L’ESPRIT DU NOUVEAU PROGRAMME. SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DU MANAGEMENT ET DE LA GESTION 1 Document élaboré dans le cadre du cercle de réflexion académique.

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1 L’ESPRIT DU NOUVEAU PROGRAMME. SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DU MANAGEMENT ET DE LA GESTION 1 Document élaboré dans le cadre du cercle de réflexion académique GRALC 2012 1

2 Quel est le but de l’enseignement ? Construire des théories ? Etudier des modèles mathématiques ? Exploiter des machines ? Résoudre des problèmes de gestion et d’économie ?

3 Quelques réponses ! La résolution des problèmes de gestion et d’économie est le but. Structurer des données et mesurer des évolutions. Le tableur est un outil essentiel, sa maîtrise est une exigence du programme. La calculatrice graphique est l’outil indispensable de l’élève !

4 Quels objectifs pédagogiques ? Développer les compétences: Décrire et représenter une situation. Traiter pour interpoler ou extrapoler voire estimer. Traiter pour optimiser ou minimiser une grandeur. Critiquer et rendre compte.

5 Quelle finalité ? La résolution d’un problème contextualisé qui amène l’élève à l’activité mathématique suivante : Choisir un modèle afin de réduire les données d’une situation à un traitement mathématique qui va permettre de proposer une réponse approchée. Ajuster le modèle pour qu’il s’apparente au mieux à la réalité. Contrôler les résultats obtenus pour évaluer l’erreur commise.

6 Quels problèmes mathématiques ? L’interpolation : Données : Quelques valeurs sont connues d’une grandeur. Questions : Déterminer d’autres valeurs de cette grandeur situées entre les valeurs connues ? L’extrapolation : Données : Quelques valeurs d’une grandeur sont connues. Questions : Déterminer d’autres valeurs de cette grandeur situées en dehors de l’intervalle des valeurs connues. La régression statistique : Données : Valeurs connues de deux grandeurs. Questions : Déterminer une relation liant ces deux grandeurs.

7 Une phase d’investigation importante avant de faire une leçon…. Pour coller à l’actualité, quelques problèmes à partir d’une étude de l’INSEE sur l’évolution du nombre de PACS en France …

8 Exemple 1 : Evolution des PACS 8 Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France de 2000 à 2004. Source INSEE. 1. Décrire et représenter cette évolution : Etude globale pour les premières. Etudes globale et moyenne pour les terminales. 2. A l’aide de ces données, donner une estimation du nombre de PACS en France en 2001 puis en 2010. On expliquera la démarche utilisée. Approximation affine: approche expérimentale avec les premières ( Trois registres) et évaluation de l’erreur commise. 8

9 Travail avec le graphique: On cherche une droite… 99

10 On ajuste l’approximation affine 10 droite et points.ggb Déterminer les expressions des fonctions affines. Créer un algorithme qui donne le coefficient directeur de la droite. 10

11 Approximation avec une fonction polynôme de degré 2: On cherche une parabole 11 parabole et points.ggb Déterminer l’expression de la fonction. Créer un algorithme qui donne l’expression de la parabole. 11

12 Evaluation de l’ajustement 12 Donner les écarts entre les données réelles et les images calculées avec le modèle choisi : L’objectif est la comparaison des images : Donner un tableau présentant ces écarts. Moyenne des écarts. Créer un algorithme qui donne la moyenne des écarts. 12

13 ● Approximation avec une fonction polynôme 13 On modélise l’évolution du nombre de PACS par la fonction f définie par : f ( x )= 1,6 x² −1,8 x +21,4. 1. Donner en pourcentage l’erreur maximale commise par cette approximation. 2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? 1. Le nombre de Pactes civil de solidarité progresse moins rapidement en 2002 qu’en 2004. 2. Le nombre de PACS ne fait qu’augmenter de 2002 à 2004. 3. En juin 2000, on estime qu’aucun PACS n’a été enregistré. 13

14 La vitesse d’évolution et la tangente 14

15 Etude de la vitesse d’évolution: 15 L’INSEE s’est intéressé à l’évolution des PACS en France. « Le nombre de Pactes civil de solidarité nouvellement conclus continue de progresser en 2010, mais moins rapidement que les années précédentes. 195 000 Pacs ont été signés en 2010, soit 13 % de plus qu'en 2009, après + 20 % en 2009 et + 40 % en 2008. » Source INSEE. Donner un tableau des valeurs du nombre de PACS de 2008 à 2010 puis graphiquement représenter la vitesse d’évolution en 2008, 2009, 2010. 15

16 Evolution du traitement mathématique à partir de la recherche d’un bénéfice ! D’une résolution approchée avec un travail sur le tableur, ou sur les représentations graphiques à l’utilisation d’un outil algébrique…. 16

17 La recherche d’un bénéfice ! Une petite entreprise fabrique des agendas. Chaque jour, elle produit entre 0 et 50 agendas. Chaque agenda est vendu 120€. Le coût de production exprimé en euros pour la fabrication de x tables est modélisé par : C(x) = x² + 30x + 400. Combien d’agendas faut-il fabriquer pour que l’entreprise réalise un bénéfice ? 17

18 Benjamin

19 Franck

20 Fanny

21 En changeant quelques variables : Une petite entreprise fabrique des agendas. Chaque semaine, elle produit entre 0 et 500 agendas. Chaque agenda est vendu 80€. Le coût de production exprimé en euros pour la fabrication de x dizaines d’agendas est modélisé par : C(x) = x² + 30x + 400. Combien d’agendas faut-il fabriquer pour que l’entreprise réalise un bénéfice ? 21

22 Mathilde

23 Guillaume

24 Bastien

25 Océane

26 Pascal

27 Fabrice

28 L’optimisation d’un bénéfice : Une petite entreprise fabrique des agendas. Chaque semaine, elle produit entre 0 et 500 agendas. Chaque agenda est vendu 80€. Le coût de production exprimé en euros pour la fabrication de x dizaines d’agendas est modélisé par : C(x) = x² + 30x + 400. Combien d’agendas faut-il fabriquer pour avoir un bénéfice maximal ? 28

29 Pascal

30 Bastien

31 Elodie