A. Lebrun

L’informatique La couche physique d’un ordinateur nécessite la construction d’opérateurs logiques dont la description relève de l’algèbre de Boole. L’algébre de Boole permet de travailler sur des variables logiques ou booléennes qui ne peuvent prendre que deux valeurs (0,1)

George Boole introduit un formalisme mathématiques de la logique The calculus of logic (1848)

George Boole George Boole est né le 2 novembre 1815 à Lincoln (Royaume-Uni). Ses parents n'étaient pas scientifiques, mais son père s'y intéressait, notamment pour l'aspect mécanique. George fut leur premier enfant après neuf ans de tentatives. On pense qu'il était un bébé fragile car il fut baptisé dès le lendemain (ce qui peut signifier qu'on avait peur qu'il ne survive pas). Il alla très tôt à l'école, mais c'est son père qui lui enseigna les bases des mathématiques, tout en l'initiant à l'optique. Doué en latin, il apprit le grec en autodidacte. En septembre 1828, il entra à la Brainbridge's Commercial Academy. Cette école n'était pas d'un niveau suffisant pour lui (ses parents ne pouvaient pas lui en payer de meilleure) mais il atténua cela en apprenant toujours en autodidacte le français et l'allemand. A seize ans, son père fit faillite. Pour subvenir aux besoins de ses parents et ses trois frères et soeurs, Boole travailla comme professeur assistant. Il commença alors à étudier sérieusement les mathématiques. Il obtint un nouveau poste à Oxford en 1833 mais n'y resta que six mois pour enseigner à Waddington (Hall's Academy), ville plus proche de Lincoln. Il ouvrit alors sa propre école, âgé seulement de 19 ans. Quatre ans plus tard, Hall mourut et on proposa à Boole de diriger son école. Il accepta et sa famille déménagea à Waddington. Il lisait encore de nombreux ouvrages mathématiques, notamment de Laplace et Lagrange. Pendant l'été 1840, il ouvrit une nouvelle école à Lincoln, faisant à nouveau déménager sa famille, et commença à publier régulièrement des articles dans le Cambridge Mathematical Journal. Sous l'influence du directeur de cette revue, il commença à se spécialiser dans l'algèbre. Il commença en 1842 à correspondre avec De Morgan et publia un article avec son aide, On a general method of analysis (1844). Cet article lui apporta une certaine notoriété. Ainsi à partir de 1846, il postula pour plusieurs chaires de mathématiques dans les universités royales. Il fut alors recommandé par de nombreux mathématiciens, comme De Morgan, Cayley, Kelland,... Son père mourut en décembre 1848 et Boole partit en novembre 1849 à Cork où il avait été nommé premier professeur de l'université royale. Il conserva ce poste jusqu'à sa mort. Il rencontra Mary Everest, une nièce du géographe qui a donné son nom à la montagne. Il lui donna quelques cours particuliers de calcul différentiel. Le père de Mary mourut en 1855 la laissant sans héritage, et Boole lui proposa de se marier, ce qu'ils firent le 11 septembre. Ils eurent cinq enfants et semblèrent un couple heureux. Ayant pris froid sous la pluie, Boole est décédé d'une pneumonie le 8 décembre 1864 à Ballintemple.LaplaceLagrangeDe MorganCayley Boole a travaillé sur le calcul différentiel et les différences finies. Cependant, son apport essentiel porte sur la logique. On considère que sa publication la plus importante est An investigation into the Laws of Thought, on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (1854), où il montre l'aspect algébriste de la logique pure. Ses idées sont considérées avec celles de De Morgan comme la base fondamentale de l'informatique moderne, à tel point que l'adjectif « booléen » est aujourd'hui très présent dans le monde de la logique (par exemple on le trouve dans presque tous les langages informatiques). Il a reçu la médaille de la Société Royale en 1844

L’algebre de Boole Permet de traiter les variables logiques dans l’ensemble qui ne contient que 0 et 1 Cet ensemble admet deux lois internes et la loi de complémentation Ou logique généralement noté + Et Logique généralement noté.

Représentation électrique Les niveaux logiques correspondent à des tensions En technologies TTL 0 logique ∈ [0, 0.3 * VDD] Volts 1 logique ∈ [0.7 * VDD, VDD] Volts

En technologie CMOS

Loi ou Soit deux variables x et y x + y = 1 si x = 1 ou si y = 1 Table de Vérité XYX+Y

Propriétés de la loi OU Commutative x+y = y + x Associative (x+y) + z = x + (y + z) = x + y + z élément neutre X + 0 = 0 + x = x

Représentation Représentation américaine de la porte OU Représentation européenne de la porte OU

Loi Et Soit deux variables x et y x.y = 1 si x=1 et y = 1 Table de Vérité xyx.y

Propriétés de la loi ET Commutative x.y = y.x Associative (x.y). z = x. (y. z) = x. y. z élément neutre X. 1 = 1. x = x

Représentation Représentation américaine de la porte ET Représentation européenne de la porte ET

Loi de Complémentation Si x = 0 alors x = 1 Si x= 1 alors x = 0 Représentation Américaine Représentation européenne 1 xx

Propriétés L’inverse de x est x et il est unique x est la forme normale x est la forme complémentée L’inverse de 0 est 1 L’inverse de 1 est 0 x + x = 1 quelque soit x x. x = 0

Distributivité La loi ET est distributive par rapport à la loi OU a. (b + c) = ab + ac La loi OU est distributive par rapport à la loi ET a + (b. c) = (a + b). ( a + c)

Propriétés de base Involution: x = x Idempotence : x + x = xx. x = x 1 élément absorbant du OU: x + 1 = 1 0 élément absorbant du ET : x. 0 = 0

Théorème de De Morgan L’inverse de la somme est le produit des inverses a + b = a.b L’inverse du produit est la somme des inverses a. b = a + b

Règles de simplification La somme de deux terme dont le premier est inclus dans le second est égale au premier a + a. b = a La somme de deux termes dont l’un est l’inverse d’une partie du second est égale à la somme du premier et du second amputée de la partie complémentaire au premier a + ab = a + b

Fonction logique Une fonction logique est une combinaisons de variables booléennes sous forme directe ou complémentée via les opérateurs ( ou, et) dont la valeur de sortie ne peut être que 0 ou 1 Une fonction logique peut être exprimée par une combinaisons des variables ou par sa table de vérité

Combinaisons de variables Ex: fonction majorité à 1 pour 3 variables a,b,c Fonction vraie = 1 si deux variables sont à 1 Une variable à 1 est représentée par sa forme directe Une variable à 0 est représentée par sa forme complémentaire F = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c

Table de vérité abcf

Table de vérité Une table de vérité d’une fonction de n variables comprend N+1 colonnes 2 puissance N lignes

Equivalence des représentations Les deux formes de représentation des fonctions sont identiques et on passe facilement de l’une à l’autre La forme canonique disjonctive s’obtient en faisant un ou logique entre les mintermes Les mintermes étant un et logique de toutes les variables dans l’état direct ou complémentaire conduisant à une valeur de sortie de la fonction égale à 1.

Table de vérité F = a.b.c + a.b.c + a.b.c +a.b.c bcf

Forme canonique conjonctive La forme canonique disjonctive est un produit des maxtermes Un maxterme est une somme de toutes les variables écrites sous forme directe ou complémentée Cette forme s’obtient en inversant la fonction inverse de f écrite sous forme canonique disjonctive

exemple Fonction inverse de la fonction majorité de 3 est donnée par: F = a.b. c + a.b.c + a.b.c + a.b.c F = F = (a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c) Les deux formes canoniques sont équivalentes

Câblage d’une fonction logique Un minterme est une porte ET qui comporte n entrées Une fonction logique peut donc se câbler sous forme de portes ET reliées dont les sorties sont une entrée d’une porte OU Un maxterme est une porte OU qui comporte n entrées Une fonction logique peut donc se câbler sous forme de portes OU reliées dont les sorties sont une entrée d’une porte ET

Exemple: fonction majorité x y z & & & & >1 F

Différentes formes de fonctions Une fonction identique peut se représenter sous différentes formes: Formes canoniques Formes simplifiées Dans les formes simplifiées plusieurs termes sont regroupées pour donner naissance à un seul terme  moins de composant  maintenance plus aisée Ex: fonction qui vaut 1 uniquement si une entrée et une seule vaut 1 (Ou exclusif)

Réalisation d’un circuit logique Spécification de la fonction logique en Français Etablir les diverses variables d’entrées Donnez la table de vérité si possible Transcrivez la fonction Simplifiez la fonction Réaliser le circuit logique équivalent