Courbes Bsplines uniformes I Transition d’une courbe de Bézier vers une spline Soit une courbe composite dont les éléments sont n courbes de Bézier de degré 2 (donc des arcs de parabole), tels que les vecteurs dérivés en chacun de leurs points de jonction soient des vecteurs identiques. n=3

Mk décrit le morceau n°k de la courbe composite quand t décrit l’intervalle [0,1]. Le 1er arc de courbe est déterminé par les 3 points Q0, Q1, Q2, c’est un arc de parabole de Bézier dont les points de contrôle sont : P0 milieu de Q0Q1 P1 confondu avec Q1 P2 milieu de Q1Q2

Cette propriété est très importante Cette propriété est très importante. La courbe Bspline uniforme de degré 2 ne dépend donc pas du choix de l’origine O (propriété identique pour les courbes de Bézier). Généralisation : Soit un ensemble de n+m points Q0,Q1, ………, Qn+m-1 dits points de définition. La courbe Bspline de degré m est composée de n morceaux (Ck) (0k n-1). (Ck) est composée des points Mk(t) (t [0,1]) tels que :

Avec les trois conditions : 2) Pour 0k n-1, l’extrémité de l’arc (Ck) coïncide avec l’origine de l’arc (Ck+1). En ce point, les deux arcs présentent un raccord d’ordre (m-1) : Exemple pour m=2 3) Pour que la courbe ne dépende pas de l’origine choisie, on impose :

La condition (2) se traduit par : Exemple pour k=0 m=2 n=2 : Relation vraie  Q0, Q1, Q2, Q3 d’où :

Ce qui se généralise :

On rajoute une condition : Les courbes obtenues NE SONT PAS DES COURBES DE BEZIER (SAUF pour le DEGRE 2), on les appelle courbes Bsplines uniformes (uniformes car 0t 1 pour chaque morceau de courbe) Pour m=3, on obtient :

II Etude des fonctions Bsplines uniformes Précédemment, on avait : t paramètre local. 0t 1 pour chaque morceau de courbe Ck. Soit une courbe composée de n+1 morceaux Ck. On peut utiliser un paramètre u global qui varie : 0u1 pour le morceau C0 1u2 pour le morceau C1 …….. nun+1 pour le morceau Cn Pour m=2, on écrivait :

On décrira dorénavant la courbe comme suit : Exemple précédent : n+1=3 arcs => n=2 m=2 (m est le degré des polynômes) n+m+1=5 points Q0, Q1, Q2, Q3, Q4

D’où :

t 1 1/2 1/2 t 1 3/4 t 1 1/2

u 1/2 1 2 3 1 2 3 u 2 3 u 1

Par commodité, on fera un changement d’indice: 2 3 u 1 Par commodité, on fera un changement d’indice: 3/4 1/2 2 3 u 1 Précédemment :

On écrivait précédemment : On écrit à présent : Le point Pk vérifie : On écrivait précédemment :

Cette écriture devient : 1/2 1 2 3 3/4 u 1/2 1 2 3 3/4

u 1 2 3 1 u 1 2 3

On peut démontrer la formule générale suivante : On démontre également la formule de récurrence :

Exemple 1 : Soit une courbe Bspline uniforme de degré 3 définie par les points Q0, Q1, Q2, Q3, Q0, Q1, Q2 tels que : Combien d’arcs comprend cette courbe? Etudier et tracer ces arcs de courbe. On admet que la courbe est fermée.

Exemple 2 : Soit une courbe Bspline uniforme de degré 3 définie par les points Q0, Q0, Q1, Q2, Q2, Q3, Q4 Q4, Q5 tels que : Les points Q0, Q2, Q4 sont doubles Combien d’arcs comprend cette courbe? Etudier et tracer ces arcs de courbe. On admet que la courbe est fermée.