Pierre Joli pjoli@iup.univ-evry.fr Cours de Mathématique Pierre Joli pjoli@iup.univ-evry.fr

Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteur géométrique , Chap 1: Calculs Vectoriels Un vecteur géométrique est un segment orienté, noté Où A est l'origine et B l'extrémité du vecteur. Il possède les caractéristiques suivante : une longueur, appelée norme du vecteur, et notée une direction définie par un angle orienté de sa droite de support . un sens, indiqué par une pointe de flèche et défini par un angle orienté. Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteur géométrique (suite)  B  x B =θ >0 y0 A θ=+ y0 x A  <0   x θ=+  y0  >0 A y0 x B A =θ<0 B - /2  /2 caractérise la direction de la droite de support -   θ  caractérise le sens (ou l'orientation) du vecteur y = tg(α) x +y0 tg(α)= tg() Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteur géométrique (suite) On ne change pas les caractéristiques d'un vecteur par translation c'est-à-dire sa norme, sa direction, son sens restent les mêmes. B A D C

Représentations physiques Vecteur position d'un point dans l'espace Vecteur vitesse d'un point par rapport à un référentiel Vecteur accélération d'un point par rapport à un référentiel Vecteur force (ou densité de force) en un point Moment d'une (ou d'une densité de force) par rapport à un point de référence Chap 1: Calculs Vectoriels

Définitions Deux vecteurs ayant même direction sont dits parallèles. La multiplication par un scalaire ne change pas la direction du vecteur. . sont deux vecteurs de sens opposés <-1 >1 Chap 1: Calculs Vectoriels

Addition de deux vecteurs Méthode du triangle Méthode du parallélogramme Chap 1: Calculs Vectoriels

Relation de Chasles Chap 1: Calculs Vectoriels Pour tout point A, B, et X du plan ou de l'espace, on a l'égalité : D X A Chap 1: Calculs Vectoriels

Angles et triangles (rappels de trigonométrie) Lois des sinus A A b= c= R est le rayon du cercle circonscrit à ABC C C B a = Lois des cosinus B Chap 1: Calculs Vectoriels

Norme du vecteur somme Chap 1: Calculs Vectoriels θ -θ 0 θ   est l'angle entre les deux vecteurs et Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteur normé Chap 1: Calculs Vectoriels L’orientation d’un vecteur quelconque dans un plan peut être définie par rapport un axe orientée (0, ) tel que est le vecteur normé de , il a le même sens et la même orientation Chap 1: Calculs Vectoriels

Cercle trigonométrique (R=1) + 1 - -/2 /2   -1 1 - -/2 /2   -1 Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteurs algébriques Chap 1: Calculs Vectoriels Un vecteur peut être défini de manière unique dans un base orthonormée par ses composantes (ou coordonnées) algébriques. Dans un plan cartésien : vecteur projeté sur l'axe des x : vecteur projeté sur l'axe des y Écriture vectorielle Écriture algébrique Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteurs algébriques (suite) tg() sin() +  cos() -/2 /2  3/2

Vecteurs algébriques (suite) arctan est une fonction disponible sur la calculatrice définie sur -/2    /2 θ= arctan (Uy /Ux) θ= arctan (Uy /Ux)+ Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteurs algébriques (suite) Dans un espace cartésien : vecteur projeté sur l'axe des x : vecteur projeté sur l'axe des y : vecteur projeté sur l'axe des z Écriture vectorielle Écriture algébrique Chap 1: Calculs Vectoriels

Produit scalaire Chap 1: Calculs Vectoriels

Produit scalaire (suite) Car  Base orthonormée Le produit scalaire est commutatif Chap 1: Calculs Vectoriels

Vecteurs algébriques (suite) L'orientation d'un vecteur en 3D peut être définie par trois angles dont on connaît les cosinus par: Chap 1: Calculs Vectoriels

Produit vectoriel Chap 1: Calculs Vectoriels L'orientation du produit vectoriel est donnée par la règle du tire-bouchon (ou la règle de la main droite). θ Chap 1: Calculs Vectoriels

Produit vectoriel (suite) Car  Base orthonormée directe Le produit vectoriel est non commutatif: Chap 1: Calculs Vectoriels

Equations cartésiennes (en 2D) Droite M y  M0  x Cercle M0 (x-x0)2 +(y- y0)2= R2 Chap 1: Calculs Vectoriels

Equations paramétriques (en 2D) Droite y M M0 y0    est le paramètre x0 x M Cercle θ M0 θ est le paramètre Dans le cas d’une trajectoire (t) (t) sont des fonctions du temps (lois horaires). Chap 1: Calculs Vectoriels

Rappels de trigonométrie (suite) θ θ O O θ θ O O

Rappels de trigonométrie (suite) cos(a+b)= cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (1) sin(a+b)= sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) (2) (1) → cos(a-b)= cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) (3) (2) → sin(a-b)= sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) (4) (1)+(3) → cos(a)cos(b)= ½[cos(a-b)+ cos(a+b)] (5) (3)- (1) → sin(a)sin(b)= ½[cos(a-b)- cos(a+b)] (6) (2)+(4) → sin(a)cos(b)= ½[sin(a-b)+sin(a+b)] (7) On pose p=a+b et q=a-b → a=(p+q)/2 et b=(p-q)/2 (5) → cos(p)+ cos(q)= 2cos((p+q)/2 )cos((p-q)/2 ) (6) → cos(p)- cos(q) = -2sin((p+q)/2 )sin((p-q)/2 ) → sin(p)+sin(q)= 2sin((p+q)/2 )cos((p-q)/2 ) (8) → sin(p)-sin(q)= 2sin((p-q)/2 )cos((p+q)/2 )

Rappels de trigonométrie (suite) arcos, arcsin,arctan étant respectivement les fonctions inverses de cos, sin et tang définies sur la calculatrice, elles ont respectivement comme domaines de définition [0, ],[- /2, /2 ] et [- /2, /2 ].

7°) Calculer arcsin(cos(2Π/3)) sans calculatrice

Solution 2Π/3=Π/2 +Π/6 cos(2Π/3) =-sin(Π/6) = sin (-Π/6) Arcsin (sin(-Π/6))= -Π/6 Π/6

8°) Que vaut le produit scalaire?

Solution Par le calcul vectoriel Par le calcul algébrique

9°) Que vaut le produit vectoriel?

9°) Que vaut le produit vectoriel? Solution par le calcul vectoriel

9°) Que vaut le produit vectoriel? Solution par le calcul algébrique