Analyse Spectrale et Corrélation GRAMFC U1105 Introduction au traitement numérique du signal 2013 A. Aarabi Groupe de Recherche sur l'Analyse Multimodale de la Fonction Cérébrale

Analyse fréquentielle Transformée de Fourier des signaux • Corrélation Plan Analyse fréquentielle Transformée de Fourier des signaux discrets et continus • Corrélation Illustrations

Introduire le concept de spectre d’un signal et expliquer comment un ordinateur calcule spectre et spectrogramme avec l’algorithme de FFT. juste un petit rappel: la fréquence : En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps.

Différence ?

Superposition des signaux

la décomposition des signaux

Lequel fait la décomposition (composition) des signaux en fonction des fréquences qui les constituent? l'appareil de phonation

l’oreille perçoit le spectre, la décomposition fréquentielle des sons Qu’est ce qui fait distinguer à l’oreille un piano et une flûte ?

L'oreille humaine capte de 20 Hz à 20 000 Hz.

Le son est créé par ce que les physiciens appellent une onde de compression, ou longitudinale, qui est le résultat de la compression et de la dilatation des molécules du support en question (l’air, l’eau, le béton, etc.) de manière oscillatoire. Ce phénomène a pour conséquence de faire osciller la pression locale et de produire du son.  

Exemple de différentes fréquences : - la première est fondamentale, - les autres correspondent à ses harmoniques (de haut en bas).

différencier une note grave (basse fréquence) et une note aigüe (fréquence élevée)   1. Fréquence

En musique, la fréquence est reliée à la hauteur des sons entendus. 2. Intensité En musique, la fréquence est reliée à la hauteur des sons entendus.

Le décibel : Unité de mesure destinée à évaluer principalement l'intensité sonore. Le décibel est une valeur logarithmique qui exprime le rapport d'une grandeur (puissance) par rapport à une grandeur de référence. Les décibels ne s'additionnent pas de façon arithmétique, mais selon une progression logarithmique. Cela signifie que lorsqu'une source sonore est multipliée par deux, le niveau sonore n'augmente que de 3 dB.   Pour avoir l’impression que le son est 2 fois plus fort, il faut ajouter 10 dB au volume initial. Ajouter 10 dB revient à multiplier par 10 le niveau sonore.  Par exemple, une trompette délivre à elle seule 90 dB. Afin d'avoir un volume deux fois plus fort, il est nécessaire de passer à 100 dB, soit multiplier par 10 la source initiale sonore.

Sons purs, sons musicaux et bruits

L'exemple du diapason:    la fréquence d'un diapason est de 440 Hz, * Ses harmoniques sont : - 880 Hz (440*2) - harmonique 2 - 1320 Hz (440*3) - harmonique 3 - 1760 Hz (440*4) - harmonique 4 - 2200 Hz (440*5) - harmonique 5 - 2640 Hz (440*6) - harmonique 6 - 3080 Hz (440*7) - harmonique 7

Les sons musicaux sont des sons complexes (comme ci-dessous), mélanges de sons graves et aigus, et naissent de la superposition d’un son fondamental et d’harmoniques.

oreille externe L'oreille externe comprend le pavillon, partie apparente constituée de cartilage, qui permet de capter et d’amplifier les vibrations sonores afin de les canaliser dans le conduit auditif. Les ondes sonores sont donc transmises au tympan via le conduit auditif.

Rôle de l'oreille externe dans la localisation des sons pour une source donnée dans le milieu extérieur, il existe entre chaque oreille (pour les fréquences supérieures à 500 Hz) des différences de niveau, ou de phase (temps d'arrivée de l'onde sonore). L’amplitude dépend du milieu de propagation

Fonction de transfert de l'oreille externe L'amplitude et la phase des ondes acoustiques sont modifiées en se propageant du milieu extérieur jusqu’au tympan. Ces modifications, qui sont particulières à chaque fréquence et à chaque angle d’incidence des ondes sonores, caractérisent la fonction de transfert de l ’oreille externe.

L’oreille moyenne Les ondes sonores parviennent alors au tympan, petite membrane souple permettant la transmission des vibrations à l'oreille interne par la mise en mouvement de 3 osselets: le marteau, l'enclume et l'étrier ; qui jouent le rôle d'un piston.

oreille interne L'oreille interne est composée du vestibule, organe de l'équilibre, et de la cochlée, organe de la perception auditive. Cette dernière contient un liquide lymphatique qui permet la propagation des vibrations venant de l’oreille moyenne. Lors du passage des ondes dans le liquide, plus de quinze milles cellules nerveuses ciliées transforment les vibrations mécaniques en influx nerveux (signal électrique).

Animation du transfert des pressions acoustiques (ondes sonores) du milieu aérien aux fluides et aux structures de l'oreille interne (cochlée) Les cellules nerveuses ciliées situées à l’apex (sommet) de la cochlée codent l'information relative aux fréquences graves, alors que les cellules ciliées situées à la base codent l'information relative aux fréquences aiguës. Le signal électrique ainsi produit est transmis au cerveau via le nerf auditif, où il va être décodé et interprété sous forme de sons. un son de fréquence grave affecte une portion plus apicale de la cochlée. un son de fréquence élevée affecte une portion basale de la cochlée.

L'implant cochléaire

le spectre d’amplitude ou spectre regroupe l’ensemble des intensités des composantes fréquentielles du son: amplitude=f(fréquence) diapason:    la fréquence d'un diapason est de 440 Hz  Analyse spectrale du son produit par un diapason (gauche): son pur (1 seule fréquence)   L’axe des abscisses représente les fréquences.  L’axe des ordonnées représente l’amplitude.

Ses harmoniques sont : - 880 Hz (440 * Ses harmoniques sont : - 880 Hz (440*2) - harmonique 2 - la 4 - 1320 Hz (440*3) - harmonique 3 - la5 - 1760 Hz (440*4) - harmonique 4 - la 6 - 2200 Hz (440*5) - harmonique 5 - la 7 - 2640 Hz (440*6) - harmonique 6 - la 8 - 3080 Hz (440*7) - harmonique 7 - la 9

la décomposition des signaux

Analyse (spectrale) fréquentielle Idée : Convertir du domaine temporel vers le domaine fréquentiel Convertir (conversion inverse) la solution du domaine fréquentiel vers le domaine temporel

Transformation de Fourier la transformation de Fourier calcule le spectre d’un signal en temps continu ou discret, périodique ou apériodique

Série de Fourier (synthèse) Toute fonction périodique peut se décomposer en une somme de fonctions sinus et cosinus appelées harmoniques, et dont les fréquences sont des multiples de la fréquence la plus basse, appelée fondamentale Synthèse : a0 a1 . b0 b1

Série de Fourier Toute fonction périodique Sommation de fonctions sinus et cosinus de fréquences diverses Chacune multipliée par un coefficient différent

Série de Fourier (Analyse) Opération inverse de la synthèse Les termes an et bn représentent le spectre harmonique du signal a0 a1 . b0 b1 X(t) ?

Séries de Fourier

Séries de Fourier exemple x (t) To t f f0 2f0 3f0

FS of locally stable periodic signal

a0-a3 a0-a13 a0 = ½, ak = 2/(k*pi) * cos(k*w*t - pi/2) a0-a25

Reconstruction

Transformée de Fourier La transformée de Fourier s’applique à n’importe quel signal alors que les séries de Fourier ne s’appliquent qu’aux signaux périodiques Caractéristique importante: Toute fonction peut être "transformée" du domaine Fourier au domaine original par une transformée inverse sans perte d'information

Transformée de Fourier Toute fonction, même apériodique, mais dont l'aire sous la courbe est finie, L'intégrale de fonctions sinus et cosinus Chacune multipliée par un coefficient différent

Série temporelle

La musique (naturelle ou synthétique) 110Hz La 220Hz La 440Hz f

forme d’onde Transformé de Fourier

EEG

ECG

Échantillonnage

Le spectre d’un signal analogique F Le spectre d’un signal analogique est donc borné, il a généralement une forme de ce type Remarque : les fréquences négatives ne représentent qu’un concept mathématique de des séries de fourrier

Échantillonnage

Le signal échantilloné n’est plus le signal d’origine Echantillonnage Théorème de Shannon L’échantillonnage a pour effet de multiplier le signal avec une infinité de sinusoïdes multiples de F, si fe > 2*fm -2f-fm -2fe -fe-fm -fe -fe+fm -fm +fm fe-fm fe fe+f 2fe 2fe+fm Si fe <2fm on a recouvrement de spectre (aliasing) -2fe -fe -fm +fm fe 2fe Le signal échantilloné n’est plus le signal d’origine Plus la fréquence d’échantillonnage est grande : Plus la détermination des différentes composantes d’un signal est facile.

Spectre d ’un signal échantillonné f0 -fE fE fE/2 -fE/2 A

Recouvrement spectral f0 -fE fE fE/2 -fE/2 A Sous-échantillonnage XSE(f)=1/2 [ XE(f)+XE(f-fe/2) ] A/2 -fE -fE/2 f0 fE/2 fE

Filtre anti-repliement -fE fE fE/2 -fE/2 A/2 fE/4 A/2 -fE -fE/2 f0 fE/2 fE

TFD Transformée de Fourier = décomposition spectrale 50 100 -0.2 0.2 50 100 -0.2 0.2 0.4 t (ms) [e] 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 PSD [e] f (kHz) (dB) TFD Transformée de Fourier = décomposition spectrale

Sons non voisés Bruit blanc (souffle) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -10 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -10 20 30 PSD [ch] f (kHz) (dB)

Transformee de Fourier rapide (FFT) ´ La transformation de Fourier rapide (TFR), ou encore Fast Fourier Transform (FFT), est directement issue d’une réorganisation du calcul des matrices de la transformée de Fourier discrète (TFD). ´ 7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 5 ´

Non stationnarité : le spectrogramme 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.4 -0.2 t (s) bonjour Mais la parole est construite comme une succession de sons et les propriétés spectrales sont donc non stationnaires (spectre varie au cours du temps), alors que le concept même de FFT est lié à la stationnarité. On introduit alors la notion de spectrogramme ou sonogramme, en admettant que les sons sont stationnaires sur des courtes périodes (20ms).

le spectrogramme Mais la parole est construite comme une succession de sons et les propriétés spectrales sont donc non stationnaires (spectre varie au cours du temps), alors que le concept même de FFT est lié à la stationnarité. On introduit alors la notion de spectrogramme ou sonogramme, en admettant que les sons sont stationnaires sur des courtes périodes (20ms).

Représentation pour un signal périodique(temps-fréquence)

Non stationnarité : le spectrogramme 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.4 -0.2 t (s) bonjour t (s) f (MHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.5 2 Mais la parole est construite comme une succession de sons et les propriétés spectrales sont donc non stationnaires (spectre varie au cours du temps), alors que le concept même de FFT est lié à la stationnarité. On introduit alors la notion de spectrogramme ou sonogramme, en admettant que les sons sont stationnaires sur des courtes périodes (20ms).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.1 -0.05 0.05 t (s) sachez parler t (s) f (MHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 4

Représentation de l ’intensité d ’un signal (gris ou couleur) en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme) Freq.(8kHz) Temps (1s) Freq. temps

Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons)

1.5 1 0.5 -0.5 Intensity -1 -1.5 -2 0.5 40 60 80 Time (s) STFT Transform 100 120 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 Frequency (Hz) 20 40 60 Time (s) 80 100 120 8

Plan Corrélation Auto- corrélation Intercorrélation Illustrations

Corrélation mesure la ressemblance entre deux signaux utilisée dans les systèmes de détection (radar, sonar, ...) La corrélation est la meilleure façon de détecter un signal connu dans un signal ayant du bruit. Signaux déterministes Signaux à énergie finie Signaux à puissance finie

Signaux à énergie finie Energie d’un signal continu ou discret Signaux transitoires Signaux de durée finie Existence de la transformée de Fourier Dans la réalité, tous les signaux sont à énergie finie. Exemples: x(t) = Rect(t) énergie finie x(t) = a constant n’est pas à énergie finie x(t) = V sin(2pft) n’est pas à énergie finie

Ensuite, on peut récupérer le signal original par d’autres méthodes. Auto-corrélation Si on fait la corrélation d’un signal avec lui-même, on appelle ceci l’auto-corrélation. L’auto-corrélation permet d’ identifier un signal périodique qui est cache dans du bruit. Ceci ne permet pas nécessairement d’identifier le signal périodique, mais plutôt de trouver la période. Ensuite, on peut récupérer le signal original par d’autres méthodes. 2

Auto-corrélation R t t

Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie L’autocorrélation possède la propriétés de symétrie Exemple Rect(t/T) Rxx(t) 1 T -T/2 T/2 t -T T t

intercorrélation R t t

Exemple d’intercorrélation x(t) y(t) 1 1 -T -T/2 T/2 t T t -1 Rxy(t) T -3T/2 -T/2 T/2 3T/2 t -T Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2. En t=0, x(t) ne ressemble pas du tout à y(t).

Projet: Comment Fonctionne Notre Oreille? Qu'est-ce qui fait qu'un instrument est sonore? Propagation physique du son dans l’air Anatomie, fonctionnement et rôle L’oreille externe L’oreille moyenne L’oreille interne La cochlée  Les cellules ciliées Les centres nerveux La perception des fréquences Localisation spatiale Expliquez la décomposition de son par l’oreille en utilisant le concept de décomposition d'une fonction périodique en série de Fourier

Projet: Comment fonctionne l'appareil de phonation? Principe de production d’un son L'alimentation de la voix La source de la voix Anatomie, fonctionnement et rôle les poumons le larynx la cavité nasale Differents modes vibratoires des cordes vocales Production des consonnes Production des voyelles Expliquez la composition de son par l'appareil de phonation en utilisant le concept de séries de Fourier

http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/beats.htm http://www.jhu.edu/signals/listen-new/listen-newindex.htm http://www.falstad.com/fourier/e-index.html http://www.falstad.com/fourier/ http://www.chem.uoa.gr/applets/AppletFourAnal/Appl_FourAnal2.html http://www-rohan.sdsu.edu/~jiracek/DAGSAW/4.6.html http://www.michw.com/2011/12/matched-filtering-animation/