L’électrostatique dans le vide

L'électrostatique étudie le champ électrique indépendant du temps, créé par des charges fixes dans un référentiel donné

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges 1) Les charges

Répartition continue volumique de la charge q = (M).d  V

Répartition continue surfacique de la charge M q = (M).dS 

Répartition continue linéique de la charge M q = (M).d 

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges 1) Les charges 2) Les principes de conservation et d’invariance

La charge totale d’un système isolé se conserve au cours du temps Postulat : La charge totale d’un système isolé se conserve au cours du temps

Postulat : La charge totale d’un système a la même valeur quel que soit le référentiel d’étude

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique 1) Les champs scalaire et vectoriel

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique 1) Les champs scalaire et vectoriel 2) Force et champ électrostatiques a) La force électrostatique de Coulomb

La charge ponctuelle q0 > 0 M O0 F0(M) u0 q > 0

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique 1) Les champs scalaire et vectoriel 2) Force et champ électrostatiques a) La force électrostatique de Coulomb b) Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

La charge ponctuelle q0 > 0 M O0 E(M) u0

L’électrostatique dans le vide II) Le champ électrostatique 2) Force et champ électrostatiques a) La force électrostatique de Coulomb b) Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle c) Le champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles

L’électrostatique dans le vide II) Le champ électrostatique 2) Force et champ électrostatiques d) Lignes et tube de champ

Ligne de champ Une ligne de champ d’un champ de vecteur A quelconque est une courbe (C) orientée de l’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.

Ligne de champ M Q P E(M) E(Q) E(P) 

Lignes de champ électrostatique

Lignes de champ électrostatique

Tube de champ L’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé  de l’espace engendre une surface ouverte  appelée tube de champ.

Tube de champ 2 1

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique III) Symétries et invariances du champ électrostatique

Définition Un vecteur polaire ou « vecteur vrai » est défini intrinsèquement sans l’aide d’une convention d’orientation de l’espace (trièdre direct).

Le champ électrostatique E, la force, la position ou la vitesse sont des vecteurs polaires.

On admet le principe de Curie : Le champ électrostatique E possède les mêmes propriétés d'invariance et de symétrie que la distribution de charges qui le crée.

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique III) Symétries et invariances du champ électrostatique 1) Invariances

Invariance Un système S est invariant pour une transformation T pour un observateur fixe si le nouveau système T(S) est identique au système S pour cet observateur.

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique III) Symétries et invariances du champ électrostatique 1) Invariances 2) Symétries

P’ = Sym(P) et S(P’) = Sym[S(P)] Plan de symétrie Un système (S) possède un plan de symétrie (), quand P et P’ deux points du système vérifient : P’ = Sym(P) et S(P’) = Sym[S(P)] S(P) est la grandeur caractérisant le système (S) au niveau de P.

Conséquence () est aussi un plan de symétrie pour E. Si M est un point de l'espace et M' = Sym(M), alors : E(M') = Sym[E(M)]

Conséquence Ainsi en un point M appartenant à (), plan de symétrie d'une distribution de charges, le champ électrostatique E(M), vecteur polaire, appartient à ce plan ().

P’ = Sym*(P) et S(P’) = – Sym*[S(P)] Plan d’antisymétrie Un système (S) possède un plan d'antisymétrie (*), quand P et P' deux points du système vérifient : P’ = Sym*(P) et S(P’) = – Sym*[S(P)] S(P) est la grandeur caractérisant le système (S) au niveau de P.

Conséquence (*) est aussi un plan d'antisymétrie pour E. Si M est un point de l'espace et M' = Sym*(M), alors : E(M') = – Sym*[E(M)]

Conséquence Ainsi en un point M appartenant à (*), plan d’antisymétrie d'une distribution de charges, le champ électrostatique E(M), vecteur polaire, est perpendiculaire à ce plan (*).

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique III) Symétries et invariances du champ électrostatique IV) Le théorème de Gauss 1) Rappels sur le flux

  dS M P d +

L’électrostatique dans le vide I) Généralités sur les charges II) Le champ électrostatique III) Symétries et invariances du champ électrostatique IV) Le théorème de Gauss 1) Rappels sur le flux 2) Le théorème de Gauss

Théorème de Gauss M Qint  Q

(E/), le flux sortant du champ E créé par une distribution de charges quelconque à travers une surface finie fermée () est égal à la charge intérieure à la surface finie fermée () divisée par 0.

Le champ électrostatique en M est créé par la charge totale Q Le flux du champ électrostatique à travers la surface  est uniquement dû à la charge intérieure à , Qint

L’électrostatique dans le vide IV) Le théorème de Gauss 3) Exemples de champs électrostatiques a) La boule

Surface de Gauss O R 0 M r

Champ créé par une boule

L’électrostatique dans le vide IV) Le théorème de Gauss 3) Exemples de champs électrostatiques a) La boule b) Le cylindre « infini »

z O R r h

Champ créé par un cylindre infini

L’électrostatique dans le vide IV) Le théorème de Gauss 3) Exemples de champs électrostatiques a) La boule b) Le cylindre « infini » c) Le plan « infini »

Champ créé par un plan infini E z O

L’électrostatique dans le vide V) Le potentiel électrostatique 1) Le potentiel électrostatique

L’électrostatique dans le vide V) Le potentiel électrostatique 1) Le potentiel électrostatique 2) Propriétés du potentiel électrostatique

Lignes de champ et équipotentielles

L’électrostatique dans le vide V) Le potentiel électrostatique 1) Le potentiel électrostatique 2) Propriétés du potentiel électrostatique 3) Application : Capacité du condensateur plan

Définition Deux conducteurs sont en influence totale si toute ligne de champ partant de l’un aboutit à l’autre

L’électrostatique dans le vide V) Le potentiel électrostatique 1) Le potentiel électrostatique 2) Propriétés du potentiel électrostatique 3) Application : Capacité du condensateur plan 4) L’énergie potentielle électrostatique

L’électrostatique dans le vide VI) Analogies avec la gravitation

Électrostatique Gravitation Félec = avec OM = r.ur Fgrav = – G.m0.m avec OM = r.ur Charge q0 Masse m0 Constante Constante – G Champ électrostatique : E(M) = Champ gravitationnel : g(M) = – ur Potentiel électrostatique : V(M) = Potentiel gravitationnel : U(M) = – Énergie potentielle : Ep = + K Énergie potentielle : Ep = – + K (E/) = = (g/) = = – 4.G.Mint

(g/), le flux sortant du champ gravitationnel g créé par une distribution de masses quelconque à travers une surface finie fermée () est égal à la masse intérieure à la surface finie fermée () multipliée par – 4G.

Boule Planète Charge Qboule Masse Mplanète Symétrie sphérique (r) Symétrie sphérique (r) Champ électrostatique à l’extérieur de la boule chargée : E(M) = Champ gravitationnel à l’extérieur de la planète : g(M) = – ur A l’extérieur, la boule se comporte comme une charge ponctuelle placée en son centre de même valeur Qboule A l’extérieur, la planète se comporte comme une masse ponctuelle placée en son centre de même valeur Qboule