Critères d’Aide à la Décision

Nouvelle Ligne de Produit Actions possibles quelles quantités produire? Etats de l’environnement quels niveaux de demande? Résultats C.A., coût, marge... Objectif recherché par l’entreprise?

Actions, Etats, Marges - demande hebdomadaire possible 20, 30 ou 40 unités, PROBABLE  production 20, 30 ou 40 unités / semaine. -prix de vente unitaire: 2500 euros -coût variable: 1500 euros -Marge: pu x uv – cv x up

Calcul des marges Une action a 2, un état e 3 produit 30 unités, 40 unités demandées c 23 = 2500x x30= a 3 et e 1 produit 40 unités, 20 unités demandées c 31 = 2500x x40= etc…

Matrice de décision E1E2EjEm..... a1 c11c c1m a2c a ai ci1ci2cij an cn1cn2cnjcnm c 32 est la valeur conséquente de l’action a 3 et de l’état E2.

Matrice de l’Exemple Une colonne, un état Une ligne, une action

Critères LAPLACE maximiser EM WALD meilleur dans le pire SAVAGE regret minimal HURTWICZ paramètre subjectif

Espérance Mathématique Max{(1/n)  c ij } i ji j Moyenne en ligneMaximum a2a2

Pessimiste Minimax Coût: Min {(max c ij )} ijij Maximin Gain:Min c ij Max Max {(min c ij )} ij a1a1

Prudence Min{ max (max c ij - c ij )} ij j max c ij – c ij maxmin a 1

Pondération Max{ h max c ij + (1-h) min c ij } ijj h Є [0,1] h= 0,7 Max{ 0,7 max c ij + 0,3 min c ij } ijj a 3

Bayésien Ajout de connaissances a priori: Point mort probabilisé Dispersion du gain Coût de l’incertitude  Probabilité conditionnelle: P(Ei/X)  Critère d’évaluation d’une décision \presenta\mqdinc.ppt

Gain espéré Décision dans l’incertain  Gain G V.A. Distribution de probabilités sur les états j possibles { a i }→ { d i } → EGi,VGi EG(d i )=  c ij P(Ej ) où c ij = G(d i /Ej) j Max EG(d i ) | EG(d* )≥ EG(d i ) Multiplication de la colonne matrice des gains par probabilité de l’état correspondant Ajout d’une colonne de somme en ligne, élément maximum d*

Décision optimale P(Ej) 0,20,40,4 G(di)+20x0,2 +20x0,4 +20x0, x0,2 +30x0,4 +30x0,4 -10x0,2 +15x0,4 +40x0,4 Max EG(d i ) =d*

Gain espéré/fiabilité erreurH0H1 d00β d1  0 intervenir Pas de problème Erreur  : intervenir à tort  =P(d1/H0) Erreur β: ne pas intervenir alors qu’un problème existe β=P(d0/H1)

Coût de l’incertitude Situation de certitude  P(Ej ) Max G(d i /Ej) jiji i.e. choisir le maximum par ligne multiplié par la probabilité de l’état colonne, puis sommer Coût de l’incertitude:  P(Ej ) Max G(d i /Ej) - Max EG(d i ) jiijii

Calcul du coût de l’incertitude Max EG(d i ) (10 3 ) =d* =  P(Ej ) Max G(di/Ej) Ici le coût de l’incertitude est max

Jeux Théorie des jeux Tactique d’un joueur: description des décisions Actions: ses possibilités Etats du monde: actions éventuelles de l’autre

Jeu à 2 joueurs b 1 b 2 …b n a 1 r 11 r 12 …… r 1n a 2 r 21 r 22 r 2n …. a m r m1 r m2 …. r mn N tactiques pour B M tactiques pourA

Gain du jeu Chaque joueur définit un ordre, v ij,sur ses tactiques pour simplifier A est joueur du maximum max min v ij B du minimum min max v ij La théorie suppose que ce sont des joueurs prudents

Valeur du jeu Valeur commune max min v ij =min max v ij ijji ce couple de tactiques en équilibre est appelé ‘’point selle’’ L’égalité est rarement satisfaite, Probabilités:  Stratégie de A, p 1 p 2. … p m,  p i. = 1  Stratégie de B, q 1 q 2. … q m,  q j. = 1  résultat r ij avec une probabilité p i q j

Duel Les perspectives de gain v ij notées M:   p i v ij q j = PMQ i j Théorème de VON NEUMAN: Un jeu stratégique possède une valeur maxminPMQ = minmaxPMQ et les stratégies prudentes des joueurs forment un couple en équilibre.

Exemple duel 123 q 1 q 2 q 3 a a a q 1 q 2 q 3 a 1 p a 2 1- p La troisième tactique de A provoque un résultat inférieur à la deuxième Elle est dominée, et éliminée Gains attendus de A: 1 er jeu: 0p 1 +5(1-p 1 ) 2 ème : -2p 1 +4(1-p 1 ) 3 ème :2p 1 -3(1-p 1 )

Tactique Optimale p1 Gains p1 5-5p p1 E tactique maximin élimine 5-5p, d’où -2p+4(1-p)=2p-3(1-p)  4-6p=-3+5p  p=7/11, 1-p=4/11  v= -3+5x7/11= 2/11 valeur du jeu la valeur tactique de B q* 1 (5-5p)+q* 2 (4-6p)+q* 3 (-3+5p)=2/11  q* 1 20/11+ q* 2 2/11p+q* 3 2/11=2/11 La somme des q* égale 1, q* 1 = 0 sinon p=7/11 au-dessus maximin et q* 2 (4-6p)+q* 3 (-3+5p)≤2/11, 0 ≤ p ≤1 <2/11, si p=7/11 2/11 2/11 7/11

Optimalité suite Si fixe p=0 4q* 2 -3Q* 3 = 2/11 Si p=1 -2q* 2 +2 q* 3 =2/11 d’où la stratégie de B est: q* 2 = 5/11,q* 3 = 6/11 Les joueurs s’opposaient ici, ils peuvent Coopérer….

Extremum de PARETO Un point Pareto-optimal Ne peut augmenter le gain de l’un sans diminuer celui de l’autre tout en restant dans l’ensemble des admissibles  Sur la frontière des admissibles répartition possibles V= {va,vb} va vb

Coopération? Accord/désaccord niveau de vraisemblance de l’accord fonction des gains respectifs: va-va m. vb-vb m, où va m et vb m, gains en désaccord gains proportionnels à ce que chacun aurait gagné

Point de COURNOT Un couple de stratégies,va*,vb* chacune meilleure réponse à l’autre, i.e. équilibre, le résultat induit s’il est unique est un optimum de COURNOT

Compromis de NASH Solution de négociation (coopération) Max (va-va m. vb-vb m ) sur V deux camarades veulent se répartir 100 euros, rien si désaccord, comment s’accorder? Max (va-0)(vb-0) sous va+vb ≤ 100 va,vb≥0 va vb 100 Solution va=vb=50

Arbitrage Un résultat Pareto-optimal est intéressant pour les joueurs. Dans le cas d’un duel, quel point vont-ils accepter? S’il existe un désaccord, le point de Cournot est atteint mais moins satisfaisant.

Théorème de NASH Si l’ensemble V des admissibles,v, est convexe, si f est une règle d’arbitrage, M un point d’arbitrage est tel que: f(v) = M f est invariante par rapport à une transformation linéaire de gain, S’il existe un équilibre de Cournot que M est Pareto-optimal, Les courbes d’indifférence v a v b =k, celle tangente à l’optimum de PARETO est optimale.

compromis de NASH va vb T A vavb = k Solution au problème de l’arbitrage

Equilibre de NASH Non coopératif, Les stratégies,individuelles, de a et b: v a =(x a1, x a2,…x am ) v b =(y b1,..y bn ) vd a, vd b variables de décision Point Pareto-optimal (va*,vb*) vd a (v a *,v b *) ≥vd a (v a,v b *) vd b (v a *,v b *) ≥vda(v a *,vb)

Comportement Si la fonction de gain est: Vd a (x,y)= a(x,y)+  b(x,y),  є[0,1] Vd b (x,y)=βa(x,y)+b(x,y), β є[0,1]  0 altruiste De même pour b  = β =-1 le jeu est à somme nulle