Algorithmes dans les groupes des tresses María Cumplido Cabello Séminaire Pampers (Univ. Rennes 1) Universidad de Sevilla Facultad de Matemáticas 22 Octobre.

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1 Algorithmes dans les groupes des tresses María Cumplido Cabello Séminaire Pampers (Univ. Rennes 1) Universidad de Sevilla Facultad de Matemáticas 22 Octobre 2015

2 María Cumplido Cabello Introduction Problèmes de décision En 1911 Max Dehn a identifié trois problèmes de décision en théorie combinatoire de groupes: Le problème d’isomorphisme consiste à déterminer si deux présentations finies définissent deux groupes isomorphes. Le problème du mot consiste à établir si deux mots différents écrits avec les mêmes générateurs d’un groupe G déterminent le même élément de G. Le problème de la conjugaison consiste à déterminer si deux éléments d’un groupe G sont conjuguées.

3 María Cumplido Cabello Introduction Tresses et mélanges Modèle théorique d’un mélange Construction du modèle en LEGO [M.D. Finn, J.-L. Thiffeault. Topological Optimisation of Rod-Stirring Devices]

4 María Cumplido Cabello Introduction Tresses et noeuds Deux tresses conjuguées donnent lieu au meme entrelacs

5 María Cumplido Cabello Introduction Tresses et cryptographie Cryptosystème basé sur le problème de la conjugaison:

6 María Cumplido Cabello Introduction Le groupe de tresses d’Artin Generateurs Multiplication Équivalence

7 María Cumplido Cabello Introduction Le groupe de tresses d’Artin Presentation d’Artin

8 María Cumplido Cabello Introduction Le groupe de tresses d’Artin La tresse fondamental

9 María Cumplido Cabello Problème du mot Algoritme Séparer en éléments simplesGlissements localsForme normale Proposition: La forme normale est unique. [ElRifai, E., Morton, H., Algorithms for positive braids]

10 María Cumplido Cabello Problème de la conjugaison Glissement cyclique La tresse est en forme normale Disposition cyclique Préfix préféré Glissement cyclique

11 María Cumplido Cabello Problème de la conjugaison Circuit glissant L’application iterée de glissements cycliques atteind une periode. Circuit glissant

12 María Cumplido Cabello Problema de la conjugación Ensemble de circuits glissants Circuit glissant SC(x) x et y sont conjugués si et seulment si SC(x)=SC(y)

13 Conjugateur minimal María Cumplido Cabello Problème de la conjugaisonGraphe des circuits glissants SCG(x) SCG(x) est connexe et fini. Le nombre de flèches qui partent d’un sommet est borné par le nombre des générateurs.

14 María Cumplido Cabello Problème de la conjugaison Calcule des arêtes de SCG(x) La transportée LEMME: Les flèches commencent à se répéter. LEMME: Les flèches commencent à se répéter. F(α) C’est fini! [Gebhardt, V, Gonzalez-Meneses, J., Solving the conjugacy problem in Garside groups by cyclic sliding]

15 María Cumplido Cabello Problème de la conjugaison Calcule des arêtes de SCG(x) F(α) peut être trivial!

16 María Cumplido Cabello Problème de la conjugaisonCalcule des arêtes de SCG(x) Le pullback F(α (iM) ) [Gebhardt, V, Gonzalez-Meneses, J., Solving the conjugacy problem in Garside groups by cyclic sliding]

17 María Cumplido Cabello Problème de la conjugaison Algoritme

18 María Cumplido Cabello Problème de la conjugaison Algoritme SC(x) x et y ne sont pas conjugués