Analyse en Composantes Principales Vue synoptique.

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1 Analyse en Composantes Principales Vue synoptique

2 X Y Z = (X - m x )/ s x R L.R.L’ = Q L F F.F’ = R F R = 1/n-1.(Z’.Z) F’.F = lambda F = L -1 lambda Z.C = Y F.lambda 0,5 = C C X Z R L F F lambda Y Z

3 Les lignes contiennent les individus. Ici, 39 villes belges. Les colonnes contiennent des variables quantitatives qui, dans cet exemple, caractérisent les villes belges au point de vue de l’immobilier. X retour au schéma

4 Z = (X - m x )/ s x centralisation-réduction (pour éviter qu’une variable dont les valeurs sont grandes ne prenne trop d’importance)

5 Z retour au schéma

6 R = 1/n-1.(Z’.Z) retour au schéma matrice de corrélation (ou de covariance si on ne travaille pas avec les données réduites)

7 L.R.L’ = Q retour au schéma matrice de diagonalisation (une étape qu’on ne réalise pas à la main. La matrice L est fournie par des logiciels spécifiques) L

8 F = L -1 retour au schéma matrice des vecteurs propres

9 F = L -1 retour au schéma La variance de chaque colonne (composante principale) est la valeur propre de cette colonne (en rose). Comme la variance totale vaut 19, soit le nombre de variables réduites (voir Z), la première composante principale représente 51,94 % (9,8677 / 19) de la variabilité totale. matrice des vecteurs propres

10 F retour au schéma Cercle des corrélations Représentation graphique des points variables (vecteurs propres). -0,380 0,175

11 F retour au schéma Le carré de chaque valeur de F représente la part de la variabilité d’une variable exprimée dans l’axe de la composante étudiée. Ici, 33,3 % de la variabilité de la variable N_habitation est représentée dans la CP1 1 et 0,2 % dans la CP 2. Soit 33,5 % dans le plan formé par ces deux axes.

12 C = F.lambda 0,5 retour au schéma matrice orthogonale de rotation des axes

13 lambda = F’.F retour au schéma valeurs propres La première composante principale – le premier axe – représente 51,94 % (9,8677 / 19) de la variabilité exprimée par les 19 variables. La seconde composante principale – le second axe – représente 15,17 % (2,8818 / 19) de la variabilité exprimée par les 19 variables.

14 Y = Z.C retour au schéma coordonnées des objets après rotation

15 Y retour au schéma -12,84 -6,23 -4,48 3,13