Introduction au traitement numérique du signal 2013 Filtrage numérique A. Aarabi

Plan Objectifs du filtrage gabarit, types de filtres Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) propriétés types de filtres Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) propriétés types de filtres Illustrations

2 La problématique extraire un signal S d’un autre signal appelé bruit v = la perturbation = le bruit Signal parasite intrinsèque à la mesure Tout autre signal différent de ce qu’on veut extraire et qui ne provient pas forcément de la mesure x  s  v

3 L électrocardiogramme (ECG) Perturbation par la fréquence du courant d'alimentation des appareils

4 L’électrocardiogramme x = ECG mesuré s = ECG idéal v = alimentation La perturbation est un signal de fréquence 50Hz ou 60 Hz selon le pays On cherche donc un dispositif qui élimine la fréquence 50/60 Hz de l ECG mesuré

9 On cherche un filtre dont l’entrée est le signal x La connaissance sur les signaux s et v est donnée dans le domaine fréquentiel

10 On cherche donc la réponse en fréquence H du filtre qui va annuler l’effet des perturbations donc la puissance de celles-ci

11 En pratique on est plutôt dans une situation où le signal utile s et le bruit ont des spectres qui se superposent

12 Si les signaux sont analogiques : filtrage analogique Une fois le filtre déterminé celui-ci est nécessairement implanté sous forme matérielle (hardware) Si les signaux sont numériques : filtrage numérique Une fois le filtre déterminé celui-ci peut être implanté sous forme logicielle (software) ou matérielle (hardware) Avantage des filtres numériques Fiabilité Stabilité Adaptabilité signaux analogiques vs. numériques

13 Origines physiques des bruits on peut classer les bruits en deux grandes catégories Les bruits externes Les bruits internes Les bruits externes Les perturbations naturelles (bruits atmosphériques, bruits cosmiques) Les perturbations artificielles Parasites générés par des équipements industriels L’intensité varie en fonction des lieux (zone rurale, zone urbaine, logement, usine, …) Elles peuvent être considérées comme négligeables au delà de quelques MHz

14 Origines physiques des bruits Les bruits internes Les perturbations impulsionnelles engendrées par des commutations de courant Le bruit de fond généré dans les câbles et les composants électroniques en raison des mécanismes statistiques de la conduction électrique Le bruit thermique (composants passifs : résistance …) Le bruit de grenaille (composants actifs : diode, transistor …) Les perturbations externes peuvent être fortement diminuées par des blindages et le bruit impulsionnel par des modes de construction soignés Le bruit de fond est irréductible pour une température donnée

2 Le filtrage Le filtrage d’un signal est l’opération qui consiste à séparer les composantes de ce signal selon leurs fréquences. Il est utilisé pour extraire la partie utile des signaux en éliminant les bruits et les composantes nonpertinentes.

Les différentes fonctions de filtrage Il existe deux filtres fondamentaux: -Les filtres Passe - Bas, qui laisse passer les fréquences d’un signal inférieures à une valeur donnée, la fréquence de coupure (Fc). - Les filtres Passe - Haut, qui laissent passer les fréquences d’un signal supérieures à la fréquence de coupure (Fc). Filtre idéal

Les différentes fonctions de filtrage En associant ces deux filtres fondamentaux, il est possible de réaliser: - Les filtres Passe - Bande qui laissent passer les fréquences comprises entre une fréquence de coupure inférieure (Fc Inf ) et une fréquence de coupure supérieure (Fc Sup ). -Les filtres Coupe - Bande qui atténuent les fréquences comprises entre une fréquence de coupure inférieure (Fc Inf ) et une fréquence de coupure supérieure (Fc Sup ). A F Fc Inf Fc Sup A F Fc Inf Fc Sup 5 Passe - Bande Coupe - Bande

Filtre idéal et filtre réel Un filtre idéal est un dispositif qui n’apporte aucune distorsion au signal qui le traverse en dehors de celle prévue par sa fonction spécifique. Il doit également avoir une atténuation nulle en bande passante et infinie en bande coupée. Il doit avoir enfin une largeur de transition nulle entre la bande passante et la bande coupée. Tout filtre physiquement réalisable ou filtre réel, ne répond pas à tous ces critères. En premier lieu, il a toujours une influence plus ou moins marquée sur le décours temporel du signal qui le traverse. Ensuite il n’est pas possible de réaliser un filtre ayant une transition entre bande passante et bande coupée de largeur nulle. Il est pour cela impossible que le filtre réel puisse avoir une atténuation nulle en bande passante et infinie en bande coupée. 5

5 Les fonctions de filtrage: Filtre idéal vs. Filtre réel A A A A F FF F Fc InfFc SupFc InfFc Sup Fc Passe - Bande Fc Coupe - Bande Passe - BasPasse - Haut

Filtre réel On définit le filtre réel par rapport à son correspondant idéal par les caractéristiques suivantes: - L’atténuation minimale de la bande passante. - L’atténuation maximale de la bande coupée. - La largeur de la bande de transition 5

Définition du gabarit d’un filtre La réalisation d’un filtre nécessite tout d’abord de définir son gabarit c’est-à-dire la représentation graphique des conditions limites amplitude-fréquence imposées. Pour cela les paramètres suivants du filtre doivent être précisés : -Le niveau du signal dans la bande passante (0dB). -L’atténuation du filtre dans la bande coupée (XdB). -La ou les fréquences de coupure (Hz). -La largeur de bande de transition de l’atténuation (Hz). -Les éventuelles variations de gain dans la bande passante et coupée (dB). un filtre Passe – Bas

Filtrage Numérique Gabarit de filtre bande de transition:  c =  2 -  1  1 ondulation en Bpassante  2 ondulation en Baffaiblie raideur de coupure: R c = (  2 -  1 )/2 22 1 c 21 c 2  1+  1 1-  1

21 Filtre Passe - Bande

70 La méthode optimale

Approximation de la réponse fréquentielle du filtre et fonction de transfert A partir du gabarit on va choisir parmi les différentes formes approximées au moyen de divers polynômes ou autres fonctions, celle la mieux adaptée. Ce choix doit également tenir compte du comportement dynamique et de la réponse aux transitoires du polynôme en fonction de la nature du signal.

24 Classification des filtres pour les filtres numériques Classification d’après la réponse impulsionnelle RIF (FIR) Réponse Impulsionnelle finie RII (IIR) Réponse impulsionnelle infinie

Filtres RIF Entrée Sortie Calcul x (n-M)...x (n-1) x n ynyn y(n)=a 0 x(n)+a 1 x(n-1)+...+a k x(n-M) Un filtre nonrécursif se caractérise par le fait que sa réponse dépend de l’entrée aux instants précédents

Filtres RII Entrée Sortie Calcul x (n-M)...x (n-1) x n y (n-N) …y (n-1) y (n) y(k)= a 0 x(k)+a 1 x(k-1)+...+a n x(k-M) - b 1 y(k-1)-...-b m y(k-N) Réalisation récursive Un filtre récursif se caractérise par le fait que sa réponse dépend de l’entrée et de la sortie aux instants précédents

H (z)  19 Filtrage numérique : système linéaire invariant Fonction de transfert y (k )   M  b j z  j j  0 N 1   a i z  i i  1 Y ( z ) X ( z )

Filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) toujours stable phase linéaire (retard constant indépendant de f) les performances dépendent de M Le calcul des coefficients est facile Filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII) grandes performances avec peu de calculs peuvent osciller : il faut étudier la stabilité IIR plus rapide Les filtres RIF nécessitent généralement un plus grand nombre de coefficients que les filtres RII pour satisfaire un même gabarit performances maximales bien meilleures pour le RIF Comparaison RIF et RII

Caractéristiques des filtres RII Filtres de Butterworth Défini par son ordre N et sa fréquence de coupure f c. Fonction de transfert.

33 Butterworth Réponses fréquentielle et temporelle d’un filtre de Butterworth Passe –Bas d’ordre 2 à 10.

42 Filtres de Tchebycheff I Défini par son ordre N et la fréquence délimitant la bande passante f p et ε l’ondulation en bande passante. Ondulation en bande passante et monotone en bande atténuée. T n ( ) est un polynome de Tchebycheff d’ordre N

35 Tchebyshev Réponses fréquentielle et temporelle d’un filtre de Chebyshev Passe –Bas d’ordre 2 à 10 avec 0.1 dB d’ondulation dans la bande de fréquences transmises

EEG

EEG quantifiéEEG quantifié: Analyse spectrale Les bandes de fréquencesfréquences  (0.5–3.5 Hz) θ (3.5–7.5 Hz)  1 (7.5–9.5 Hz)  2 (9.5–12.5 Hz)  1 (12.5–17.5 Hz)  2 (17.5–25 Hz)  (25–40 Hz).

EEG quantifiéEEG quantifié: Analyse spectrale, paramètres a calculer Puissance Total (PT)=  puissance (0.5–40 Hz) Puissance absolue P  =  puissance (0.5–3.5 Hz) Puissance absolue P θ =  puissance (3.5–7.5 Hz) Puissance absolue P  1 =  puissance (7.5–9.5 Hz) Puissance absolue P  2 =  puissance (9.5–12.5 Hz) Puissance absolue P  1 =  puissance (12.5–17.5 Hz) Puissance absolue P  2 =  puissance (17.5–25 Hz) Puissance absolue P  =  puissance (25–40 Hz).

EEG quantifiéEEG quantifié: Analyse spectrale, paramètres a calculer Puissance Total (PT)=  puissance (0.5–40 Hz) Puissance relative PR  = P  /PT Puissance relative PR θ = P θ /PT Puissance relative PR  1 = P  1 /PT Puissance relative PR  2 = P  2 /PT Puissance relative PR  1 = P  1 /PT Puissance relative PR  2 = P  1 /PT Puissance relative PR  = P  /PT

Eyes Open – background EEG rhythms 9 y/o M Scale: 50 mcV/cmNote: muscle artifacts at: Fp1

Spectra (EEG power vs. EEG frequency) in Eyes Open condition

Eyes Closed – background EEG rhythms. 12 y/o M Scale: 70 mcV/cm Note muscle artifacts T3, T4

Spectra (EEG power vs. EEG frequency) in Eyes Closed condition

Exemple 1: EEGExemple 1: EEG

Exemple 1: FFTExemple 1: FFT nfft = 1024; % Length of FFT X = fft(x,nfft); X = X(1:nfft/2); % FFT is symmetric, throw away second half mx = abs(X); % Take the magnitude of fft of x f = (0:nfft/2-1)*Fs/nfft; % Frequency vector figure plot(f,mx); title('Power Spectrum of normal EEG'); xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Power');

Exemple 1: FFTExemple 1: FFT

Exemple 1: EEG, méthodeExemple 1: EEG, méthode welch

Exemple 1: analyse spectrale par la méthodeExemple 1: analyse spectrale par la méthode welch [Pxx,F]=pwelch(x1,[],[],[],Fs,'twosided'); NFFT=length(F); figure plot(F(1:NFFT/2),Pxx(1:NFFT/2),'r'); title('Power Spectrum of normal EEG'); xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Power');

Exemple 1: analyse spectrale par la méthodeExemple 1: analyse spectrale par la méthode welch

Exemple 2: Inter-corrélationExemple 2: Inter-corrélation

Exemple 2: Inter-corrélationExemple 2: Inter-corrélation, template

Exemple 2: Inter-corrélation load('ecgdemodata1.mat'); Fe = samplingrate; %% Freq. d'ech. Te=1/Fe; %% Per. N=length(ecg); %% durée, N t=(0:1:(N-1))*Te; subplot(2,1,1) plot(t,Xf) ylabel('Amplitude') xlabel('Temps (Sec)') subplot(2,1,1) template=Xf(500:1050); plot(template) ylabel('Amplitude') xlabel('Temps (Sec)') r=[]; for i=1:length(Xf)-length(template)-1 Lag=1; r1=crosscorr(template,Xf(i:i+length(template)-1),Lag); r=[r r1(2)]; End figure plot(r)

Exemple 2: Inter-corrélationExemple 2: Inter-corrélation

ECG: Analyse du domaine fréquentiel Le spectre de puissance est constitué de bandes de fréquences de 0 à 0,5 H la bande de fréquence ultra-basse (ULF): <0.003 Hz la bande de fréquences très basse (VLF): < Hz la bande de fréquence basse (LF): Hz la bande de fréquence élevée (HF): Hz ULF: refléter les rythmes circadiens et neuroendocriniens VLF : un marqueur de l'activité sympathique HF : un marqueur de la modulation vagale LF : modulée par les deux systèmes nerveux sympathique et parasympathique. LF/HF: reflète l’équilibre global sympathico-vagale

55 Stades du sommeil Hypnogramme : les Cycles du Sommeilles Cycles du Sommeil

56 Stades du sommeil

Les stades du sommeil (1) Stade 1 Le début de l’endormissement est marqué par le rapide rythme Bêta de l’éveil qui est remplacé par le rythme Alpha plus lent d’un individu détendu aux yeux clos. Des ondes Thêta, encore plus lentes, commencent à apparaître.

Les stades du sommeil (2) Stade 2 un sommeil léger où l’on assiste à une nouvelle baisse de fréquence de l’EEG et à un accroissement de son amplitude. Les ondes Thêta caractéristiques de ce stade sont ponctuées par un train occasionnel d’ondes de haute fréquence, les fuseaux du sommeil, qui sont des bouffées d’activité de 8 à 14 Hz et de 50 à 150 microvolts d’amplitude. On peut aussi observer durant ce stade une onde rapide de grande amplitude appelée complexe K.

Les stades du sommeil (3) Stade 3 le passage du sommeil moyennement profond à profond. Les ondes Delta font leur apparition et constituent bientôt près de la moitié de ce que l’on observe sur l’EEG.

Les stades du sommeil (4) Stade 4 le niveau le plus profond du sommeil. Les ondes Delta (lentes) continues de très forte amplitude dominent le tracé de l’EEG

Les stades du sommeil (5) Stade 5 mouvements oculaires rapides activité EEG ± semblable à l’éveil

62 Stades du sommeil