RBF Les surfaces implicites variationnelles Radial Bases Functions (RBF) ● A. Iske, “Scattered data modelling using Radial basis Functions”, Tutorial on.

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1 RBF Les surfaces implicites variationnelles Radial Bases Functions (RBF) ● A. Iske, “Scattered data modelling using Radial basis Functions”, Tutorial on multiresolution in geometric modelling, Springer, 2002. ● Thèse de Patrick Reuter, “Reconstruction and rendering of implicit surfaces from large unorganized point sets” Université de Bordeaux 1, décembre 2003.

2 RBF Plan ● La problématique ● L’approche variationnelle ● Les Radial Basis Functions – Le système linéaire – Les fonctions de base – Résoudre le système ● La partition de l'unité – Décomposition de l'espace – Les fonctions de mélange ● Reconstruction d'un nuage de points

3 RBF Problématique ● On a un ensemble de N points p i dans R d et à chaque point p i est associé un scalaire h i. ● Problème: Trouver une fonction f qui satisfait les N contraintes f(p i )=h i, i=1..N ● En réalité ce problème est très mal posé puisqu’il existe une infinité de solution et rien ne justifie le choix d’une solution par rapport à une autre.

4 RBF Contraintes à priori ● En réalité, on a déjà une idée du type de solution que l’on cherche. On voudrait une solution qui garantit une fonction qui oscille le moins possible. Ceci peut s’exprimer en terme de lisseur de la reconstruction. La fonction est lisse si pour deux points très proches X 0  X 1, la fonction retourne des valeurs similaires: f(X 0 )  f(X 1 ). ● On peut ensuite choisir des contraintes dépendantes du type d’application, à savoir: – Interpoler les points p i et dans ce cas, les contraintes f(p i )=h i sont satisfaites exactement – Approximer les points p i et dans ce cas, f(p i )  h i ● En général, une fonction approximant les contraintes oscille moins qu'une fonction les interpolant.

5 RBF Approche variationnelle ● Il s'agit de trouver une fonction f qui minimise la fonction variationnelle V: – La première partie assure la proximité de la solution (approximation) – La seconde est une fonction d'énergie E qui minimise les oscillations : –  représente la transformée de Fourier. Autrement dit, plus la fonction f a des hautes fréquences, plus la fonction d'énergie E est grande. – Le paramètre permet de contrôler le rapport approximation/interpolation. Une fonction f minimisant V pourra être un interpolant si elle satisfait :

6 RBF Solution RBF ● Il peut être montré qu'une fonction minimisant V à la forme: ● avec N  Q et une contrainte d'orthogonalité entre les coefficients  i et l'espace polynomial : ● De plus,  est une fonction de base et les coefficients  i et b m satisfont un système d'équations linéaires ● Cette solution est donnée pour =0 et la fonction f est un interpolant

7 RBF Système d'équations linéaires ● La solution du système linéaire suivant donne l'ensemble des coefficients définissant la fonction d'interpolation f : A c = h avec: avec i=1..N, j=1..N avec i=1..N, m=0..Q-1 Q fois

8 RBF Système d'équations linéaires

9 RBF Les fonctions de base ● On ne rentrera pas dans les détails et on s'arrêtera à la distinction entre les fonctions de base à support global et les fonctions de base à support local (compact) ● Support global: – Les plus classiques et moins coûteuses à évaluer : Les fonctions polynomiales Continuité C 0 : Continuité C 2 : où n est impair et l'ordre Q du polynôme associé doit être Q > n/2

10 RBF Autres fonctions de base à support global

11 RBF Support local ou compact ● Ces fonctions sont définies positives, et elles sont uniques pour chaque continuité : – Continuité C 0 – Continuité C 2 – Continuité C 4 ● Pour les fonctions à support compact, le polynôme d'ordre Q est nul.

12 RBF Résoudre le système ● Pour les fonctions de base à support global, la matrice est définie positive et pleine. Pour résoudre le système, il est suggéré d'utiliser une LU-décomposition ou une Décomposition en valeurs singulières. – Dans ce cas, dès qu'il y a beaucoup de contraintes (plusieurs 10 aine de milliers), le système devient impossible à résoudre ● Pour les fonctions à support local, on peut ordonner les contraintes convenablement de manière à obtenir une matrice creuse, définie positive. Dans ce cas, des algorithmes spécifiques permettent de traiter jusqu'à quelques millions de points si le support est suffisamment petit. – Le support est fixe pour une reconstruction – On ne peut pas garantir de ne pas créer des trous à moins de prendre un support très grand, ce qui annulerait l'intérêt du support local – Il faut ordonner les points dans uns structure spatiale de type "k-d tree" ou "octree" pour ordonner les coefficients non nuls de la matrice autour de sa diagonale

13 RBF Approximation ● Il est aussi possible de modifier le système pour proposer une solution d'approximation et non d'interpolation : A = A - 8N  I Où I est la matrice identité et est de l'ordre de 10 -5

14 RBF Conclusion ● Les fonctions à support global – Supporte peu de contrainte – Des temps de reconstruction très lent – L'évaluation de la fonction est très coûteuse – Bref à déconseiller, sauf pour très peu de contraintes ou pas de contrainte liée au temps d'évaluation ● Les fonctions à support local – Le problème de gestion de la taille du support – Reconstruction locale de la fonction : on a des trous dans la reconstruction

15 RBF Partition de l'unité ● On décompose l'espace en sous-espaces qui se chevauchent ● On effectue une reconstruction sur chaque sous-espace ● On mélange les reconstructions à l'aide de fonctions qui forment une partition de l'unité : En tout point de l'espace, leur somme vaut 1

16 RBF Décomposition de l'espace ● On fait une décomposition de l'espace sous forme d'octree (pour des données p i de R 3 ) ● On subdivise jusqu'à ce que le nombre de points p I dans une région  k soit inférieur à un nombre T max de points ● On accroît la taille de la région pour assurer une zone de recouvrement avec les région voisine. La nouvelle région est appelée  k et peut être parallélépipèdique ou sphérique – On prend la diagonale principale de la région et on la multiplie par un facteur d'échelle  (on prend  > 1) ● Si la région "gonflée"  k contient plus de T max points, on re-subdivise la région de l'octree  k, et on la gonfle en jouant sur le paramètre  ● On continue jusqu'à ce que la région "gonflée"  k contienne entre T min et T max points

17 RBF Reconstruction ● La fonction est reconstruite indépendamment dans chaque région  k – Il est suggéré de prendre T min = 50 et T max = 100 ● Les fonctions de mélange  j sont des fonctions positives qui sont normalisées ● Reconstruction dans en un point à partir de toutes les régions  k qui se chevauchent :

18 RBF Fonctions de mélange ● On définit une fonction de distance sur la région  k : – La fonction de distance vaut 0 au centre et 1 aux bordures ● Pour maintenir la continuité, on agit sur la continuité des fonctions de mélange. Pour simplifier les calculs, on prend des fonctions de mélange polynomiales. Elles sont infiniment dérivable partout sauf aux bordures

19 RBF Fonctions de mélange polynomiales ● Continuité C 0 ● Continuité C 1 ● Continuité C 2

20 RBF Conclusion ● On n’est plus limité par le nombre de contrainte – Le système est simple à résoudre – Le temps d'évaluation est considérablement réduit et il est plus ou moins constant, quel que soit le nombre de contraintes ● On reconstruit tout l'espace : pas de zone où la fonction est constante comme avec les fonctions à support local

21 RBF Reconstruction d'un nuage de points ● L'ensemble des points représente la surface ● On considère la surface comme la 0 iso-surface d'un champ de potentiel ● Nos contraintes de reconstructions sont donc : ● Avec des contraintes exprimées de cette façon, la fonction reconstruite est une fonction f de R 3  R qui vaut 0 en tout point de l'espace!!!! ● Il faut donc ajouter des contraintes pour créer l'intérieur et l'extérieur de la surface du type : f(p i )=0, i=1..N, p i  R 3 f(p i ) > 0 et f(p i ) < 0

22 RBF Ajout de contraintes ● On ajoute des contraintes en suivant les normales ● Pour détecter les interpénétrations, on projette les points qui sont au bout des normales sur la surface. Si le point projeté n'est pas le point d'origine de la normale, il y a interpénétration. Dans ce cas, la normale est réduite.

23 RBF Résultats : interpolation

24 RBF Interpolation

25 ● Problème de mélange indésirable

26 RBF Approximation