 Musique sous contrainte Harmonisations de Pi pour guitare Chiffres de Pi transposés en base 7 3,06636514320361…. J.-S. Bach : musique baroque (1600-1750)

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1  Musique sous contrainte Harmonisations de Pi pour guitare Chiffres de Pi transposés en base 7 3,06636514320361…. J.-S. Bach : musique baroque (1600-1750) Contrainte externe « artisanat » Recherche d’une logique mathématique dans l’œuvre de Bach (B=2+A=1+C=3+h=8= 14, théorie de Friedrich Smend) J. Haydn (1732-1809) 47 ème symphonie « Palindrome » Igor Stravinsky ( 1882-1971) période néoclassique « le style, la contrainte, contribuent au développement [de la musique] et seulement empêchent la liberté de devenir dégénération, permission. » « plus l’art est contrôlé, limité, travaillé, plus il est libre » Créativité et contrainte Sciences et arts … Peinture Oupeinpo (1980) site http://tbastit.free.fr Tristan Bastit

2 … Créativité Emotion ? “L'art et la science sont distincts dans leur finalité, leur tempo, leurs critères. Mais mes activités scientifiques et artistiques se sont nourries l'une de l'autre. Le moteur de la science, comme celui de la création, est une forme d'émotion et de désir.” Jean-Claude Risset, Physicien et Compositeur « Quiconque met l’émotion avant la raison est artiste. » Michel Onfray, philosophe Inspiration ? Sciences et arts …

3 Srinivasa RAMANUJAN Mathématicien (1887-1920) « An equation for me has no meaning, unless it express a thought of God. » S.R. « un artiste des équations » « l’homme qui connaissait l’infini » G. HARDY "Je me souviens être allé le voir lorsqu'il était malade et alité à Putney. J'étais monté dans un taxi dont la plaque avait pour numéro 1729 et remarqua que ce nombre me semblait bien triste. J'espérai que cela n'annonça pas un mauvais présage... Non", répliqua Ramanujan, "c'est un nombre très intéressant, c'est le plus petit des entiers exprimables comme somme de deux cubes, de deux façons différentes" !! Je lui demandai si il savait quel était le suivant. Il réfléchit et me dit qu'il n'en voyait pas d'autre proche... En fait, le suivant est plusieurs milliers plus tard !! (4104) … Créativité … Sciences et arts … Intuition ?

4 … Créativité Intuition ? Van Gogh « Je vis une clarté effrayante au cours des moments où la nature est si belle. Je ne suis plus conscient de moi-même et les images arrivent comme dans un rêve. » « Les artistes ont quelque intérêt à ce qu'on croie à leurs intuitions subites, à leurs prétendues inspirations ; comme si l'idée de l'œuvre d'art, du poème, la pensée fondamentale d'une philosophie tombaient du ciel tel un rayon de la grâce. En vérité, l'imagination du bon artiste, ou penseur, ne cesse pas de produire, du bon, du médiocre et du mauvais, mais son jugement, extrêmement aiguisé et exercé, rejette, choisit, combine ; on voit ainsi aujourd'hui, par les Carnets de Beethoven, qu'il a composé ses plus magnifiques mélodies petit à petit, les tirant pour ainsi dire d'esquisses multiples. Quant à celui est moins sévère dans son choix et s'en remet volontiers à sa mémoire reproductrice, il pourra le cas échéant devenir un grand improvisateur ; mais c'est un bas niveau que celui de l'improvisation artistique au regard de l'idée choisie avec peine et sérieux pour une œuvre. Tous les grands hommes étaient de grands travailleurs, infatigables quand il s'agissait d'inventer, mais aussi de rejeter, de trier, de remanier, d'arranger. » Nietzsche. Humain, trop humain. Sciences et arts …

5 A. EINSTEIN (1879-1955) « Un dessin vaut mieux qu’un millier de mots. » H. POINCARE ( 1854-1912) « C’est par la logique que nous prouvons, c’est pas l’intuition que nous inventons. » « Pour faire de la géométrie […] quelque chose d’autre que de la logique pure est nécessaire. Pour décrire ce quelque chose, nous n’avons pas d’autre mot que ‘intuition’. » R. MIRO (1893-1983) « Je commence à peindre et, au fur et à mesure, le tableau commence à s’affirmer lui- même, ou à se suggérer, sous mon pinceau … La première étape est libre, inconsciente … la deuxième est soigneusement calculée. » P. PICASSO (1881-1973) « Un tableau ne sort pas tout pensé et établi à l’avance. Une idée est un point de départ et rien de plus. Ce à quoi je pense beaucoup, je m’aperçois que je l’avais toujours eu intégralement à l’esprit.» Introspection

6 … Créativité … Sciences et arts … P. PICASSO (Guernica, 1937) « Les tableaux ne sont que recherche et expérience. Je ne peins jamais un tableau en tant qu’œuvre d’art. Tous sont des recherches. Je cherche constamment et il y a une suite logique dans cette recherche. C’est pourquoi je les numérote.»

7 Les demoiselles d’Avignon, P. Picasso, huile sur toile (1907)

8 Etude pour Les Demoiselles d'Avignon Gouache, fusain et mine de plomb sur papier marouflé sur toile Étude pour Les Demoiselles d’Avignon : Buste de marin, printemps 1907, huile sur carton Étude pour Les Demoiselles d’Avignon : Nu féminin debout, hiver 1906-1907, aquarelle « Il devait y avoir aussi — d’après ma première idée — des hommes, vous avez d’ailleurs vu les dessins. Il y avait un étudiant qui tenait un crâne. Un marin aussi. Les femmes étaient en train de manger, d’où le panier de fruits qui est resté. Puis, ça a changé, et c’est devenu ce que c’est maintenant. » Picasso La création, une approche par essais et erreurs ?

9 « Le beau » vs. « le vrai » La vérité en science « Savoir, c’est une croyance qui suit la vérité à la trace. » R. Nozick, Philosophical explanations (1981) « vrai si … faux mais … ». J-M. Lévy-Leblond « L’art est un mensonge qui nous apprend la vérité. » Pablo Picasso Sciences et arts …

10 … Esthétique A propos du beau et de l’esthétique Etym. aisthanesthai, « sentir », « percevoir » Science de la connaissance sensible ( Baumgarten, 1958) Conception essentialiste : croyance en l'existence d'une beauté objective, d’une idée de la beauté, « vraie beauté » unique, universelle et intemporelle (émanation de la vérité) Platon Conception relativiste : la beauté est une norme sociale et culturelle Le plaisir esthétique » E. « Le beau est ce qui est représenté sans concepts comme l'objet d'une satisfaction universelle. » E. Kant Umberto Ecco (Histoire de la beauté, Flammarion, 2004) « Penser la beauté » « Être beau n’est rien d’autre que sembler beau » Plaisir, admiration : sentiment esthétique Critères ? La notion d’harmonie devient l’idée esthétique la plus importante dans les temps antiques. Diversité + unité 2 thèses opposées pour caractériser la beauté :  Expression de la raison sous une forme sensible : « art raisonnable », ex : l’art dit classique  Expression des passions et drames humains sous des formes métaphoriques et symboliques : « art passionnel «, ex : l’art dit romantique Sciences et arts …

11 Science et esthétique Valeur esthétique de la connaissance scientifique ? Quand une théorie présente des éléments qui frappent notre sensibilité. Beauté mathématique « Un mathématicien est un faiseur de motifs. Ces motifs (« patterns »), comme ceux du peintre ou du poète, doivent être beaux ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent convenir ensemble de façon harmonieuse. La beauté est la première mise à l’épreuve ; il n’y a pas de place durable en ce monde pour des mathématiques qui seraient laides. […]. Il est sans doute très difficile de définir la beauté mathématique, mais cela est vrai aussi de toute sorte de beauté : nous ne pouvons pas savoir du tout ce que nous entendons par un beau poème, ce qui n’empêche nullement sa reconnaissance dès que nous en lisons un. » Godfrey Harold Hardy, L’apologie d’un mathématicien, 1995. « Le savant n’étudie pas le monde parce que cela est utile ; il l’étudie parce qu’il y prend du plaisir, et il y prend du plaisir parce que c’est beau. » Henri Poincaré « Une doctrine qui parvient à réaliser une vaste synthèse produit sur le théoricien une impression de beauté et l’incline à croire qu’elle renferme une grande part de vérité. » Louis de Broglie, physicien (1892-1987)

12 Science et esthétique Parcimonie Rasoir d’Ockam (ou Occam) : principe d’économie en logique « la pluralité ne devrait pas être posée sans nécessité » […] « il est inutile de faire avec plus ce qui peut être fait avec moins » Principe de parcimonie ou canon de Morgan (1894) « In no case may we interpret an action as the outcome of the exercise of a higher psychical faculty, if it can be interpreted as the outcome of the exercise of one which stands lower in the psychological scale » « Il n’est pas nécessaire de faire appel à des structures psychologiques d’ordre supérieur (de type volonté ou pensée) quand des systèmes explicatifs plus simples (réflexes par exemple) peuvent rendre compte de façon adéquate d’un comportement donné. » Lloyd Morgan, zoologue, ( 1852-1936 ) « Une doctrine qui parvient à réaliser une vaste synthèse produit sur le théoricien une impression de beauté et l’incline à croire qu’elle renferme une grande part de vérité. » Louis de Broglie, physicien (1892-1987) Qu’en dit la neurobiologie ? « En effet, deux traits, selon nous, signent, parmi d’autres, le caractère esthétique d’un percept et son “efficacité” : d’une part l’ harmonie ou consensus partium et d’autre part la parcimonie. J-P. Changeux Harmonie : cohérence des parties au tout.

13 Science et esthétique Symétrie … Etym. « avec » + « mesure » - 1 er sens jusqu’au 18 ème siècle : proportions harmonieuses : (l’expression supérieure de l’idée d’équilibre est la symétrie. En esthétique antique, cette notion de symétrie remplace parfois celle d’harmonie ou est son équivalent) - Exemple : esthétique de la couleur dans l’Antiquité - -> le beau : « l’accord et la proportion des parties entre elles et avec le « tout » (Plotin, 205-270) - 2 ème sens : « Symétrie veut dire aujourd’hui, dans le langage des architectes, non pas une pondération, un rapport harmonieux des parties d’un tout, mais une similitude des parties opposées, la reproduction exacte, à gauche d’un axe, de ce qui est à droite. » Viollet-le-Duc, architecte (1814-1879) Sélection des formes en limitant leur type et leur nombre Hermann Weyl, mathématicien, Symétrie et mathématique moderne, Flammarion (1964) … ou brisure de symétrie ?

14 Science et esthétique Symétrie … Art classique Toile de MC. Escher, Deux poissons Arabesques – Art arabo-musulman

15 Science et esthétique Le nombre d’or … φ = 1,6180339 (1+√5/2) De divina proportione « la divine proportion » (1498) Fra Luca Pacioli, moine franciscain et mathématicien Jicopo de Barbari a+b/a=a+b

16 Suite de Fibonacci 0 1 2 3 5 88 13 21 34 55 89 144 233 … Utilisation du nombre d’or Le Parthénon (Athènes)DC/DE = Phi. et GF/GI = Phi

17 Utilisation du nombre d’or L'Annonciation, Léonard de Vinci, 1470-73, musée des Offices, Florence, détrempe et huile sur bois 98x217 cm

18 Critiques.. Marguerite Neveux, historienne de l’art, Nombre d'or - radiographie d'un mythe 0.618 ≈ 5/8 = 0.625 ; utilisation des huitièmes Le Corbusier, architecte (1887-1965) : utilisation intentionnelle Modulor, système de mesure basé sur les proportions du corps humain

19 1974 - Benoît Mandelbrot décrit mathématiquement ces formes et les baptise « fractals ». Etym. fractus, brisé Les objets fractals ont la particularité d’avoir une structure de forme qui possède une relative similarité quel qu’en soit le détail regardé et cela à l’infini (invariance d’échelle, autosimilarité). Fougère de Barnsley (1988) Science et esthétique

20  Fractales : la courbe du dragon

21 Science et esthétique Les fractales Exemples : Courbe de Von Koch (1904) : flocon de neige de Von Koch Construction : triangle équilatéral auquel on ajoute sur le tiers central de chaque face deux segments équilatéraux.

22 Classification : ( Images sur fractales.free.fr) Fractales aléatoires Tapis de Sierpinski (1916) Ordre 1ordre 2ordre 3 ordre 4 Fractale de Mandelbrot

23 Science et esthétique Appropriation par l’art : art fractal « Homo fractalus, Carlos Ginzburg « Canopée grands signes », Aquarelle Jean-Paul Agosti (2002) – Groupe « Art et complexité »

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25 « Mandelbrottrender » – Images Terragen - Alexis Monnerot-Dumaine

26 « Mandelbrotmars » – Images Terragen - Alexis Monnerot-Dumaine

27 « Mandelflames » – Images Terragen - Alexis Monnerot-Dumaine

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29 Sylvie Gallet, animations fractales

30 La perception du beau Sciences et arts … Photographies de Robert Magnan - Féerie des Bois (Editions du Mont Blanc 1966) www.peiresc.org - rubrique « L’origine des formes »

31 Illusion de Gregory « la vue s’est surtout développée dans le but de découvrir des objets et de faire échouer le camouflage. » Vilayanur Ramachandran neuropsychologue

32 La perception du beau Biologie de l’esthétique Forme et perception des formes Sciences et arts …

33 La perception du beau Biologie de l’esthétique Sciences et arts …

34 La perception du beau Biologie de l’esthétique Des études psychobiologiques mettent en évidence des critères communs à tous pour déterminer ce qui rend un visage attirant : certains de ses traits, ainsi que sa symétrie et son caractère moyen. Travaux de différences interindividuelles et interculturelles minimes et large consensus quels que soient le milieu social, la culture, le sexe et l'âge sur l'attirance « relative » des visages Sciences et arts …  Critères de l’attractivité ? symétrie et caractère « moyen »

35 La perception du beau Biologie de l’esthétique Les huit lois de l’expérience artistique ( V.S. Ramachandran, 1999 ) 1 En vertu du «glissement à l’extrême», les éléments exagérés attirent l’œil. 2 Isoler une seule piste visuelle aide à concentrer son attention. 3 Le regroupement des perceptions détache les objets d’un fond. 4 Le contraste renforce. 5 La solution de problèmes visuels renforce aussi. 6 Les vues imprenables sont suspectes. 7 Les métaphores ou «jeux» visuels rehaussent l’art. 8La symétrie plaît. Sciences et arts … Un exemple de «glissement à l’extrême»: la déesse indienne Parvathi (XIe siècle).

36 Et chez l’animal ? Le sentiment esthétique existe-t-il dans la nature, en dehors de l’espèce humaine ? Oiseaux : catégorisation chez les pigeons  Critères de l’attractivité ? sens de la symétrie Travaux de Randy Thornhill Préférence des femelles pour les mâles Lépidoptères : succès reproducteur Travaux de Anders Pape Moller chez l’Etourneau et l’Hirondelle la beauté, gage de qualité biologique ? Mouche-scorpion Panorpa communis Légionnaire uniponctuée Pseudaletia unipuncta

37 … Esthétique La mesure mathématique de la beauté Complexité et art Mouvement minimaliste, années 1960 Kasimir Malevitch, (1878-1935), peintre russe, pionnier de l'art abstrait «créer un monde sans objet au-delà du zéro des formes » Sciences et arts … Carré noir sur fond blanc, 1915

38 La mesure mathématique de la beauté Complexité et art L’art optique Blue-red - 3 lignes bleues réunissant les lettres BL-LU-UE et 2 lignes rouges réunissant les lettres RE-ED (1982), sérigraphie « Pi piquant de façade » pour le Musée d’Angers, 2006. Quinze tubes d’argon. François Morellet, (1926-), peintre graveur sculpteur Indices de mesure : _ complexité de Kolmogorov : taille du plus petit programme d’ordinateur qui spécifie complètement un objet donné _ rapport de Birkhoff (1933) : O/C, O = quantité d’ordre, C = complexité _ profondeur logique de Bennett (1988) : temps de calcul du programme le plus court produisant un objet donné