Formation Black Belt Lean Six Sigma Cartes de contrôle CUSUM et EWMA

Objectifs Comprendre l’utilité des cartes de contrôle cumulées Comprendre la différence entre les cartes I-MR et X-R versus CUSUM et EWMA Analyser les résultats des cartes CUSUM et EWMA à l’aide de MINITAB

Rôle principal des cartes de contrôle cumulées Détecter de faibles déviations de la moyenne du procédé Pour répondre à ce besoin, les cartes de contrôle conventionnelles I-MR et X-R sont beaucoup moins efficaces que les cartes de contrôle cumulées Contrairement aux cartes conventionnelles, les cartes cumulées tiennent compte conjointement de l’ensemble des données du passé et des données récentes pour détecter tout changement dans la moyenne du procédé, même les plus faibles

Cartes de contrôle cumulées Cartes de contrôle cumulées les plus utilisées : Carte CUSUM (Cumulative Sum) Tous les points ont un poids égal Carte EWMA (Exponentially Weighted Moving Average ou moyenne mobile à pondération exponentielle) Les données récentes ont davantage de poids que les données précédentes, selon un facteur de pondération

Carte de contrôle CUSUM

Carte de contrôle CUSUM Combine l’information de plusieurs échantillons Est plus efficace pour détecter des petits changements que la carte I-MR S’utilise surtout dans les domaines suivants : Contrôle en temps réel de la fabrication de pièces individuelles Contrôle en temps réel d’un réactif chimique à l’aide de mesures individuelles Inclus toute l’information de la séquence des échantillons sélectionnés en considérant la somme cumulative des déviations de chaque échantillon par rapport à la valeur cible

Carte de contrôle CUSUM (suite) Carte de contrôle CUSUM formé par des échantillons de taille n ≥ 1, de moyenne et avec une valeur cible du procédé égale à : Ci est appelée la somme cumulative après le ie échantillon

Types de cartes de contrôle CUSUM Il y a deux façons de représenter la somme cumulative : Par une carte CUSUM standard Par une carte CUSUM avec masque en V De ces deux représentations, la carte CUSUM standard est plus facile à consulter La carte CUSUM standard contient deux statistiques : Ci+ : représente les déviations positives par rapport à la valeur cible (ou la moyenne) Ci- : représente les déviations négatives par rapport à la valeur cible (ou la moyenne)

Carte CUSUM standard Lorsque l’une de ces deux statistiques sort de l’intervalle de décision H, alors le procédé devient hors contrôle Ci+ Ci-

Carte CUSUM standard (suite) Chaque observation sur la carte est obtenue à partir des identités suivantes : Ci+ = max [ 0, Xi - (0 + K) + Ci-1+ ] Ci- = max [ 0, (0 - K) - Xi + Ci-1- ] Où X est la mesure observée du procédé 0 est la valeur cible ou la moyenne du procédé lorsque stable K est un filtre utilisé pour limiter l’influence des faibles écarts C0+ = C0- = 0 sont les valeurs de départ

Carte CUSUM standard (suite) K est habituellement choisi entre la valeur cible μ0 et la moyenne μ1 d’un procédé hors contrôle qui doit être détecté rapidement Plus K est petit et plus vite seront détectés les petits changements Cependant, les grands changements prendront plus de temps à être détectés Plus H est petit et plus vite sera détecté un changement Cependant, le nombre de fausses alarmes sera plus élevé, c’est-à-dire que la carte notera un changement significatif alors que rien n’a réellement changé

Carte CUSUM standard (suite) Si la valeur de μ1 est définie par où alors, K est la moitié de l’ampleur du changement ou

Recommandations pour la carte CUSUM standard La carte de contrôle CUSUM standard est construite en choisissant les valeurs pour la valeur de référence K et l’intervalle de décision H : où σ est l’écart-type de l’échantillon utilisé pour former la carte CUSUM Habituellement, h = 4 avec k = ½ fonctionne bien Minitab utilise ces valeurs par défaut

Carte CUSUM avec données individuelles Options pour estimer l’écart-type : MR/d2 (moyenne des étendues mobiles de longueur 2) Médiane des étendues mobiles Écart-type historique

Exemple : Carte CUSUM standard Soit une usine d’assemblage automobile Dans le véhicule automobile assemblé, des sections du bloc cylindre (crankshaft) peuvent bouger verticalement par rapport à une position cible AtoBDist est la distance (en mm) de la position actuelle (A) qui correspond à un point sur le bloc cylindre à la position de référence (B) Du 28 septembre au 15 octobre, les mesures de 5 distances sont échantillonnées chaque jour Du 18 au 25 octobre, les mesures de 10 distances sont échantillonnées chaque jour

Exemple : Carte CUSUM standard (suite) File < Open Worksheet < CRANKSH.MTW En premier lieu, générer une carte X-R (sous-groupe = jour) Selon les tests standards de causes spéciales, le cinquième jour donne un signal d’état hors contrôle Pour vérifier si ce signal observé à l’échantillon 5 aurait pu être donné plus tôt, construire par la suite une carte CUSUM standard

Exemple : Carte X-R Stat < Control Charts < Variables Charts for Subgroups < Xbar-R Pour tests de causes spéciales

Exemple : Carte X-R (suite) Valider les tests de causes spéciales à utiliser

Exemple : Carte X-R (suite)

Exemple : Carte CUSUM standard (suite) Stat < Control Charts < Time-Weighted Charts < CUSUM

Exemple : Carte CUSUM standard (suite) Signal hors contrôle dès le 4e jour

Carte de contrôle EWMA (Exponentially Weighted Moving Average)

Carte EWMA Présente l’évolution d’un procédé Permets de détecter de petits changements plus rapidement que la carte X-R ou I-MR Utilise la moyenne mobile à pondération exponentielle Incorpore l’information liée aux observations de tous les sous-groupes précédents Permets de suivre et de prévoir l’évolution de la moyenne à l’intérieur des limites de contrôle afin de pouvoir réagir plus rapidement lorsque le procédé présente des comportements inhabituels Les points sur la carte peuvent avoir été calculés à partir des moyennes des sous-groupes ou d’observations individuelles

Carte EWMA avec sous-groupes Lorsque les points proviennent de sous-groupes : La moyenne de chaque sous-groupe est calculée Les moyennes mobiles à pondération exponentielle sont calculées à partir de ces moyennes Par défaut, un écart-type σ de l’ensemble des points en présence est estimé Cependant, il est aussi possible d’estimer l’écart-type en utilisant une valeur historique s, R ou s

Carte EWMA avec observations individuelles Lorsque les points proviennent d’observations individuelles : Les moyennes mobiles à pondération exponentielle sont calculées à partir de ces observations en considérant les observations consécutives deux par deux Par défaut, σ est estimé avec MR/d2 la moyenne de l’étendue mobile sur une constante Cependant, il est possible d’utiliser une valeur historique s

Carte EWMA (suite) Chaque observation zi de la carte Constitue une moyenne des observations précédentes Est calculée de la façon suivante où xi est la iè valeur observée du procédé λ est le poids donné à l’observation précédente z0 est la moyenne de toutes les observations xi La carte EWMA utilise un filtre sur les observations et n’est pas affectée par la non-normalité des observations pour 0 < λ < 1

Carte X-R versus carte EWMA

Limites de contrôle de la carte EWMA Les limites de contrôle sont définies de la façon suivante : Où μ0 = z0 = moyenne des observations x k est une constante liée à la largeur entre les limites de contrôle σ est estimé par Minitab et la valeur de l’estimateur dépend si les données forment des sous-groupes rationnels ou des observations individuelles

Limites de contrôle de la carte EWMA (suite) Plus petite est la valeur de λ et plus tôt sera détecté un changement, même moindre Cependant, les changements majeurs prendront plus de temps à se détecter En général, 0.05 ≤ λ ≤ 0.25 Par défaut, Minitab utilise λ = 0.2

Limites de contrôle de la carte EWMA (suite) Plus petite est la valeur k et plus rapidement un changement sera détecté, ce qui augmentera par la même occasion le risque de fausses alarmes En général, 2.5 ≤ k ≤ 3 2.5 ≤ k ≤ 2.6 si λ = 0.05 k = 3 si λ = 0.25 Par défaut, Minitab utilise λ = 0.2 et k = 3

Carte I-MR versus carte EWMA Ce point est hors contrôle dans la carte EWMA alors que la carte I-MR n’y a pas donné autant d’importance (sans utiliser les règles de Western Electric) La carte EWMA n’a pas réagi autant à ce changement

Considérations pratiques La carte X-MR accompagnée des tests de Western Electric est très sensible pour détecter des changements par rapport à la moyenne Cependant, chaque fois qu’un nouveau test est ajouté, le nombre de fausses alarmes augmente La carte EWMA ne génère pas autant de fausses alarmes, détecte rapidement de petits changements, mais réagit moins rapidement aux grands changements soudains Pour être sensible aux grands changements soudains sans sacrifier la capacité de détecter de petits changements : Utiliser simultanément la carte I-MR (ou X-R) et la carte EWMA

Points à retenir Les cartes de contrôle cumulées CUSUM et EWMA permettent de détecter des petits changements significatifs plus rapidement que les cartes I-MR et X-R Ces cartes permettent d’avoir un meilleur aperçu de l’évolution de la production et de réagir plus rapidement avant même qu’un problème survienne Ces cartes sont appropriées comme outil de suivi et de contrôle

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