Phm Obs Lyon 2015-16 Construction et simulation avec Geogebra.

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1 phm Obs Lyon 2015-16 Construction et simulation avec Geogebra

2 2015/09/07 Les lunes du petit martien2  Introduction Un martien (petit homme vert ?) voit dans son ciel deux lunes aux comportements singuliers. Celles-ci prénommée par les terriens N’ont été découvertes qu’en 1877, avec difficulté à cause de leur petitesse et leur proximité à Mars par Asaph Hall (1829-1907). Phobos (en grec : Φό ϐ ος / Phóbos, la Peur) Déimos (Δε μος / Deĩmos, la Terreur), - les deux jumeaux que le dieu Arès (Mars dans la mythologie romaine) eut de la déesse Aphrodite. Phobos Deimoset

3 2015/09/07 Les lunes du petit martien3  Avec les éléments de leurs orbites et leurs paramètres physiques, mesurés de la Terre et avec les sondes spatiales, Lors des oppositions de Mars, leurs magnitudes sont estimées à 11.3 pour Phobos et à 12.4 pour Déimos. Les données d’observation, se trouvent en Annexe page 11 du documents PDF et sont contenues dans le fichier Geogebra de départ Introduction (suite) satmars0.ggb nous allons essayer de reconstituer et comprendre ce que voit notre martien.

4 2015/09/07 Les lunes du petit martien4 Le dur travail sous Geogebra  Dans notre découverte des satellites, nous allons calculer et construire : Partie I Angles de vision des satellites vus de Mars Possibilités d’éclipses de Soleil (occultations) totales ou non Grandeurs angulaires de Mars vu de Phobos et Déimos Magnitudes de Phobos et Déimos vus de Mars Partie II Le système Soleil - Terre - Mars Les satellites sur leurs orbites La position de l’observateur martien La direction du Soleil, le jour et calendrier martien Le cône d’ombre de Mars Levers, couchers, passage au méridien, éclipses Visibilité et phases des satellites Visualisation simplifiée dans la fenêtre. Graphique 2

5 2015/09/07 Les lunes du petit martien5  Simplifications dans la simulation L’orbite de Mars et son plan équatorial sont confondus avec le plan de l’écliptique. Notre martien sera placé sur l’équateur de Mars et nous supposerons que les satellites et circulent aussi dans le plan de l’équateur de Mars. Toutes les orbites sont circulaires. Dans Geogebra, le plan de la fenêtre sera le plan de l’écliptique contenant ainsi toutes les orbites et le plan équatorial de Mars. Unités de distances Dans le système solaire, l’unité de distance la plus adaptée est l’unité astronomique (150 000 000 km) distance moyenne Terre-Soleil. Les demi-grands axes des orbites des satellites, plus petits, de l’ordre de la dimension de la Terre, sont exprimés en km comme leurs rayons, ainsi que celui de Mars. Pour la visibilité, l’unité de tracé utilisée dans la fenêtre graphique de Geogebra est le rayon équatorial de Mars. Bien faire attention aux conversions d’unités à partir des données fournies dans le fichier de départ lors des constructions sous Geogebra. satmars0.ggb Phobos Déimos xOyGraphique 1

6 2015/09/07 Les lunes du petit martien6  Lancer Geogebra (2D ou 3D) et ouvrir le fichier. Dans le document les mots en et sont des objets de Geogebra existants ou à construire. Les cases vides des tableaux sont à remplir à partir des calculs faits dans la simulation. En route, et au travail ! police Arialgras satmars0.ggb

7 2015/09/07 Les lunes du petit martien7  Partie I Angles de vision des satellites de Mars Possibilités d’éclipses totales Grandeurs angulaires de Mars vu de Phobos et Déimos Magnitudes de Phobos et Déimos vus de Mars

8 2015/09/07 Les lunes du petit martien8 1 - Angles de vision des satellites  L’angle maximal de vision est celui sous lequel on voit le satellite sous sa plus grande dimension lorsqu’il est à la verticale du lieu d’observation : Calculer sous quel angle maximum l’observateur martien voit les satellites et. dimension maximale du satellite tan α = —————————————— demi-grand axe – rayon Mars A comparer avec le diamètre lunaire vu de la Terre. Plus rigoureusement il faut prendre le double de l’angle sous lequel on voit la demi-dimension. Mais les angles étant petits, l’approximation est amplement justifiée. Phobos Déimos

9 2015/09/07 Les lunes du petit martien9 1 - Angles de vision des satellites  Calculer sous quel angle maximum l’observateur martien voit les satellites Phobos et Déimos. Remarque : la fonction donnant un angle exprimé en radians, la multiplication par 180/pi transforme le résultat en degrés et la multiplication par 60 le convertit en minutes d’arc. Phobosα_1 = atan( Max[d_1] / (a_1– R_M) ) * 180/pi * 60 ? Déimosα_2 = atan( Max[d_2] / (a_2 – R_M) ) * 180/pi * 60 ? Sat.Objet geogebra Angle ( ' ) A comparer avec celui du diamètre lunaire vu de la Terre. atan SAUVEGARDER cette première partie avec un nouveau nom de fichier personnalisé.

10 2015/09/07 Les lunes du petit martien10 1 - Angles de vision des satellites  A comparer avec celui du diamètre lunaire vu de la Terre.

11 2015/09/07 Les lunes du petit martien11 2 – Possibilités d’éclipses totales  Réfléchissons ! (avec la figure) Pour une éclipse totale à la surface de Mars, On assimile le satellite à une sphère de diamètre de sa plus petite dimension. la distance du satellite au sommet du cône d’ombre engendré par le Soleil et le satellite, doit être plus grande que la distance du satellite à la surface de Mars. SI I

12 2015/09/07 Les lunes du petit martien12 2 – Possibilités d’éclipses totales  La distance doit être plus grande que, SI R S SI — = — = —– HI R H HS R S SI = a M —— R H Calcul de en raisonnant avec Thalès en estimant que est très peu différent de : V V SISV étant la position de notre martien (petit homme Vert ?). HISI HS

13 2015/09/07 Les lunes du petit martien13 2 – Possibilités d’éclipses totales  Avec Geogebra, en utilisant les bonnes unités : PhobosSI_1 = Min[ d_1 ] / R_H * a_M * ua DéimosSI_2 = Min[ d_2 ] / R_H * a_M * ua Sat. Objet geogebra Dist. Sat.-sommet du cône V

14 2015/09/07 Les lunes du petit martien14  Phobosh_1 = a_1 – R_M Déimosh_2 = a_2 – R_M Sat. Objet geogebra Dist. Au zénith 2 – Possibilités d’éclipses totales Ce problème peut être résolu de façon géométrique avec Geogebra. et sont à comparer aux distances du martien aux satellites passant au zénith : SI_1SI_2h_i (i=1,2) Trouver de même les distances géométriquement avec Geogebra en traçant les tangentes et leurs intersections. SI

15 2015/09/07 Les lunes du petit martien15  2 – Possibilités d’éclipses totales Solution géométrique : Cercle soleil : Cercle Mars : Cercle sat. : Construction geogebra : Tangentes aux deux cercles : c_H = Cercle[ (0,0), R_H / R_M ] M = Cercle[ (a_M * ua / R_M, 0), 1 ] c_S = Cercle[(a_M*ua/R_M – a_1/R_M, 0),Min[ d_1 ]/R_M ] tg = Tangente[ c_H, c_S ] Intersection : Où se trouve le point I par rapport à la surface de Mars ? Pouvait-on prédire ce résultat par un autre raisonnement ? c_S=Cercle[(a_M * ua / R_M – a_2, 0), Min[d_2]] I = Intersection[ tg1_1, tg1_2 ] qui crée et, les deux droites tangentes.tg_1tg_2 Changer les valeurs dans pour le deuxième satellite : c_S Où se place le point d’intersection ? I

16 2015/09/07 Les lunes du petit martien16  Comment s’appelle ce que l’observateur martien voit lorsqu'un satellite passe devant le Soleil ? 2 – Possibilités d’éclipses totales Occultation partielle ou passage (transit). Passage de Phobos devant le Soleil vu de la surface de Mars par la sonde Opportunity Rover le 10 mars 2004 et pénombre de Phobos sur Mars. Expliquer le rapport des diamètres du Soleil et du satellite.

17 2015/09/07 Les lunes du petit martien17 3 – Grandeurs angulaires de Mars vu de Phobos et Déimos La Lune, de la Terre, est vue sous un angle variable d’environ 0,5° (30' d’arc). Sous quel angle est vue la Terre de la Lune ?  Les satellites Phobos et Déimos, étant proches de leur planète, sous quels angles voient-ils celle-ci ? PérigéeαT_1 = 2 * atan(R_T / dtl_1) * 180 / pi *60 ApogéeαT_2 = 2 * atan(R_T / dtl_2) * 180 / pi *60 Sat.Objet geogebra angle vision (’) Données Terre & Lune Rayons de la Terre et de la Lune. Distance Terre-Lune, min : à max :. Calcul (comme pour les angles des satellites vus par notre martien) : Mars, Phobos et Déimos PhobosαM_1 = 2 * atan(R_M / a_1) * 180 / pi DéimosαM_2 = 2 * atan(R_M / a_2) * 180 / pi Sat.Objet geogebra angle vision (°) dtl_1 = 363104 dtl_2 = 405696 km R_T = 6378 kmR_L = 1737.4 km

18 2015/09/07 Les lunes du petit martien18 4 – Magnitudes de Phobos et Déimos vus de Mars Rentrer les valeurs des magnitudes de Phobos et Déimos vus de la Terre lors des oppositions, positions où Mars et au plus près de la Terre.: m_1 = 11.2 et m_2 = 12.6 Dans cette configuration, la distance Terre Mars aux oppositions est approximativement de : dTM = a_M - a_T Calculer la magnitude des objets lorsqu’ils sont vus de la surface de Mars en passant au zénith. 

19 2015/09/07 Les lunes du petit martien19 4 – Magnitudes de Phobos et Déimos vus de Mars L’éclat des satellites est inversement proportionnelle au carré des distances : L M dTM 2 — = ———— L T (a S – R M ) 2 Convertir en magnitudes en prenant le log10 et en multipliant par -2.5 : dTM –2.5 log 10 (L M ) + 2.5 log 10 (L T ) = –5 log 10 ———— a S – R M s = 1, 2 A une constante près : dTM m M = m T – 5 log 10 ——— s = 1, 2 a S – R M  –2.5 log 10 (L M ) –2.5 log 10 (L T ) = magnitude du satellite vu de Mars = magnitude du satellite vu de la Terre

20 2015/09/07 Les lunes du petit martien20 4 – Magnitudes de Phobos et Déimos vus de Mars Phobos m1_M = m_1 – 5* log10(dTM * ua / (a_1 - R_M)) Déimos m2_M = m_2 – 5* log10(dTM * ua / (a_2 - R_M)) Sat.Objet geogebra magnitudes Sachant que Vénus à son maximum d’éclat a une magnitude de -4.6, la Pleine Lune, une magnitude de -12.6, à quelles réflexions cela vous amène-t-il ?  Calcul sous Geogebra dTM m M = m T – 5 log 10 ——— s = 1, 2 a S – R M Remarque : lors de l’opposition de Mars, les faces des satellites vues de la Terre sont complètement éclairées, mais le martien ne voit que leurs côtés non éclairées quand ils passent au zénith. Lors de leurs visibilité, au-dessus de l’horizon, les satellites ne se présentent qu’en croissant et sont bien moins lumineux.

21 2015/09/07 Les lunes du petit martien21  Fin de la première partie SAUVEGARDER.

22 2015/09/07 Les lunes du petit martien22  Partie II Le système Soleil - Terre - Mars Les satellites sur leurs orbites La position de l’observateur martien La direction du Soleil, le jour et calendrier martien Le cône d’ombre de Mars Levers, couchers, passage au méridien, éclipses Visibilité et phases des satellites Visualisation dans la fenêtre Graphique 2

23 2015/09/07 Les lunes du petit martien23 1 - Le système Soleil - Terre - Mars  Rouvrir le fichier de départ Placer les différents corps (Soleil, Terre, Mars, satellites) dans leur situation habituelle, c’est-à-dire dans le référentiel héliocentrique. L’unité utilisée est le rayon martien satmars0.ggb Les points et centres sont rentrés en coordonnées polaires dans le plan : distances demi-grands axes et angles longitudes et latitudes écliptiques.

24 2015/09/07 Les lunes du petit martien24 1 - Le système Soleil - Terre - Mars  Mettre un peu de couleurs : Soleil jaune de dimension 6, Terre et son orbite en bleu, Mars et son orbite en brun. Point Soleil :H' = (0,0) Orbite de la Terre : c'_T = cercle[ H', a_T * ua / R_M ] 360° —— degrés par jour P_T 360 tps × —— degrés P_T Point Terre : T' = (a_T * ua / R_M ; (360 / P_T * tps + lg0_T )° ) Orbite Mars : Point Mars : La Terre fait un tour autour du Soleil en un an ( jours).P_T c'_M = cercle[ H', a_M * ua / R_M ] M' = ( a_M * ua / R_M ; (360 / P_M * t ps + lgo_M )° ] Elle tourne à la vitesse angulaire de : Au bout de jours, elle a tourné de fois de cette valeur :tps

25 2015/09/07 Les lunes du petit martien25 1 - Le système Soleil - Terre – Mars (suite)  Passage au martiocentrisme Mettre Mars au centre à l’origine des coordonnées, c’est appliquer une translation d’un vecteur ou bien à tous les objets. M'H'–H'M' a = true a = false (vrai)héliocentrisme, (faux) martiocentrisme. Pour se positionner, on utilisera une valeur logique pour passer de l’héliocentrisme au martiocentrisme, et l’on convient de la condition : a

26 2015/09/07 Les lunes du petit martien26 1 - Le système Soleil - Terre – Mars (suite & fin)  H = Si[ a, H’, Translation[ H’, Vecteur[M’, H’] ] H = Si[ a, H', H' – M' ] T = Si[ a, T', T' – M’ ] c_T = cercle[ T, a_T ] M = Si[ a, M', H' ] c_M = cercle[ H', a_M ] Les objets se construisent en suivant la valeur logique de :a La syntaxe Geogebra permet d’abréger cette expression car est au centre et l'on écrira : H' Ne plus afficher :H', T', M', c'_T, c'_M. Mettre les couleurs déjà choisies aux nouveaux objets. Jouer sur la boîte “Héliocentrisme/ Martiocentrisme” et le zoom pour voir les mouvements dans les deux référentiels lorsque le temps varie. tps Passage au martiocentrisme

27 2015/09/07 Les lunes du petit martien27 2 - Les satellites sur leurs orbites  Pour placer les satellites sur leurs orbites respectives il nous faut leur positions à l’origine des temps. Ce que nous n’avons pas. Comme nous ne construisons qu’une simulation, nous prendrons ces valeurs égales à zéro et nous les ignorerons. Cercles des orbites :c_1 = cercle[ M, a_1 / R_M ] c_2 = cercle[ M, a_2 / R_M ] Positions des points Phobos et Déimos : S_1 = (a_1 / R_M ; ( 360 / P_1 * tps)°) + M S_2 = (a_2 / R_M ; ( 360 / P_2 * tps)°) + M Choisir deux couleurs différentes non utilisées pour les distinguer. Faire varier le temps pour voir évoluer les satellites.tps SAUVEGARDER cette deuxième partie avec un nouveau nom de fichier personnalisé. Créer la planète Mars, cercle de rayon unité, de couleur brune et d’opacité 50 % cp_M = Cercle[M, 1]

28 2015/09/07 Les lunes du petit martien28 3 - La position de l’observateur martien  SAUVEGARDER. On positionne sur l’équateur martien, un point (vert ?) représentant notre observateur, et qui tourne avec Mars avec sa période sidérale. V p_M V = ( 1 ; (360 / p_M * tps )° ) + M Pour cet observateur, on trace deux repères : – la demi-droite verticale du lieu : v_V = DemiDroite[ M, V ] h_V = Tangente[V, cp_M] – la droite projection du plan horizontal sur et tangente au cercle Mars en xOy cp_M V

29 2015/09/07 Les lunes du petit martien29 3 - La position de l’observateur martien  SAUVEGARDER. – quand les satellites passent au méridien du lieu, par la distance satellites à la demi-droite verticale qui alors, sera nulle Ces repères vont permettre de connaître : dv_1 = Distance[ S_1, v_V ] dv_2 = Distance[ S_2, v_V ] – quand les satellites sont sur l’horizon, au lever ou coucher, par les distance satellites aux demi-droite horizontale nulles dh_1 = Distance[ S_1, h_V ] dh_2 = Distance[ S_2, h_V ]

30 2015/09/07 Les lunes du petit martien30 4 - La direction du Soleil, le jour et calendrier martien  Pour savoir dans quelle direction est le Soleil et celle de son rayonnement, traçer la demi-droite Mars Soleil (à mettre en jaune) : dir_S = DemiDroite[ M, H ] AH_S = –Angle[ V, M, H ] L’angle horaire du Soleil ou temps solaire du lieu est donné par l’angle orienté entre et, ou, à cause de l’éloignement au Soleil dir_Sv_V Le signe ‘–’ rappelle que l’angle horaire est compté dans le sens rétrograde.

31 2015/09/07 Les lunes du petit martien31 4 - La direction du Soleil, le jour et calendrier martien  S’il fait jour tracer la rayon solaire atteignant notre petit martien : Cet angle permet directement de savoir si le Soleil est levé ou couché. Il faut qu’il soit compris entre - 90° et +90°. Afin de gérer plus facilement l’alternance jour nuit, on crée une valeur logique fsol qui sera à fsol = Si[ cos(AH_S) > 0, true, false] dV_S = Si[ fsol, DemiDroite[V, H]] - vrai - faux lorsque le Soleil est au-dessus de l’horizon de notre martien, sinon

32 2015/09/07 Les lunes du petit martien32 4 - La direction du Soleil, le jour et calendrier martien  SAUVEGARDER. Mesurer la durée du jour martien en faisant varier tps. Durée jour martienJ_M = La comparer à la période sidérale de rotation. Quelle analogie avec la rotation de la Terre ? p_M Repérer sur la ligne horizon, les directions Est et Ouest en sachant que le pôle Nord martien est au-dessus par convention. Le temps, s’écoulant, un jour martien est la durée entre deux passages consécutifs du Soleil au méridien du lieu.

33 2015/09/07 Les lunes du petit martien33 4 - La direction du Soleil, le jour et calendrier martien  J_M = 1 / (1 / p_M - 1 / P_M) - formule similaire à la formule des périodes synodiques des planètes. La combinaison de la période de révolution sidérale et de la rotation sidérale de Mars permet aussi de calculer la longueur du jour martien. (P_M) (p_M) Entre deux midis, Mars à tourné de 360 –––– J_M P_M Rotation sur l’orbiteRotation de la planète1 tour complet 360 –––– J_M p_M +=

34 2015/09/07 Les lunes du petit martien34 4 - La direction du Soleil, le jour et calendrier martien  tpm = tps / J_M + J_0 où est une valeur que l’on ajuste pour que l’heure martienne marque 12h au premier passage du Soleil au méridien au début de la plage temporelle. J_0 qui sera provisoirement affiché en curseur afin de faire l’ajustement de 12 heures avec le premier passage au méridien et caché ensuite. J_0 = 0 Avec cette période, construire un pseudo calendrier qui va compter en jours et heures martiens. Un jour martien vaut jour terrestre et une heure martienne vaut : J_M / 24 J_M Avant de créer, on crée tpm

35 2015/09/07 Les lunes du petit martien35 4 - La direction du Soleil, le jour et calendrier martien  tt = jdhm(tpm) Affichage de l’heure martienne dans un texte en utilisant l’outil : jdhm qui crée : On affiche dans un texte comme dans la figure. tpm tt_1 tt_2 tt_3 tt_4 nombre entier de jours martiens partie décimale nombre entier d’heures nombre décimal de minutes SAUVEGARDER. L’outil est inclus dans.jdhmsatmars0.ggb

36 2015/09/07 Les lunes du petit martien36 5 - Le cône d’ombre de Mars  Lorsque Phobos et Déimos pénètrent dans ce cône à chacune de leur révolution, ils sont éclipsés comme la Lune qui passe dans le cône d’ombre de la Terre. MI MI R M — = ————— = — HI (HM + MI) R H R M MI = a M —–––– R H – R M Le cône tangent aux sphères Soleil et Mars a pour sommet le point. La partie du cône entre le point et Mars (figure) ne reçoit pas de lumière du Soleil et s’appelle le cône d’ombre. I I Position du point sommet du cône d’ombre de Mars. I Calculons la distance avec Thalès :MI

37 2015/09/07 Les lunes du petit martien37 5 - Le cône d’ombre de Mars  Calcul de la distance avec Geogebra, en faisant intervenir les bonnes unités : MI MI = a_M * ua / R_M * R_M / (R_H – R_M) v1_{HM} = VecteurUnitaire[Droite[H, M ]] vMI = M + MI * v1_{HM} I = ( x( vMI ), y( vMI ) ) La position du point est donnée à partir de sa distance et du vecteur unitaire de la direction : HM MI I et position du point :I Simplifié en :MI = a_M * ua / (R_H – R_M)

38 2015/09/07 Les lunes du petit martien38 5 - Le cône d’ombre de Mars  tg = Tangente[I, cp_M] Et leurs points de tangence avec le cercle de Mars : I_1 = Intersect[tg_1,cp_M] I_2 = Intersect[tg_2,cp_M] ombre = Polygone[{I_1, I_2, I}] que l’on mettra d’épaisseur de ligne nulle, de couleur grise et opacité 50%. Pour construire le cône d’ombre, il faut les deux tangentes partant du point I au cercle Mars. cp_M I Construction des deux tangentes et à la sphère de Mars partant du point : tg1 tg2 I Tous ces objets sont cachés et l’on construit le triangle d’ombre :I1I2II1I2I

39 2015/09/07 Les lunes du petit martien39 5 - Le cône d’ombre de Mars  Pour savoir si un satellite est éclipsé, il est fait ombS_1 = EstDansRégion[S_1,ombre] ombS_2 = EstDansRégion[S_2,ombre] Les valeurs logiques seront à - vrai si le point est dans le triangle, - faux sinon - un test de région du point satellite avec le triangle.

40 2015/09/07 Les lunes du petit martien40 6 - Levers, couchers, passages au méridien, éclipses  En faisant progresser le temps, noter pour chaque satellite les dates et heures des levers, couchers, passages au méridien successifs, entrées dans l’ombre, sorties de l’ombre. levers, passages au méridien, couchers. De même pour le Soleil tps Tableau à remplir

41 2015/09/07 Les lunes du petit martien41 6 - Levers, couchers, passages au méridien, éclipses  Les conditions de ces situations sont données par les valeurs variables avec : Condition des différentes positions des satellites Condition des différentes positions du Soleil Inscrire les heures dans le tableau donné en Annexe page 12. Passage Lever coucherEclipse au méridien Passage Lever coucher au méridien AH_S = 0AH_S = -90AH_S = 90 Que remarque-t-on de singulier ? Phobos (S_1)dh_1 = 0dv_1 = 0dh_1 = 0ombS_1=true Deimos (S_2)dh_2 = 0dv_2 = 0dh_2 = 0ombS_2=true tps

42 2015/09/07 Les lunes du petit martien42 7 - Visibilité et phases des satellites  Visualisation des parties éclairée et à l’ombre de Mars et des ses satellites : adaptée à la dimension de l’objet, image tournée de telle façon que la partie éclairée soit orientée vers le Soleil. θ_S = Angle[ axeX, dir_S ] Orientation : angle de rotation Image sans rotation Image avec rotation tournée vers le Soleil on superpose à chaque objet, un dessin d’une lune à moitié éclairée ( image carrée de 300 x 300 pix.). milune.gif Soit l’orientation de la direction du Soleil par rapport à (figure de gauche) : θ_SaxeX θ_S

43 2015/09/07 Les lunes du petit martien43 7 - Visibilité et phases des satellites  A = ( sqrt(2) ; 225° ) + M B = ( sqrt(2) ; 315°) + M A = (sqrt(2) ; 225° + θ_S) + M B = (sqrt(2) ; 315° + θ_S) + M On applique la rotation d’amplitude : θ_S Le rayon du cercle valant 1, la demi-diagonale du carré de l’image vaut  2. cp M Pour Mars, on superpose, centrée sur, l’image de la demi-lune avec le cercle de rayon 1, en donnant aux deux points les coordonnées polaires : M cp_M Pour faire tourner l’image d’un angle déterminé, on fera tourner les deux points qui déterminent les positions de et de chaque image par rapport au centre de celle-ci. Coin 1 Coin 2 Translation en M

44 2015/09/07 Les lunes du petit martien44 7 - Visibilité et phases des satellites  r = 0.25 De même pour les satellites. La grandeur de la demi-diagonale de leurs images sera égale à, valeur ajustable : C = (r; 225° + θ_S) + S_1 D = (r; 315° + θ_S) + S_1 r E = (r; 225° + θ_S) + S_2 F = (r; 315° + θ_S) + S_2 On prendra : Ne pas oublier que les satellites ne sont bien visibles qu’au-dessus de l’horizon et lorsque le Soleil est couché et s’ils ne sont pas éclipsés. SAUVEGARDER. Déimos ( ) S_2 E, F C, D Comme pour notre martien, en faisant varier le temps, suivre le déplacement du Soleil, et les rotations des images de Mars et des satellites. tps Phobos ( ) S_1 Points Satellite Ecriture

45 2015/09/07 Les lunes du petit martien45 8 - Visualisation simplifiée dans la fenêtre Graphique 2  Dans notre simulation, tous les objets traversent le ciel suivant un demi-cercle Est- Ouest passant par le zénith. Ciel = DemiCercle[(-1, 0), (1, 0)] Chaque objet, Soleil, Phobos, Déimos, lorsqu’il est visible au-dessus de l’horizon martien y est représenté par un point en coordonnées polaires : rayon 1 angle : angle horaire décalée de 90° pour avoir le 0° au zénith. AH_1 = – Angle[ V + Vecteur[ M, V ], V, S_1 ] AH_2 = – Angle[ V + Vecteur[ M, V ], V, S_2 ] Ouvrir la fenêtre. Nous allons représenter le ciel visible par un demi-cercle (couleur bleue) de rayon unité, représente l’axe Est-Ouest : axeX graphique 2 Angles horaires des satellites vus de notre martien :

46 2015/09/07 Les lunes du petit martien46 8 - Visualisation simplifiée dans la fenêtre Graphique 2  Soleil = Si[fsol(1; -AH_S + pi / 2)] Mettre le Soleil en jaune et de grosseur 6. Phobos = Si[cos(AH_1) > 0, (1; -AH_1 + π / 2)] Déimos = Si[cos(AH_2) > 0, (1; -AH_2 + pi / 2)] On peut rajouter trois objets textes (fixes) pour indiquer les points Est, à gauche, Ouest à droite et Zénith. Les points Soleil, Phobos et Déimos ne seront créés que s’ils sont au-dessus de l’horizon : Taille 3.

47 2015/09/07 Les lunes du petit martien47 8 - Visualisation simplifiée dans la fenêtre Graphique 2  Lorsqu’il fait jour ou éclipse, atténuer les couleurs de Phobos et Déimos. On joue sur les dans l’onglet “ ” des “ s”. Faire de même pour Déimos. Pour colorier le satellite, on peut mettre une valeur non nulle à la place du dernier zéro. Avancé PropriétésCouleurs dynamiques

48 2015/09/07 Les lunes du petit martien48 8 - Visualisation simplifiée dans la fenêtre Graphique 2  En faisant varier le temps,, l’observateur martien voit : – défiler le Soleil de jour en jour martien – quand il fait nuit allant rapidement d’Ouest en Est Phobos avec ses éclipses – quand il fait nuit lentement d’Est en Ouest Déimos avec ses éclipses. tps

49 2015/09/07 Les lunes du petit martien49..... FIN En… au revoir