AUTOUR DE LA LOI NORMALE

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1 AUTOUR DE LA LOI NORMALE
Formation nouveaux programmes de Terminales S et ES

2 Les objectifs du programme de statistique en terminale
Poursuivre le travail de statistique inférentielle commencé en classe de Seconde et de Première Prise de décision en situation de risque Estimation par intervalle de confiance Avec un nouvel outil : la loi normale Nous allons commencer par un exemple Formation nouveaux programmes de Terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

3 POURQUOI LA LOI NORMALE ?
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4 Un exemple : Etude du surpoids
Dans la population étudiée, il y a 46% d’hommes et 18% de personnes de plus de 60 ans.  Un sondage a été réalisé par un tirage au hasard de 400 personnes, et peut être assimilé à un tirage avec remise. Dans l’échantillon prélevé pour cette étude on observe :  Cet échantillon est-il représentatif ? 2. L’étude montre que dans cet échantillon 29% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. Hommes Femmes 195 205 < 60 ans > 60 ans 313 87 formation nouveaux programmes de terminales

5 Un exemple : Etude du surpoids
Pour une étude, mettant en jeu le lien avec certaines caractéristiques connues de la population on considère qu’un échantillon est représentatif, si la fréquence f observée de ces caractéristiques est dans l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Dans la population étudiée, il y a 46% d’hommes et 18% de personnes de plus de 60 ans.  Le sondage a été réalisé par un tirage au hasard de 400 personnes et peut être assimilé à un tirage avec remise. Présentation du fichier Excel « surpoids ». L’objectif est de sensibiliser à la fluctuation des fréquences, indispensable à la compréhension du programme. Au travail ! Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

6 Etude du surpoids : un scénario possible
Pour une étude, mettant en jeu le lien avec certaines caractéristiques connues de la population on considère qu’un échantillon est représentatif, si la fréquence f observée de ces caractéristiques est dans l’intervalle de fluctuation au seuil de confiance de 95%. Dans la population étudiée, il y a 46% d’hommes et 18% de personnes de plus de 60 ans.  le sondage a été réalisé par un tirage au hasard de 400 personnes et peut être assimilé à un tirage avec remise. 1. Réaliser un échantillon. par simulation, Cet échantillon est-il représentatif  en ce qui concerne la répartition des hommes ? Présentation du fichier Excel « surpoids ». L’objectif est de sensibiliser à la fluctuation des fréquences, indispensable à la compréhension du programme. Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

7 Etude du surpoids : réinvestir
Dans l’échantillon prélevé pour cette étude on observe :    Cet échantillon est-il représentatif ? Pour les hommes : p =0,46 (outil de seconde) Pour un seuil de 95%, on a obtenu IFH =[0,41 ;0,51] f =195/400 = 0,4875 donc f IFH donc cet échantillon est représentatif pour les hommes Pour les plus de 60 ans : p=0,18 (outil première) cette méthode ne s’applique pas, il faut 0,2<p<0,8 On établit IFV avec la fonction de répartition de la loi binomiale B(400;0,18) , à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur : IFv=[57/400;87/400] donc cet un échantillon est représentatif pour les plus de 60 ans. Hommes Femmes 195 205 < 60 ans > 60 ans 313 87 Présentation du fichier Excel pour les plus de 60 ans formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

8 Etude du surpoids : outil de 2de
3. L’étude montre que dans cet échantillon 29% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. L’intervalle de confiance de la classe de seconde donne [0,29- 0,05 ; 0,29+0,05] Donc la proportion de personnes en surpoids est dans l’intervalle [0,24 ; 0,33] au niveau de confiance de 95%. On dit aussi pour un seuil de risque de 5%. Remarque l’IC de seconde est celui qui est privilégié encore en classe de terminale formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

9 Un exemple : Etude du surpoids
4. On veut réaliser une étude plus précise en réalisant un échantillon de taille Dans l’échantillon prélevé pour cette étude on observe :  Cet échantillon est-il représentatif ? Le calcul n’est ici plus possible avec une calculatrice, cela dépasse ses capacités de calcul. L’étude montre que dans cet échantillon 32% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. Remarque l’IC de sconde est celui qui est privilégié encore en classe de terminale formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

10 Observation des binomiales pour n grand
En utilisant Geogebra et l’outil de calcul des probabilités, on peut explorer le comportement des grandes binomiales Des formes similaires dites « forme en cloche » Rapidement montrer l’outil et observer quelques grandes binomiales formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

11 TP centrer- réduire : le foie gras
Les foies gras d'oie commercialisés en 2012 par un producteur du Sud Ouest ont une masse dont la moyenne est 750 grammes et dont l'écart type est 100 grammes. Le pesage, en grammes, d'un foie pris au hasard dans la production détermine une V.A. G telle que E(G)=750 et (G)=100. L'année précédente, en 2011, les foies gras commercialisés par ce même producteur avaient un poids moyen de 680 g et un écart type de 120g. Un client fidèle a acheté un foie de 750 g en 2011 et un de 800 g en 2012. Quel classement peut-on faire de ces deux foies comparativement à la production annuelle dont ils sont issus ? Ouvrir le fichier Foie gras formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

12 LOI NORMALE et BINOMIALE
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13 L’idée centrale Une première idée simplifiée du théorème : Lorsqu’on observe les représentations graphiques des grandes binomiales, elles présentent une forme commune dite « forme en cloche », connue sous le nom de courbe de Gauss, et qui correspond à la fonction de densité de la loi normale. On a donc l’idée intuitive qu’on peut approcher les lois binomiales par les normales, pour n grand. La formalisation de ce constat est énoncée par le « théorème de Moivre-Laplace », ce qui va nécessiter quelques détours… Formation nouveaux programmes de terminales

14 Le théorème de Moivre-Laplace
Premières remarques : On reconnait à droite P(a < Z < b) où Z suit la loi normale N(0;1). Ce n’est pas sur Xn que porte la convergence vers la loi normale, mais sur la « variable centrée réduite » Zn. On s’intéresse à des probabilités d’intervalles. Nous allons expliciter davantage ces trois points formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

15 Le théorème de Moivre-Laplace
Autre remarque Ce théorème définit une convergence en loi : Ce n’est pas Zn qui converge vers Z, mais la fonction de répartition de Zn qui converge vers la fonction de répartition de Z. formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

16 le théorème de Moivre-Laplace
On centre et on réduit Xn suit B(n;p) On obtient Zn converge converge n tend vers l’infini Le théorème qui formalise notre constat est le théorème de Moivre-Laplace Il ne porte pas sur la va Xn de la binomiale B(n,p), mais sur la variable centrée-réduite Zn ; de quoi s’agit-il ? Z qui suit N(0 ; 1) Y qui suit N (np; npq) Dépend de n Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

17 Premier problème : le passage du discret au continu
On va donc plonger la loi binomiale dans le monde des aires la loi binomiale est une loi discrète P(X=a) Diagramme en bâtons la loi normale est une loi continue P(a<X<b) Aire sous une courbe Pour une loi continue, p(X=a) est nulle ; pour ne loi discrète, la proba d’n intervalle est la somme des probas discrètes qu’il contient formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

18 Passage du discret au continu
On considère une variable aléatoire Xn qui suit la loi discrète B(n;p) V = npq avec q=1-p E(Xn) = np = µ V(Xn) = np(1-p) = σ² Formation nouveaux programmes de Terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

19 Problème du passage du discret au continu
La loi binomiale, loi discrète, se représente par un diagramme en bâtons, qu’il faut convertir en histogramme pour que les probabilités puissent être interprétées en termes d’aires. Le bâton représentant p(X=k) = pk doit devenir une colonne d’aire pk. On l’obtient en traçant une colonne de largeur 1 centrée sur k : [k - 0,5 ; k + 0,5] de hauteur pk. formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

20 Passage du discret au continu
On considère une variable aléatoire Xn qui suit la loi discrète B(n;p) E(Xn) = µ et V(Xn) = σ² On assimile donc ces deux va : Xn = X’n Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

21 Passage du discret au continu
On considère une variable aléatoire Xn qui suit la loi discrète B(n;p) Et on a : P(a  Xn  b) = somme des aires des rectangles On assimile donc ces deux va : Xn = X’n Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

22 Comment centrer X est une variable aléatoire centrée
signifie que E(X) = 0 La variable Yn = Xn – µ est centrée E(X+b)=E(X)+b Attention : Yn ne suit pas une loi binomiale : Cette variable aléatoire prend des valeurs négatives ! Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

23 E(Yn) = 0 V(Yn) = ² Comment centrer E(X+b) = E(X)+ b donc
La variable Yn = Xn – µ est centrée E(X+b)=E(X)+b E(X+b) = E(X)+ b donc E(Yn) = 0 V(aX+b) = a²V(X) donc V(Yn) = ² Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

24 Comment réduire E(Zn) = 0 Sa variance est égale à 1 :
La variable aléatoire Zn = Yn/ est centrée E(Zn) = 0 Sa variance est égale à 1 : V(aX+b)=a²V(X) V(aX+b) = a²V(X) formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

25 Comment réduire Zn = Yn / On a pris la variable aléatoire
On raisonne sur des aires, on veut conserver des rectangles d’aire pk ; donc si on réduit les abscisses en les divisant par , on doit compenser en multipliant les ordonnées par . On conserve une aire totale de 1. V(aX+b)=a²V(X) formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

26 Bilan sur Zn, variable centrée réduite
E(Zn) = 0 V(Zn) = 1 formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

27 Loi normale centrée réduite
Les histogrammes représentant Zn ont tous exactement la même allure La courbe qui approxime cette allure c’est la courbe de Gauss représentant la fonction f définie par : f(x) = C’est la fonction de densité de la loi normale N(0;1) nouvelle fonction de référence à étudier formation nouveaux programmes de terminales

28 Lien entre binomiale et normale
Le théorème qui formalise ce constat est le théorème de Moivre- Laplace (TML). On centre et on réduit On obtient Zn Xn suit B(n;p) TML converge Approxim° On ne pouvait pas se contenter de prendre Fn=Xn/n car , si E(Fn)=1/n*E(Xn) = p ne dépend pas de n, en revanche V(Fn) = 1/n²*V(Xn) = pq/n dépend de n. Z qui suit N(0 ; 1) Y qui suit N (np; npq) Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

29 FLUCTUATION ET CONFIANCE
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30 Second théorème du programme
Si Z suit N(0 ; 1) alors pour tout réel α [0 ; 1], il existe un réel u tel que P(-u<Z< u ) =1- f(x) = On remplace un intervalle [a,b] quelconque par un intervalle symétrique [-u,u] formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

31 Second théorème du programme
On cherche un intervalle I=[-u ; u] tel que P(Z  I)=1- où Z suit N(0 ;1) I est un intervalle de fluctuation au seuil de 1-α pour une V.A. qui suit la loi normale standard N(0 ; 1) . U existe car fonction continue strictement croissante (TVI) formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

32 Application à l’intervalle de fluctuation pour une v. a
Application à l’intervalle de fluctuation pour une v.a. qui suit B(n,p)  un réel donné et u le réel tel que P(-u<Z< u ) =1- où Z suit N(0 ; 1) Si Xn suit B(n ; p) et Fn = Xn/n et In l’intervalle : d’après le théorème de Moivre-Laplace, on aura : Donc pour n « assez grand » on a : P(Fn In) ≃ 1 -  In est un intervalle de fluctuation dit asymptotique au seuil 1-, Remarques : on peut aussi interpréter Xn/n comme moyenne. Niveau de confiance et seuil de risque ne sont pas les termes employés dans le programme. Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

33 Intervalle de fluctuation pour la loi normale N(0 ; 1) au seuil de 95%
α = 0,05 Uα ≃ 1,96 Comme la loi est continue, on peut obtenir exactement p(FIF)=0,95, u0,05 P(F[-u0,05 ; u0,05]) = 0,95 P(F[-1,96 ; 1,96])≃>0,95 formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

34 Intervalle de fluctuation pour une v. a
Intervalle de fluctuation pour une v.a. qui suit B(n ; p) au seuil de 95% α = 0,05 uα ≃ 1,96 Comme la loi est continue, on peut obtenir exactement p(FIF)=0,95, u0,05 u0,05 ≃ 1,96 on en déduit au seuil de 95% formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

35 Intervalle de fluctuation pour une v. a
Intervalle de fluctuation pour une v.a. qui suit B(n ; p) au seuil de 95% Pour p et n fixé on devrait plutôt parler d’intervalle approché. Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

36 Intervalles de fluctuation avec la loi N( ; ²)
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37 Différents intervalles de fluctuation possibles
. intervalle unilatéral à droite: IF = [A;1] avec A tel que p(f A)  0,95 ou p(f<A)  0,05 Intervalle d’amplitude minimale intervalle bilatéral (on symétrise les risques): IF = [A;B] avec A tel que p(f <A)  0,025 et B tel que p(f>B)  0,025 intervalle centré sur p : IF = [p-e;p+e] p(p-e<f<p+e)  0,95 2de - term Il est peu pertinent de prendre un intervalle d’effectif [a;b] comme le suggère le doc ressource. 1ère formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

38 trois intervalles de fluctuation au seuil de 95%
2nde IF = 1ère Sa détermination nécessite un tableur ou un algorithme Term. formule Pas de formule formation nouveaux programmes de terminales Faire remarquer aussi le centré sur p (2de et term) / bilatéral (1ère) formule Formation nouveaux programmes de Terminales

39 trois intervalles de fluctuation au seuil de 95%
2nde Pas de base théorique : simulations approximation de l’IF de terminale  contraintes : n 25 et 0,2<p<0,8 1ère Base théorique : loi binomiale sans contraintes sur n et p Term. Base théorique : TML Intervalle asymptotique  contraintes : n 30 et np5 et n(1-p)5 Environ 95% Au moins 95% formation nouveaux programmes de terminales Sans contrainte définies mais il n’est pas utilisé pour n’importe quelle valeur par les statisticiens Environ 95% Formation nouveaux programmes de Terminales

40 Un exemple : Etude du surpoids
4. On veut réaliser une étude plus précise en réalisant un échantillon de taille Dans l’échantillon prélevé pour cette étude on observe :  Cet échantillon est-il représentatif ? L’étude montre que dans cet échantillon 32% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. Remarque l’IC de sconde est celui qui est privilégié encore en classe de terminale formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

41 Un exemple : Etude du surpoids
4. On veut réaliser une étude plus précise en réalisant un échantillon de taille Dans l’échantillon prélevé pour cette étude on observe : Intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 on a p=0,46 et n =1200 donc np >5 IFH = [0,46-1,96x0,014; 0,46-1,96x0,014] =[0,43;0,49] Or fH ≃ 0,46 et fH  IFH donc l’échantillon est représentatif. De même IFV =[0,158;0,202] et fV ≃ 0,207 et fH IFH donc l’échantillon n’est pas représentatif. L’étude montre que dans cet échantillon 32% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. [0,32-1/rac(1200) ; 0,32 +1/rac(1200)]≃[0,29 ; 0,35] Donc au niveau de confiance de 0,95 p [0,29 ; 0,35] Remarque l’IC de sconde est celui qui est privilégié encore en classe de terminale formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

42 Bilan : Intervalle de confiance
f la fréquence observée sur un échantillon de taille n. Si n  30, nf  5 et n(1-f)  5 Un intervalle de confiance IC au niveau de confiance de 95% est et on a P( pIC) ≃ 0,95. Pour n et f déterminés, on parlera d’une fourchette de sondage. f est un estimateur de p Formation nouveaux programmes de Terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

43 Détermination de l’intervalle de confiance par lecture des abaques
Fréquence observée fn formation nouveaux programmes de terminales

44 Détermination de l’intervalle de confiance par lecture des abaques
Fréquence observée fn Intervalle de confiance formation nouveaux programmes de terminales

45 A quoi servent les sondages
x E Extraction d ’un échantillon x P Étude sur l ’échantillon x E Extrapolation à la population Formation nouveaux programmes de Terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

46 Statistiques inférentielles
l’ECHANTILLONNAGE au lycée Échantillonnage Population Je connais p, j’en déduis f Échantillon Proportion p Fréquence f Statistiques inférentielles Je connais f, j’en déduis p formation nouveaux programmes de terminales

47 APPLICATIONS DE L’ECHANTILLLONNAGE
Théorie des tests, quand on dispose d’une hypothèse sur p Théorie de l'estimation, quand on ne connait pas p. fréquence f sur un échantillon de taille n Intervalle de fluctuation Rejet ou non de l’hypothèse sur p Toute valeur de f est un estimateur de p. fréquence f sur un échantillon de taille n Intervalle de confiance Estimation de p Formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

48 Prise de décision : un exemple
Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaag, située au Canada à proximité d’industries chimiques, il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. Ces observations sont-elles le fruit du hasard ? Règle de décision : Si f  IF c’est le fruit du hasard, sinon ce n’est pas le fruit du hasard. On a f = 46/132 ≃ 0,35 et IFasyptotique =[0,42 ; 0,60] Donc ce n’est pas le fruit du hasard Hypothèse vraie Hypothèse fausse J’accepte l’hypothèse 1 -  β Je rejette l’hypothèse α 1-β Formation nouveaux programmes de Terminales

49 Conclusion : pourquoi les statistiques?
Le statisticien est une personne qui préfère les vrais doutes aux fausses certitudes. Je sais que je me trompe, mais je peux quantifier mon erreur. Vrais doutes = formation nouveaux programmes de terminales Formation nouveaux programmes de Terminales

50 Quels types d’exercices en terminale
La situation est modélisée par une loi normale On connait μ et σ, on calcule une probabilité On connait μ, σ et p, on détermine x tel que P(X<x) = p On connait x et p, on détermine μ et σ La situation est modélisée par une loi binomiale On connait μ et p, on cherche la précision ε telle que P(X[μ- ε ; μ + ε]) = p en approximant par une loi normale Avec une loi normale ou binomiale Prise de décision avec IF asymptotique Estimation de p avec IC seconde Détermination de la précision d’une estimation. Présentation d’extraits du florilège Formation nouveaux programmes de Terminales Formation nouveaux programmes de Terminales