Géométrie et communication graphique Cours 8: Représentation vectorielle et paramétrique de surfaces Edouard Rivière-Lorphèvre Edouard.riviere@umons.ac.be

Introduction Équations vectorielle et paramétriques du plan 𝑥= 𝑥 0 +l𝑎+𝜇𝑑 𝑦= 𝑦 0 +l𝑏+𝜇𝑒 𝑧= 𝑧 0 +l𝑐+𝜇𝑓 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Introduction Généralisation pour les surfaces 𝑂𝑃 = 𝑓 𝑢,𝑣 𝑂𝑃 = 𝑓 𝑢,𝑣 𝑥= 𝑓 1 𝑢,𝑣 𝑦= 𝑓 2 𝑢,𝑣 𝑦= 𝑓 3 𝑢,𝑣 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme paramétrique Méridien Parallèle Ligne pour lesquelles un paramètre est constant: ligne coordonnée (visualisation) Méridien Parallèle E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme paramétrique Les paramètres employés sont libres, il existe plusieurs paramétrisation d’une même surface 𝑥=± 𝑅 2 − 𝜆 2 − 𝜇 2 𝑦=𝜆 𝑧=𝜇 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Coordonnées sphériques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Coordonnées sphériques 𝑧=𝑅.𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛=𝑅.𝑐𝑜𝑠𝜙 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Coordonnées sphériques 𝑧=𝑅.𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛=𝑅.𝑐𝑜𝑠𝜙 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Coordonnées cylindriques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Coordonnées cylindriques Premier paramètre: coordonnée z Deuxième paramètre: paramètre des équations paramétriques dans Oxy de la courbe de base 𝑥=𝑓1(𝜃) 𝑦=𝑓2(𝜃) 𝑧=𝜅 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Coordonnées cylindriques Exemple: cylindre circulaire d’axe z 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑅 2 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Coordonnées cylindrique Surface cylindrique d’axe x ou y: même démarche par permutation circulaire 𝑥=𝜅 𝑦=𝑓1(𝜃) 𝑧=𝑓2(𝜃) 𝑥=𝑓1(𝜃) 𝑦=𝜅 𝑧=𝑓2(𝜃) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Représentation paramétrique des quadriques Ellipsoïde Lignes coordonnées à f=cste 𝑥=𝑎′.𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦=𝑏′.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧=𝑐′ Ellipse plan ┴ Oz E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Représentation paramétrique des quadriques Hyperboloïde à une nappe Hyperboloïde à deux nappes E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Représentation paramétrique des quadriques Paraboloïde hyperbolique Paraboloïde elliptique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Représentation paramétrique des quadriques Cône elliptique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surfaces de révolution 1er paramètre: forme paramétrique de la courbe plane 2e paramètre : q R q z E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple du tore f q E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

1e étape: équations dans le plan 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛=𝑅+𝑟. cos 𝜙 𝑧=𝑟.𝑠𝑖𝑛𝜙 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

2e étape: révolution f E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple du tore E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface réglée Surface générée par un ensemble de droites liées par 3 contraintes Parallélisme à un plan Passage par une courbe Tangence à une surface Idée de base: écrire les coordonnées de deux points en fonction d’un paramètre Forme paramétrique des génératrices E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple B(-a,n,c) C(a,-b,m) A(l,b,-c) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple A,B, C alignés  Ces vecteurs doivent être colinéaires E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple B(-a,n,c) C(a,-b,m) A(l,b,-c) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple 2 On donne deux droites définies par leurs équations cartésiennes et un plan défini par son équation cartésienne 𝑑 1 ≡ 3𝑥+5𝑦−3𝑧+3=0 𝑥−𝑦−𝑧+1=0 𝑑 2 ≡ 𝑥+𝑧−3=0 2𝑦+3𝑧=0 𝜋≡3𝑥+5𝑦+2𝑧−2=0 On demande de rechercher les équations paramétriques d’une surface réglée dont les génératrices sont sécantes avec les droites et parallèles au plan E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

1e étape: équations paramétriques des droites 𝑑 1 ≡ 3𝑥+5𝑦−3𝑧+3=0 𝑥−𝑦−𝑧+1=0 𝑉 1 = 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑢 𝑧 3 5 −3 1 −1 −1 = −8,0,−8 𝑥=0⇒ 5𝑦−3𝑧+3=0 −𝑦−𝑧+1=0 ⇒ 0,0,1 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑑 1 𝑑 1 ≡ 𝑥=−8𝛼 𝑦=0 𝑧=1−8𝛼 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

1e étape: équations paramétriques des droites 𝑑 2 ≡ 𝑥+𝑧−3=0 2𝑦+3𝑧=0 𝑉 2 = 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑢 𝑧 1 0 1 0 2 3 = 2,−3,2 𝑧=0⇒ 𝑥−3=0 2𝑦=0 ⇒ 3,0,0 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑑 1 𝑑 2 ≡ 𝑥=3+2𝛽 𝑦=−3𝛽 𝑧=2𝛽 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

2e étape: vecteur directeur Un vecteur directeur d’une génératrice a pour coordonnées (vecteur joignant un point de d1 à un point de d2): (3+2b+8a;-3b;2b+8a-1) Or les génératrices sont parallèle au plan p (donc perpendiculaires à sa normale: (3+2b+8a;-3b;2b+8a-1).(3;5;2)=0 On a donc une relation entre a et b: 9+6b+24a-15b+4b+16a-2=0 40a-5b+7=0  𝛽=8𝛼+ 7 5 Ce qui permet d’exprimer le vecteur directeur en fonction d’un seul paramètre: (3+ 16𝛼+ 14 5 +8a; -24𝛼− 21 5 ; 16𝛼+ 14 5 +8a-1) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

3e étape: équations paramétriques Il suffit finalement d’exprimer les équations paramétriques des génératrices: Passant par les points −8𝛼;0;1−8𝛼 De vecteur directeur (24𝛼+ 29 5 ; -24𝛼− 21 5 ; 24𝛼+ 9 5 ) On obtient donc: 𝑥=−8𝛼+ 24𝛼+ 29 5 𝜆 𝑦= −24𝛼− 21 5 𝜆 𝑧=1−8𝛼+ 24𝛼+ 9 5 𝜆 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique S l P µ 𝑉 𝜆,𝜇 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑆 +𝜆. 𝑆𝑃 𝜇 Sommet s Génératrice: droites reliant S à un point de la courbe l P µ 𝑉 𝜆,𝜇 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑆 +𝜆. 𝑆𝑃 𝜇 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique Ellipse 𝑥=𝑎.𝑐𝑜𝑠𝜇 𝑦=𝑏.𝑠𝑖𝑛𝜇 𝑧=0 Exemple: cône dont le sommet est en (0,b,b) et dont la base est une ellipse (grand axe 2a, petit axe 2b) dessinée dans Oxy Ellipse 𝑥=𝑎.𝑐𝑜𝑠𝜇 𝑦=𝑏.𝑠𝑖𝑛𝜇 𝑧=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique 𝑉 𝜆,𝜇 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑆 +𝜆. 𝑆𝐸 𝜇 𝑂𝑆 = 0,𝑏,𝑏 𝑆𝐸 = a.cosµ,𝑏. sin µ ,0 −(0,𝑏,𝑏) S E O E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique 𝑂𝑃 = 0,𝑏,𝑏 +𝜆. 𝑎.𝑐𝑜𝑠µ,𝑏.𝑠𝑖𝑛µ−𝑏,−𝑏 𝑥=𝜆.𝑎. cos µ 𝑦=𝑏+𝑏.𝜆. 𝑠𝑖𝑛µ−1 𝑧=𝑏. 1−𝜆 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique 𝑥=𝜆.𝑎. cos µ 𝑦=𝑏+𝑏.𝜆. 𝑠𝑖𝑛µ−1 𝑧=𝑏. 1−𝜆 𝑐𝑜𝑠𝜇= 𝑥 𝜆𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜇= 𝑦−𝑏 𝑏𝜆 +1 𝑠𝑖𝑛²𝜇+𝑐𝑜𝑠²𝜇= 𝑥² 𝜆²𝑎² + 𝑦−𝑏 ² 𝜆²𝑏² +1+2 𝑦−𝑏 𝑏𝜆 =1 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique 𝑥² 𝜆²𝑎² + 𝑦−𝑏 ² 𝜆²𝑏² +2 𝑦−𝑏 𝑏𝜆 =0 𝑏²𝑥²+𝑎² 𝑦−𝑏 ²+2𝑎²𝑏 𝑦−𝑏 𝜆=0 𝑥=𝜆.𝑎. cos µ 𝑦=𝑏+𝑏.𝜆. 𝑠𝑖𝑛µ−1 𝑧=𝑏. 1−𝜆 ⇒𝜆= 𝑏−𝑧 𝑏 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique 𝑏²𝑥²+𝑎² 𝑦−𝑏 ²+2𝑎² 𝑦−𝑏 𝑏−𝑧 =0 𝑏²𝑥²+𝑎² 𝑦²−2𝑦𝑏+𝑏² +2𝑎² 𝑦𝑏−𝑦𝑧− 𝑏 2 +𝑏𝑧 =0 𝑏²𝑥²+𝑎²𝑦²−2𝑎²𝑦𝑧+2𝑎²𝑏𝑧−𝑎²𝑏²=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique