La place du calcul mental et du calcul réfléchi dans la résolution de problème. Qu’est-ce que chercher?

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1 La place du calcul mental et du calcul réfléchi dans la résolution de problème. Qu’est-ce que chercher?

2 Repenser les objectifs de l’enseignement du calcul Trois moyens de calcul aujourd’hui: –le calcul mental –le calcul instrumenté –le calcul écrit Le calcul mental peut être: –automatisé –réfléchi Le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière.

3 Document d’accompagnement des programmes au cycle 2 résultats mémorisés, procédures automatisés Connaître ou reconstruire très rapidement les résultats des tables d’addition (de 1à 9) et les utiliser pour calculer une somme, une différence, un complément ou décomposer un nombre sous forme de somme. Trouver rapidement le complément d’un nombre à la dizaine immédiatement supérieure.

4 Document d’accompagnement des programmes au cycle 2 résultats mémorisés, procédures automatisés Connaître et utiliser les tables de multiplication par 2 et par 5. Savoir multiplier par 10 Calculer des sommes en ligne ou par addition posée en colonne

5 Document d’accompagnement des programmes au cycle 2 calcul réfléchi Organiser et traiter, mentalement ou avec l’aide de l’écrit, des calculs additifs, soustractifs, multiplicatifs en s’appuyant sur des résultats mémorisés et en utilisant de façon implicite les propriétés des nombres et des opérations.

6 8 X 6 10+10+(7+3)+10= 30 + 10 = 40 27 + 13 8+8+8+8+8+8 ou 6+6+6+6+6+6+6+6 ou 8 X 5 +8 43 X 6 43+43+43+43+43+43 ou 2 x 43 + 2 x 43 + 2 x 43 ou 4 dizaines et 3 unités par 6

7 253 – 50 – 30 – 7 ou 253 – 3 – 4 - 40 – 40 ou le complément de 87 à 253 253 - 87

8 Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 résultats mémorisés, procédures automatisées Pour résoudre des problèmes Connaître les tables d’addition de 1 à 9, de multiplication de 2 à 9, les utiliser pour calculer a+b, a - b, a+.=b, Exemple 7 X 8=56 une connaissance instantanée du résultat permet de déduire  7 X 8 =.., 7 X. = 56,. X. = 56  58 n’est ni un multiple de 7, ni un multiple de 8,  mais que 7 X 8 < 58 < 8 X 8 (situé entre)  Combien y a-t-il de fois 8 dans 58?  Mise en évidence des nombres tels que 7X7=49; 8X8=64...

9 Pour permettre le développement de stratégies de calcul mental réfléchi: additionner ou soustraire mentalement des dizaines entières (nombre < 100), des centaines entières (nombre < 1000). connaître le complément à la dizaine supérieure pour tout nombre inférieur à 100. connaître le complément à l’entier immédiatement supérieur pour tout décimal ayant un chiffre après la virgule. multiplier ou diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000. Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 résultats mémorisés, procédures automatisées

10 Purement mental ou s’appuyant sur des traces écrites Organiser et effectuer –mentalement ou avec l’aide de l’écrit –sur des nombres entiers un calcul additif, soustractif, multiplicatif –s’appuyant sur des résultats mémorisés –en utilisant de façon implicite les propriétés des nombres et des opérations Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 Calcul réfléchi

11 15 X 19=300-15=285 car 15X19=(15X20)-15 15 X 19=19 X 15= 190 + 95 car 19X15 c’est 19X10 et 19X5 (qui est égal à la moitié de 19X10) 15 X 11= 15 X 11=165 car 15 X 11=(15 X10) + 15 15 X 19=

12 Correction une suite d’égalités 15 X10=150; 150+15=165 Arbre à calcul Écriture avec parenthèses 15X11=(15X10)+15=150+15=165 Des écritures erronées du type 15X11=15X10=150+15=165

13 Purement mental ou s’appuyant sur des traces écrites Organiser et effectuer –mentalement ou avec l’aide de l’écrit –sur des nombres entiers un calcul de division –s’appuyant sur des résultats mémorisés –en utilisant de façon implicite les propriétés des nombres et des opérations Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 Calcul réfléchi

14 Donc le quotient est 8 et le reste 7. Cas d’une division exacte 65 : 5 = (50 : 5) + (15: 5)= 13 Calcul du quotient entier et du reste 127 par 15 Atteindre 127 par des multiples de 15, 2 fois 15, c’est 30, 4 fois 15 c’est 60, 8 fois 15 c’est 120

15 Mentalement ou en s’appuyant sur des traces écrites Organiser et effectuer des calculs du type 1,5 + 0,5 ; 2,8 + 0,2 ; 1,5 X 2 ; 0,5 X 3 en –s’appuyant sur des résultats mémorisés –en utilisant de façon implicite les propriétés des nombres et des opérations Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 Calcul réfléchi

16 Mentalement ou en s’appuyant sur des traces écrites Évaluer l’ordre de grandeur d’un résultat en utilisant un calcul approché Évaluer le nombre de chiffres d’un quotient entier Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 Calcul réfléchi

17 Mentalement ou en s’appuyant sur des traces écrites Développer des moyens de contrôle des calculs instrumentés: –chiffre des unités –nombre de chiffres (en particulier pour un quotient) –calcul approché Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 Calcul réfléchi

18 Purement mentalement ou en s’appuyant sur des traces écrites Savoir trouver le résultat numérique d’un problème à données simples. Document d’accompagnement des programmes au cycle 3 Calcul réfléchi

19 Références au calcul mental dans les programmes et dans le document d’accompagnement. Cycle 2Cycle 3 Programme 2002 : Objectifs et contenus §2 : Connaissance des nombres entiers naturels §3 : Calcul Introduction du programme de mathématiques du cycle 3 §4 : Calcul Programme 2002 : Compétences §3.1 : Calcul automatisé §3.2 : Calcul réfléchi §4.1 : Résultats mémorisés, procédures automatisés §4.2 : Calcul réfléchi Document d’accompagnement Introduction : La question du calcul aujourd’hui (p6) Exploitation de données numériques (p15 à 17) Calcul (p21 à 23)Calcul (p25 à 28)

20 3 classes de 25 élèves chacune 2 de 24 5 accompagnements (25X3)+(24X2)+5=128