Analyse des données. Plan Lien entre les statistiques et l’analyse des données Propagation des erreurs Ajustement de fonctions.

Présentation au sujet: "Analyse des données. Plan Lien entre les statistiques et l’analyse des données Propagation des erreurs Ajustement de fonctions."— Transcription de la présentation:

1 Analyse des données

2 Plan Lien entre les statistiques et l’analyse des données Propagation des erreurs Ajustement de fonctions

3 Échantillon vs population Une mesure échantillonne une population La distribution de l’échantillon approxime celle de la population La précision sur les estimations augmente avec la taille de l’échantillon N

4 Exemple de comptage

5 n = 100

6 n = 1000

7 n = 1 000 000

8 Précision sur la moyenne L’estimation de la moyenne s’affine avec N Population Échantillon

9 Erreur sur une variable dépendante

10

11

12 Propagation d’erreurs

13

14 x et y sont des variables indépendantes Et  x et  y sont des erreurs indépendantes Leurs effets s’additionnent quadratiquement

15 Propagation d’erreur pour des incertitudes indépendantes

16 Propagation d’erreurs (sans corrélations)

17 Moyenne pondérée Plusieurs mesures de x (x 1, x 2,... x i,,... x n ) Différentes précisions (  1,  2,...  i,,...  n ) On cherche la meilleure évaluation de la moyenne µ Les mesures précises doivent contribuer davantage

18 Moyenne pondérée Si tous les  i sont égaux,

19 Ajustement de courbes Soit f(x) une fonction physique On fait une mesure de f(x) en x = x 1 On cherche la probabilité que la mesure soit bonne

20

21

22 La probabilité totale est

23 La valeur de P ou de  2 nous dit si les mesures représentent bien la théorie

24 Ajustement En général, la situation est inversée On ne connaît pas f(x) Mais on connaît (ou on essaye) une forme –droite –polynôme –fonction arbitraire

25 Ajustement On cherche les a i qui maximisent P –Vraisemblance maximale –Maximum likelihood Ou qui minimisent  2 –Moindres carrés

26 Régression linéaire On veut passer la meilleure droite à travers n points expérimentaux

27 Régression linéaire On cherche a et b qui minimisent  2 2 équations, 2 inconnus (a et b)

28 Régression linéaire

29

30 Incertitudes égales (votre calculatrice)

31 Régression linéaire 5 mesures f(x) = 3x + 7 a=7b=3  2 = 10,1 a = 5,9b = 2,9  2 min = 5,9

32 Contours du  2

33 Incertitude sur les paramètres a et b dépendent des y i  a et  b dépendent des  i On applique la règle de propagation

34 Incertitude sur les paramètres

35 Incertitude et  2

36 La régression linéaire trouve le minimum du  2 Un écart-type sur les paramètres correspond à une augmentation de 1 du  2. Pourquoi ? Les courbes de niveau indiquent la corrélation entre les paramètres

37 Incertitude et  2 Gaussienne d’écart-type = 1 L’incertitude représente une variation de 1 du  2

38 Corrélation linéaire On peut toujours passer une droite par des points Mais ces points peuvent-ils être décrits par une droite ? Le coefficient de corrélation linéaire r nous donne la réponse

39 Corrélation linéaire b = 2,7 b’ = 0,33 r = sqrt(bb’) = 0,95 b = 0,29 b’ = 0,33 r = sqrt(bb’) = 0,31