Conjecture H: Topologie, algèbre et géométrie.

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1 Conjecture H: Topologie, algèbre et géométrie.
UNIVERSITÉ HASSAN II FACULTE DES SCIENCES CASABLANCA Conjecture H: Topologie, algèbre et géométrie. Hassan AAYA

2 Sommaire Introduction Formes différentielles
Algèbres différentielles graduées Lemme de Poincaré et cohomologie de de Rham Lien avec la topologie : et groupes d'homotopie supérieurs La théorie de Quillen-Sullivan et Le théorème de Quillen-Sullivan sur Passer des réels aux rationnels :Triangulation, modèle de Sullivan La conjecture H.

3 Introduction

4 Introduction Historique: Ce résultat a été démontré par M. Hilali pour le cas des espaces pures en 1990, et puis par MM. Hilali et Mamouni en 2008 pour le cas hyper-elliptique sous des conditions spécifiques et d’autres types d’espaces topologiques, avant d’être démontré en 2012 par des espagnoles dans le cas hyper-elliptique.

5 Introduction Le calcul des groupes d’homotopie d’ordre supérieur est un problème fondamental de la topologie algébrique. Mais, curieusement, on ne sait même pas calculer les groupes d'homotopie des sphères:

6 Introduction A part quelques cas:

7 Formes différentielles
Une forme différentielle de degré 1 sur un ouvert de est une expression de la forme Où sont des fonctions sur cet ouvert.

8 Formes différentielles
Une forme différentielle de degré n ≥1, sur une variété X consiste en la donnée en chaque point x d'une forme n-linéaire alternée sur l'espace tangent en x. En coordonnées :

9 Formes différentielles
On note l'ensemble des formes différentielles de degré n≥1, l'anneau des fonctions . On note la somme directe des .

10 Algèbres différentielles graduées

11 Algèbres différentielles graduées
Si on a Alors

12 Exemple ADG de Koszul

13 Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
On vérifie par le calcul que soit Donc

14 Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.

15 Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
Autrement dit, le nième groupe de cohomologie matérialise l'obstruction pour qu'une forme régulière fermée sur X soit exacte

16 Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.

17 Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs

18 Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs

19 Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs

20 Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
Groupes d’homotopie des sphères :

21 La théorie de Quillen-Sullivan

22 La théorie de Quillen-Sullivan

23 La théorie de Quillen-Sullivan

24 La théorie de Quillen-Sullivan

25 La théorie de Quillen-Sullivan

26 Passer des réels aux rationnels :Triangulation

27 Passer des réels aux rationnels :Triangulation

28 Passer des réels aux rationnels :Triangulation

29 Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?

30 Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?

31 Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?

32 Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?

33 Passer des réels aux rationnels :Triangulation

34 Conjecture H