trouver a et b tels que soit minimum. On a affaire à un minimum lorsque la dérivée première est nulle et la dérivée seconde positive (tendance à la remontée) Par le calcul différentiel (dérivées) on minimisera donc cette somme selon a et selon b. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : Par le calcul différentiel (dérivées) on minimisera donc cette somme selon a et selon b. Et l’on obtiendra : et Avec Comme chaque couple x;y a été observé une fois, il n’y a pas de pondération en ni (tous égaux à 1) et N=n, i XI Yi ni 1 10 200 2 15 320 3 20 330 4 25 480 5 30 530 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : Pour calculer et Il faudra calculer = et i XI 1 10 2 15 3 20 4 25 5 30 Somme 100 Somme/n i XI Yi 1 10 200 2 15 320 3 20 330 4 25 480 5 30 530 Somme 100 1860 Somme/n 372 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : Pour calculer et Il faudra calculer = 20 et =372 Puis = pour = i XI Yi ni XI*Yi* 1 10 200 2000 2 15 320 4800 3 20 330 6600 4 25 480 12000 5 30 530 15900 Somme 100 1860 41300 Somme/n 372   8260 i XI Yi ni 1 10 200 2 15 320 3 20 330 4 25 480 5 30 530 Somme 100 1860 Somme/n 372   Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : Pour calculer et Il faudra calculer = et = Puis = pour = puis = Pour V(x) = V(x) = i XI Yi ni XI*Yi* Xi^2 1 10 200 2000 100 2 15 320 4800 225 3 20 330 6600 400 4 25 480 12000 625 5 30 530 15900 900 Somme 1860 41300 2250 Somme/n 372   8260 450 i XI Yi ni XI*Yi* 1 10 200 2000 2 15 320 4800 3 20 330 6600 4 25 480 12000 5 30 530 15900 Somme 100 1860 41300 Somme/n 372   8260 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : Pour calculer et Comme = 20 =372 = 820 = 50 a= et b = Si bien que l’équation devient et donc une dépense de 50 laisse espérer de ventes Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : et donc une dépense de 50 laisse espérer 864 de ventes Espérer car : - Le contexte peut changer, - les arbres ne montent pas jusqu’au ciel… De plus quelle que soit la réalité du lien on peut toujours calculer a et b selon cette méthode. Cela ne veut pas dire que ce soit toujours pertinent, C’est pour cette raison qu’avant toute chose , il faut vérifier la qualité de la régression linéaire. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : C’est pour cette raison qu’avant toute chose , il faut vérifier la qualité de la régression linéaire. C’est r, le coefficient de corrélation linéaire qui indiquera le sens du lien positif ou négatif (droite décroissante) ainsi que sa qualité. plus il sera proche de 1 en valeur absolue plus le modèle linéaire sera applicable. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : on connaît cov(x,y) = 820, v(x) =50 et donc Il ne manque que soit : V(y) = 762600/5 - 3722 V(y) = 152520 -138384 V(y) = 14136 = 118,89 i XI Yi ni XI*Yi* Xi^2 Yi^2 1 10 200 2000 100 40000 2 15 320 4800 225 102400 3 20 330 6600 400 108900 4 25 480 12000 625 230400 5 30 530 15900 900 280900 6   Somme 1860 41300 2250 762600 Somme/n 372 8260 450 152520 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : on connaît cov(x,y) = 820, v(x) =50 et donc corrélation positive et forte. On appelle coefficient de détermination r2 , il représente la part de la relation entre x et y expliquée par l’équation. On considère que pour être acceptable il faut que r2 soit au moins égal à 0,75 (75%). Il ne peut dépasser 1 Ici r2 =0,9513 ce qui est très bon. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES L’ajustement linéaire : On considère que pour être acceptable il faut que r2 soit au moins égal à 0,75 (75%). Attention r n’est pas égale à , En fait Comme = 0,866 L’équation sera acceptée ou rejetée sur la base ci-dessous: -1 -0,866 0,5 0,866 1 acceptation   rejet Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATION SAISONNIERES 2. Le cas des variations saisonnières. Il peut arriver que « r » soit mauvais alors que la tendance est bien linéaire… Mais que les points observés s’écartent de la droite de tendance en raison de mouvements saisonniers. On vend plus de parapluies en automne qu’en été. Un mouvement saisonnier signifie qu’existe une certaine régularité de mouvements liés à un rythme temporel. Ce mouvement peut correspondre à des saisons au sens habituel du terme mais aussi à d’autres cycles, semaines, jours, périodes dans la journée…. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONS SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Ce mouvement peut correspondre à des saisons au sens habituel du terme mais aussi à d’autres cycles, semaines, jours, périodes dans la journée…. Il faut toutefois que sur un cycle les points hauts soient neutralisés par les points bas. Pour aborder cette problématique il faut commencer par repérer le cycle et le rythme. Ensuite, il conviendra d ’émettre une hypothèse, quant à la nature du mouvement saisonnier : - Additif ou -Multiplicatif Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONS SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Pour aborder cette problématique il faut commencer par repérer la tendance, le cycle et le rythme. Le diagramme cartésien, ci-contre permettre de Comparer les mouvements Au sein des différents cycles. On observe ici une synchronisation des points (hauts bas, moyens) correspondant aux mêmes trimestres sur les 3 années. La tendance est croissante puisqu’au niveau des courbes l’année 3 est au dessus , de l’année 2, au dessus de l’année 1. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONS SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Pour aborder cette problématique il faut commencer par repérer la tendance, le cycle et le rythme. A contrario, la tendance est ici décroissante puisqu’au niveau des courbes l’année 1 est au dessus de l’année 2, au dessus de l’année 3. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Additif : Pour chaque saison l’amplitude reste la même au fil du déroulement des cycles successifs. Il correspond au modèle : Soit Par exemple chaque automne le chômage augmente de 10 000 par rapport à la tendance soit 1010 000 pour 1000 000 en tendance et 2010 000 pour 2000 000en tendance ou -Multiplicatif Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Additif : Les courbes superposées montrent Un certain parallèlisme. Les droites reliant les sommets d’une Même saison sont parallèles à la droite de tendance. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Additif , la méthode : Par exemple on dispose de cet historique trimestriel sur 3 ans Qui semble permettre l’hypothèse d’un modèle à tendance linéaire et variations saisonnières additives. soit : = Il faut donc commencer par déterminer a et b TR1 TR2 TR3 TR4 2008 1386 994 1460 1092 2009 1558 1166 1632 1264 2010 1730 1338 1804 1436 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Additif , la méthode : Il faut donc commencer par déterminer a et b. On reporte donc les données comme une suite chronologique de donnés, permettant d’appliquer la méthode des moindres carrés. ici on trouve : avec un r= qui montre que cette équation ne permet pas d’expliquer le phénomène à elle seule TR1 TR2 TR3 TR4 2008 1386 994 1460 1092 2009 1558 1166 1632 1264 2010 1730 1338 1804 1436 ti yi 1 1386 2 994 3 1460 4 1092 5 1558 6 1166 7 1632 8 1264 9 1730 10 1338 11 1804 12 1436 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATION SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Additif , la méthode : Si Cela signifie que Connaissant a et b on peut calculer les différents que l’on aurait obtenu avec l’équation, ici par exemple puis calculer ligne par ligne ainsi Attention le signe compte ti yi ^yi 1 1386 1217,31 2 994 1251,43 3 1460 1285,56 4 1092 1319,69 5 1558 1353,81 6 1166 1387,94 7 1632 1422,06 8 1264 1456,19 9 1730 1490,31 10 1338 1524,44 11 1804 1558,57 12 1436 1592,69 ti yi ^yi y-^yi 1 1386 1217,31 168,69 2 994 1251,43 -257,43 3 1460 1285,56 174,44 4 1092 1319,69 -227,69 5 1558 1353,81 204,19 6 1166 1387,94 -221,94 7 1632 1422,06 209,94 8 1264 1456,19 -192,19 9 1730 1490,31 239,69 10 1338 1524,44 -186,44 11 1804 1558,57 245,43 12 1436 1592,69 -156,69 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATION SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Additif , la méthode : Toutefois, il ne peut y avoir plusieurs coefficients pour une même saison. Par exemple pour le premier trimestre On a : +168,69, +204,19,+239,691 Pour obtenir les coefficients définitifs correspondant Il faut faire la moyenne des coefficients provisoires de chaque saison. Ici : = Sk ti yi ^yi y-^yi 1 1386 1217,31 168,69 2 994 1251,43 -257,43 3 1460 1285,56 174,44 4 1092 1319,69 -227,69 5 1558 1353,81 204,19 6 1166 1387,94 -221,94 7 1632 1422,06 209,94 8 1264 1456,19 -192,19 9 1730 1490,31 239,69 10 1338 1524,44 -186,44 11 1804 1558,57 245,43 12 1436 1592,69 -156,69 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATION SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Additif , la méthode : Par commodité on reporte les coefficients de la manière suivante et on calcule les moyennes en colonnes: ainsi toute prévision concernant un deuxième trimestre se verra appliquer le coefficient S2=-221,94 La prévision pour le 2ème trimestre 2012, correspond donc à y18 = y18= TR1 TR2 TR3 TR4 2008 168,69 -257,43 174,44 -227,69 2009 204,19 -221,94 209,94 -192,19 2010 239,69 -186,44 245,43 -156,69 Sk S1 S2 S3 S4 ti yi ^yi y-^yi 1 1386 1217,31 168,69 2 994 1251,43 -257,43 3 1460 1285,56 174,44 4 1092 1319,69 -227,69 5 1558 1353,81 204,19 6 1166 1387,94 -221,94 7 1632 1422,06 209,94 8 1264 1456,19 -192,19 9 1730 1490,31 239,69 10 1338 1524,44 -186,44 11 1804 1558,57 245,43 12 1436 1592,69 -156,69 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATION SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Multiplicatif Pour chaque saison l’amplitude du mouvement saisonnier évolue avec la tendance au fil des cycles successifs. Il correspond au modèle :𝑦𝑖= 𝑦𝑖 × 𝑃𝑖 Soit : 𝑦𝑖=(𝑎𝑡𝑖+𝑏) × 𝑃𝑖 Par exemple chaque automne le chômage augmente de 1% par rapport à la tendance soit une multiplication par 1,01 donc 1010 000 pour 1000 000 en tendance et 2020000 pour 2000 000en tendance ou -Multiplicatif Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Multiplicatif : Les courbes superposées montrent une tendance croissante ainsi qu’un synchronisation des points (hauts bas moyens) Comme la tendance est croissante on observe une certaine divergence, c’est-à-dire amplification du mouvement avec la tendance. Les droites reliant les sommets d’une même saison sont divergents par rapport à la droite de tendance. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Multiplicatif : Les courbes superposées montrent une tendance croissante ainsi qu’un synchronisation des points (hauts bas moyens) Comme la tendance est décroissante on observe une certaine convergence, c’est-à-dire réduction du mouvement avec la tendance. Les droites reliant les sommets d’une même saison sont convergentes par rapport à la droite de tendance. Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONs SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Multiplicatif , la méthode : Par exemple on dispose de cet historique trimestriel sur 3 ans Qui semble permettre l’hypothèse d’un modèle à tendance linéaire et variations saisonnières multiplicatives. soit : 𝑦𝑖= 𝑦𝑖 × 𝑃𝑖 ou 𝑦𝑖=(𝑎𝑡𝑖+𝑏) × 𝑃𝑖 Il faut donc déterminer a et b de la même manière que dans le cas précédent et l’on obtient : a = et b= TR1 TR2 TR3 TR4 2008 1040 1240 1600 1150 2009 1120 1424 1750 1250 2010 1290 1620 2000 1420 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATION SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Multiplicatif , la méthode : Si 𝑦𝑖= 𝑦𝑖 × 𝑃𝑖 Cela signifie que 𝑃𝑖=𝑦𝑖/ 𝑦𝑖 Connaissant a et b on peut calculer les différents que l’on aurait obtenu avec l’équation. ici par exemple puis calculer ligne par ligne𝑃𝑖=𝑦𝑖/ 𝑦𝑖 ainsi : 𝐏𝟐= ti yi ^yi yi/^yi 1 1040 1166,82 0,8913 2 1240 1210,79 1,0241 3 1600 1254,76 1,2751 4 1150 1298,74 0,8855 5 1120 1342,71 0,8341 6 1424 1386,68 1,0269 7 1750 1430,65 1,2232 8 1250 1474,62 0,8477 9 1290 1518,60 0,8495 10 1620 1562,57 1,0368 11 2000 1606,54 1,2449 12 1420 1650,51 0,8603 ti yi ^yi 1 1040 1166,82 2 1240 1210,79 3 1600 1254,76 4 1150 1298,74 5 1120 1342,71 6 1424 1386,68 7 1750 1430,65 8 1250 1474,62 9 1290 1518,60 10 1620 1562,57 11 2000 1606,54 12 1420 1650,51 Jean-Marc Petit

PrEVISIONS ET VARIATIONS SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Multiplicatif , la méthode : On procède alors comme dans le modèle additif en calculant la moyenne des coefficients provisoires par saison: ainsi toute prévision concernant un deuxième trimestre se verra appliquer le coefficient P2=1,0293 La prévision pour le 2ème trimestre 2012, correspond donc à y18 = y18 = ti yi ^yi yi/^yi 1 1040 1166,82 0,8913 2 1240 1210,79 1,0241 3 1600 1254,76 1,2751 4 1150 1298,74 0,8855 5 1120 1342,71 0,8341 6 1424 1386,68 1,0269 7 1750 1430,65 1,2232 8 1250 1474,62 0,8477 9 1290 1518,60 0,8495 10 1620 1562,57 1,0368 11 2000 1606,54 1,2449 12 1420 1650,51 0,8603 TR1 TR2 TR3 TR4 2008 0,8913 1,0241 1,2751 0,8855 2009 0,8341 1,0269 1,2232 0,8477 2010 0,8495 1,0368 1,2449 0,8603 Pk P1 P2 P3 P4 0,8583 1,0293 1,2478 0,8645

PrEVISIONS ET VARIATIONS SAISONNIERES 4. Le cas des variations saisonnières. Point d’attention: On note Si : les coefficients additifs provisoires et Sk : les coefficients définitifs obtenus par moyenne des Si d’une même période. Pour qu’un modèle additif soit appliqué il faut que la somme des Si d’une même année comme des Sk s’approche de 0 (=0 pour un modèle parfait) Et On note Pi : les coefficients multiplicatifs provisoires et Pk : les coefficients définitifs obtenus de la même façon que précédemment. Pour qu’un modèle multiplicatif soit appliqué, il faut que la moyenne simple des Si d’une même année comme des Sk s’approche de 1. (=1 pour un modèle parfait) Jean-Marc Petit