Formation Black Belt Lean Six Sigma Plans d’optimisation

Objectifs Comprendre l’approche des plans « central composite » Comprendre l’approche des plans de Box-Behnken Comprendre l’utilité de ces plans et leurs limites

Plans « central composite »

Plans « central composite » S’il existe une relation non-linéaire, il faut ajouter des termes quadratiques au modèle pour représenter cette courbure Avec un plan à deux facteurs, le modèle est le suivant : Il y a six coefficients β (ou effets) à estimer dans ce modèle Il n’y en avait que quatre dans le modèle linéaire Le modèle factoriel 22 comprend quatre essais et non six, le minimum nécessaire pour estimer distinctement les six coefficients β Il manque donc des essais

Plans « central composite » (suite) Supposons maintenant le modèle de 2ième ordre avec k variables indépendantes Une approche très efficace pour régler ce problème est d’ajouter au plan factoriel des essais axiaux Un tel plan se nomme « central composite design » (CCD) Ces plans sont recommandés lorsque l’expérience se fait de façon séquentielle

Plans « central composite » (suite) Le plan « central composite » s’applique à un plan initial 2k ou 2k-1 Essais du plan factoriel codés (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1) Point central Il y a donc 4 nouveaux essais à réaliser Essais axiaux du plan codés (+α,0), (-α,0), (0,+α), (0,-α)

Plans « central composite » (suite) En partant d’un plan factoriel 2k avec des points centraux pour ajuster un modèle de 1er ordre, il est possible d’utiliser le plan « central composite » pour estimer le modèle de 2ième ordre lorsqu’il y a courbure Les essais axiaux permettront d’avoir suffisamment de données pour estimer le modèle de 2-ième ordre Les plans CCD peuvent être utilisés seulement avec des facteurs continus Deux paramètres doivent être spécifiés : Distance α des essais axiaux Nombre de points centraux

Plans « central composite » (suite) Les plans « central composite » permettent d’estimer les termes quadratiques dans le modèle du second degré Ils répondent à deux propriétés importantes qui mènent à de bonnes prédictions à travers la région d’intérêt : Blocage avec orthogonalité Rotativité

Propriété de blocage avec orthogonalité La présence de blocage avec orthogonalité permet d’estimer les coefficients du modèle et l’effet du facteur de blocage, tout en minimisant la variance des coefficients estimés Le plan « central composite » peut toujours être construit de façon à bloquer orthogonalement en deux blocs Le premier bloc a nf points factoriels plus ncf points centraux Le second bloc a na= 2k points axiaux plus nca points centraux La première condition pour obtenir des blocs orthogonaux sera toujours respectée, indépendamment de la valeur de α

Propriété de rotativité La propriété de rotativité permet que la variance de la réponse prédite soit égale pour tout point x qui est à une même distance du centre du plan Ainsi, un plan d’expérience avec cette propriété gardera constante la variance lorsque le plan fait une rotation autour du centre (0, 0, …, 0) Cela permet d’obtenir une précision uniforme dans l’estimation de la variation dans toutes les directions du plan La rotativité dépend du choix de α : où nF est le nombre de points utilisés dans la portion du plan factoriel

Plans « central composite » (suite) Lorsque la région étudiée est une sphère, le meilleur choix pour α est : Pour obtenir une variance stable de la réponse dans une sphère, trois à cinq points centraux sont recommandés

Plans « face-centered central composite » Il existe plusieurs situations où la région d’intérêt n’est pas sphérique mais bien cubique Dans une telle situation, il est utile d’utiliser une variante du plan « central composite » appelée plan « face-centered central composite » où α = 1

Plans « central composite » vs de Box-Behnken Les plans « central composite » ont habituellement des points axiaux en dehors du cube Ces points peuvent ne pas être dans la région d’intérêt ou peuvent ne pas être des limites viables pour le processus Les plans de Box-Behnken n’ont pas de points axiaux De plus, les plans de Box-Behnken génèrent moins d’essais que les plans « central composite » pour le même nombre de facteurs étudiés

Plans de Box-Behnken

Plans de Box-Behnken Box et Behnken propose un plan à trois niveaux pour estimer la courbure Ils permettent d’estimer les effets des facteurs principaux, les interactions et les termes quadratiques, c’est-à-dire les coefficients du premier et du second ordre Les plans de Box-Behnken sont très utiles si la zone du procédé dans laquelle les conditions d’opération sont sécuritaires est connue Cette zone sécuritaire exclut souvent les coins d’un plan factoriel

Plans de Box-Behnken (suite) Ces plans sont réalistes en terme du nombre d’essais et ils ont la propriété de rotativité (ou presque) Il est possible de bloquer ou non avec les plans de Box-Behnken Les plans de Box-Behnken sont sphériques et tous les points sont situés sur la surface à rayon de 21/2

Plans de Box-Behnken (suite) L’illustration montre un plan à trois facteurs Les points représentent les essais Il est à noter qu’il n’y a pas d’essais faits aux conditions expérimentales représentées par les coins, ce qui peut être avantageux lorsque ces conditions correspondent aux limites de chaque facteur

Exemple Le procédé est de traiter des poteaux électriques aux créosote Les poteaux sont placés dans une chambre et la pression est augmentée La chambre est inondée de créosote chaud Les poteaux sont laissés dans la chambre jusqu’à ce qu’ils aient absorbés 12 livres de créosote par pied cube L’objectif est de déterminer les conditions d’opération (température du créosote, durée dans la chambre et pression) qui permettraient une absorption de créosote de 12 livres par pied cube le plus rapidement possible avec une variation minimale

Exemple (suite) Des expériences antérieures indiquent la présence de courbure sur la surface de réponse d’absorption du créosote La chambre peut supporter jusqu’à 220 psi de pression mais l’équipement ne peut dépasser 200 psi Le niveau actuel est de 175 psi Les niveaux de pression sont fixés entre 150 et 200 psi Les valeurs actuelles de température et de durée sont 210°F et 5 heures La température peut difficilement varier de plus de 10°F La durée est fixée entre 4 et 6 heures

Exemple (suite) Un plan de Box-Behnken est pratique lorsque vous ne pouvez effectuer les essais à tous les coins d’un plan factoriel Dans ce cas-ci, la chambre ne pourraient supporter simultanément les niveaux supérieurs de pression, température et de durée

Démarche Minitab Stat < DOE < Response Surface < Create Response Surface Design Type of Design Choisir Box-Behnken Number of factor Entrer 3 Designs Préciser le plan désiré

Démarche Minitab (suite) Stat < DOE < Response Surface < Create Response Surface Design Factors Établir les niveaux des facteurs

Démarche Minitab (suite) Stat < DOE < Response Surface < Create Response Surface Design Display Available Designs Ce tableau informe du nombre d’essais à effectuer dépendant du nombre de facteurs et si l’expérience doit être faite en incluant un facteur de blocage ou non 

Démarche Minitab (suite) En aucun temps, les conditions d’opération extrêmes se retrouvent toutes à la fois

Démarche Minitab (suite) Stat < DOE < Response Surface < Create Response Surface Design Results Fournit la table de la page suivante Permet de mieux visualiser l’ordre des essais

Minitab donne la table suivante résumant les essais Exemple (suite) ● A = 0 B = 0 C = 0 Minitab donne la table suivante résumant les essais

Exemple (suite) File < Open Worksheet < Box-Behnken.MTW

Exemple (suite) Stat < DOE < Response Surface < Analyze Response Surface Design

Minitab propose quelques modèles Exemple (suite) Minitab propose quelques modèles Les modèles linéaires doivent être essayés avant ceux qui décrivent des courbes de réponse

Exemple (suite) Test du Lack-of-Fit : p = 0,170 (p > 0,05) Il n’y a pas de courbure évidente Le modèle linéaire est adéquat Test de la régression : p = 0,000 Au moins un facteur a un impact significatif sur la variable réponse

Exemple (suite) Les trois facteurs ont tous un impact significatif Ils expliquent à eux seuls 83,8% de la variation dans la réponse Aucune interaction n’était significative Modèle retenu :

Exemple (suite) L’objectif de l’expérience est de déterminer les conditions d’opération qui mènent à une absorption de 12 livres par pied cube en un temps minimum et avec peu de variation Le « Response Optimizer » va permettre d’établir à quels niveaux il est possible d’obtenir ces 12 livres Cependant, il est de bonne pratique de valider par la suite les suggestions sur le terrain pour confirmer laquelle combinaison répond le mieux à ce qui est recherché

Exemple (suite) Stat < DOE < Response Surface < Contour/Surface Plots

Exemple (suite) Stat < DOE < Response Surface < Contour/Surface Plots

Exemple (suite) Stat < DOE < Response Surface < Response Optimizer < Setup

Exemple (suite) Combinaison suggérée par le « Response Optimizer » Il peut en exister d’autres, selon le lieu d’amorce de la recherche opérationnelle

Points à retenir L’optimisation dans un DOE est une approche séquentielle Les plans d’optimisation les plus utilisés sont les plans « central composite » et de Box-Behnken À la dernière étape du processus d’optimisation, les outils que propose Minitab pour déterminer l’optimum sont « Contour/Surface Plots » et « Response Optimizer »

Références « Design and Analysis of Experiments », 5e édition, par Douglas C. Montgomery

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