Francis Lowenthal Place du Parc 18 étage -1 B-7000 Mons Tél : 065/37.31.27

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2 Francis Lowenthal Place du Parc 18 étage -1 B-7000 Mons Tél : 065/37.31.27 http://scoglab.umons.ac.be/ e-mail : Francis.Lowenthal@umons.ac.be

3 Algorithmes de calcul écrit simplifiés et raisonnés

4 Algorithme Succession de manœuvres à accomplir toujours dans le même ordre et de la même façon en nombre fini avec nombre fini de données

5 Algorithme Frédérique PAPY-LENGER Robert DIESCHBOURG Grégory LOPARCO Grégory BONNY

6 Système de numération de position Un même symbole (chiffre) a une valeur différente selon la place (rang) qu’il occupe 1221 10 unités d’un rang = 1 unité du rang immédiatement supérieur En base 10

7 Egypte - 3 ème millénaire: Egypte - Notation en base 10 de type additif 537 (de droite à gauche)

8 - 600 av notre ère : premier système - Basé sur alphabet phénicien - Symboles : premières lettres de mots (5, 10, puissance de 10) - IVème siècle : nouveau système basé sur alphabet grec Grèce - Système décimal et additif α = 1 ; β = 2 ; γ = 3 ; δ = 4 ; ε = 5 ; ι = 10 ; κ = 20 ; λ = 30 ; ς = 100, etc.

9 Grèce ς κ δ = 124

10 -500 : système de numération additif Rome -Rapidement : simplifications d'écriture -Problèmes pour additionner

11 Systèmes de numération dans différentes civilisations

12 Inde IVème ou Vème siècle : chiffres de 1 à 9 Numération de position incomplète Au Vème siècle : un zéro "marque place" 62 = soixante deux ou six cent deux ????

13 Inde 876 : chiffre 0 (manuscrit de Gwalior) Numération de position complète Opposition de l'église médiévale : commerçants dangereux (intérêts) IX ème siècle : Bagdad puis le reste du monde

14 Entre 400 et 900 : Maya avec numération de position Vers 800 (300 ?) : Indiens et numération de position - 200 : Babylone, mais pas de numération de position Inventeurs du 0

15 Chiffres et nombres mayas

16

17 13.495

18

19 UDCM =

20 UDCM =

21 UDCM =

22 UDCM =

23 UDCM =

24 Abaque Tous les pions de la même taille UD = 13

25 Abaque Tous les pions de la même taille = 13

26 Progression méthodologique ? DU + U sans report DU + U avec report DU + DU sans report DU + DU avec 1 report DU + DU avec 2 reports

27 Progression méthodologique ? Additions sans report (nombres aussi grands que l’on veut) Additions avec 1 report (n’importe où) Additions avec 2 reports (pas en cascade) Additions avec 2 reports (en cascade)

28 Distributivité de x sur + a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 2 x (246) = 2 x (200 + 40 + 6) = (2 x 200) + (2 x 40) + (2 x 6) 7462 x (246) = 7462 x (200 + 40 + 6) = (7462 x 200) + (7462 x 40) + (7462 x 6)

29 Distributivité de x sur + 7462 x 246 44772 298480 + 1492400 = 1835652 x 246 x 6 x 40 x 200 +

30 236 472 944 2360 4212 236 17x x 1 x 2 x 4 x 10 2 2 1  200 + 20 + 10 + 4 + 2  400 + 40 + 20 + 8 + 4  800 + 80 + 40 + 16 + 8 Sans les tables de multiplication

31 149 298 596 59600 149 439x x 2 x 4 65411 2 3 1 1192 1490 2980 x 1 x 8 x 10 1 x 20 x 400

32 432,092 ******** = 432092 ******** = X 1000 v X 100 v, : 100 000 v X 27,16 X 2716

33 Estimation 10 caisses450 pommes 100 caisses4500 pommes 50 caisses2250 pommes 2887 pommes45 pommes par caisse Combien de caisses ?

34 2887 pommes45 pommes par caisse Combien de caisses ? 450 900 1350 1800 2250 2700 0 + 450 + 45 (10 caisses) (1 caisse) 2880 2835 2790 2745

35 - 180 7 + 4 caisses 2887 - 2700 187 45 60 caisses 64 caisses 450 900 2880 1350 2835 1800 2790 2250 2745 2700 0 + 450 + 45 (10 caisses) (1 caisse)

36 452887 - 180040 1087 - 900 20 187 - 180 7 4 64 1x45 = 45 2x45 = 90 4x45 = 180 8x45 = 360 10x45 = 450 20x45 = 900

37 452887 - 225050 637 1x45 = 45 2x45 = 90 4x45 = 180 8x45 = 360

38 3462 - 300100 162 - 150 50 12 - 12 0 4 154

39 SOUSTRACTION a) Compensation 90 € = 100€ - 10€ ou 110€ - 20€ 509 737 - 228 17 3 737 - 228 = (737 + 10) – (228 + 10) 238 (K. FUSON – G. VERNAUD)

40 SOUSTRACTION b) Emprunt 509 737 - 228 17 2 SUR ABAQUE

41 Luc :5

42 Nicole : 5 3

43 Luc : Nicole : 5 3

44 Luc : Nicole : 5 3 5 + 3 = 2

45 5 + 0 =5 + 3 = 0 + 7 =5 + 3 = 5 + 5 =

46 Luc : Nicole : 587 265

47 André à 7 billes Il en perd 2 Combien lui en reste-t-il ? Nicole : 2 Luc : 7 Qui gagne ? De combien ? 7 – 2 = 7 + 2 7 – 2 = 57 + 2 = 5

48 LucNicoleAhmedBéatrice 2406 4 < 0 < 2 < 6 6 > 2 > 0 > 4

49 737 228-

50 737 228 511

51 737 228 501 10

52 737 228 509

53 753 288-

54 753 288 535

55 753 288 435 10

56 753 288 475

57 753 288 465 10

58 753 288 465

59 737 228-

60 737 228 511 -

61 737 228 501 10 -

62 737 228 509 -

63 753 288-

64 1=?

65 1=? 1=+1

66 1=? 1=+1 1 4?

67 1=? 1=+1 1 1 1 + ou 4?

68 1=? 1=+1 1 1 1 + 45

69 1=? 1=+1 1 1 1 + 45 donc1 =+1

70 Estimation Exemple 27,16 x 432,092 Calcul Vérification estimation Remarque : pas fiable à 100 % Estimation 30 x 400 ~

71 187 – 21 = 166166 + 21 = 187 Opération inverse vérification 387 : 3 = 129129 x 3 = 387 vérification 129 x 3 + 1 = 388 vérification 388 : 3 = 129 (reste 1) Remarques : fiable à 100 % Peu pratique pour addition et multiplication

72 Théorème :Si P = P 1 x P 2 Preuve par 9 pour multiplication écrite Alors r = r 1 x r 2 r 1 = reste de la division de P 1 par 9 r 2 = reste de la division de P 2 par 9 r = reste de la division de P par 9

73 286 x 13 = 3718 P 1 x P 2 = P Remarque : pas fiable à 100 % 3781 4618 46018 7 4 11 r1r1 r 1.r 2 r r2r2 Preuve par 9 pour multiplication

74 Preuves par 9 pour d’autres opérations Addition : Théorème : Si S = S 1 + S 2 avecr 1 = reste de la division de S 1 par 9 r 2 = reste de la division de S 2 par 9 r = reste de la division de S par 9 Alorsr = r 1 + r 2

75 Preuves par 9 pour d’autres opérations Addition : Exemple : Remarque : Il existe des théorèmes analogues pour soustraction et division 9227 + 1203 = 10430  r 1 = 2  r 2 = 6  r = 8= r 1 + r 2

76 Preuves par 9 pour d’autres opérations Division : Théorème : Si D = d.q + reste Alorsr = r 1.r 2 + r’ avecr 1 = reste de la division du diviseur par 9 r 2 = reste de la division du quotient par 9 r ’ = reste de la division du reste par 9 r = reste de la division du dividende par 9

77 2387 45 53 2 D d q reste rdrd r d.r q + r’rDrD rqrq 0 0.8 + 22 8 Preuve par 9 pour division

78 Preuve par nombre quelconque 286 x 13 = 3718 r1r1 r 1.r 2 r r2r2 Exemple : Preuve par 2 P 1 x P 2 = P 0 00 1

79 Pourquoi une preuve par 9 ? - critère de divisibilité simple - nombre élevé de restes possibles (9)

80 3000 200 10 2 1 000 100 10 2 = 999 + 1 = 99 + 1 = 9 + 1 = 2 3 2 1 2 3212 = mult de 9 + 8 Reste de la division d’un nombre par 9 Décomposons 3212 : Soit à trouver le reste de la division de 3212 par 9

81 Personnes de référence pour cette partie Michèle Meunier et Christiane Vandeputte Tél : 065/37.31.27 Pour un éventuel suivi ou pour des éclaircissements :

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