Pour tout entier n,n est entier ou irrationnel Un beau théorème absent de larithmétique dEuclide (Livres 7 à 9 des Éléments)

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1 Pour tout entier n,n est entier ou irrationnel Un beau théorème absent de larithmétique dEuclide (Livres 7 à 9 des Éléments)

2 I - L irrationalit é de n n est entier ou irrationnel 1 - 2 et la « crise » des quantit é s irrationnelles Si 2 é tait un rapport de deux entiers, la diagonale et le côt é d un carr é seraient mesur é s par une même unit é (i.e. en seraient des multiples entiers). On pourrait alors construire un carr é de côt é plus petit que la moiti é du pr é c é dent et qui serait mesur é par cette même unit é. On peut refaire cette construction jusqu à obtenir une longueur mesur é e par une unit é plus grande qu elle ! (Cf. la d é monstration d Euclide, Livre X, prop. 117). Preuve d Aristote : 2 ne peut pas être le carr é d un rapport d entiers. En effet, si deux entiers a et b é taient dans un rapport irr é ductible (i.e. sans diviseur commun) tel que a 2 = 2b 2, a serait un nombre pair (car le carr é d un nombre impair est impair) et 2b 2 serait multiple de 4. b serait donc pair et 2 serait diviseur commun de a et b !

3 I - L irrationalit é de n n est entier ou irrationnel 2 - G é n é ralisations ? Th é odore de Cyr è ne (460-369) avait obtenu l irrationalit é de 3 et 5 Platon (428-347) dans le dialogue du Th éé th è te: « Th é odore que voici nous avait trac é quelques figures à propos de racines et nous avait montr é que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont point pour la longueur commensurables avec celle d'un pied, et, les prenant ainsi, l'une apr è s l'autre, il é tait all é jusqu' à celle de dix-sept pieds et il s' é tait, je ne sais pourquoi, arrêt é l à ». La question g é n é rale de l irrationalit é de n é tait à la port é e des Grecs, tous les arguments n é cessaires sont rassembl é s dans le Livre VII des É l é ments d Euclide (prop. 20 à 32), pourtant le r é sultat g é n é ral n y figure pas.

4 I - L irrationalit é de n n est entier ou irrationnel 3 - D é monstration de la propri é t é, pr é requis : Elle s appuie sur le th é or è me dit « de Gauss » suivant : Soient a, b, c trois entiers naturels. Si a est premier avec b et si a divise le produit bc, alors a divise c. On utilisera seulement cette cons é quence imm é diate, pr é sente dans les É l é ments (Livre VII, prop. 25) : (1) Si p est un nombre premier divisant a 2, alors p divise a. On y trouve aussi (prop. 32) que : (2) pour tout entier non premier b > 1, il existe un diviseur premier de b. Enfin (prop. 20 à 22) que : (3) tout rationnel peut être repr é sent é par une fraction irr é ductible unique.

5 I - L irrationalit é de n n est entier ou irrationnel 3 - D é monstration de la propri é t é : - Supposons que n soit rationnel non entier, - Ce rationnel peut donc être repr é sent é par la fraction irr é ductible a/b, avec b > 1 (3). - a et b sont donc deux entiers premiers entre eux, tels que a 2 = nb 2. - Soit p un diviseur premier de b (2). - p divise a 2 et donc divise a (1). - a et b ayant p pour diviseur commun, ne seraient pas premiers entre eux ! - rejet de l hypoth è se absurde: si n n est pas entier, il ne peut être rationnel.

6 II - Arithm é tique dans les É l é ments d Euclide. n est entier ou irrationnel 1 - La division euclidienne Pour Euclide, toute l'arithm é tique dans IN* repose sur cette division naturelle, non é nonc é e dans les É l é ments : Pour tout couple d'entiers non nuls (a, b) tels que a b, il existe un couple unique d'entiers (q, r) tels que: a = b q + r, avec q 1 et 0 r < b. R é sultat obtenu simplement en retranchant b de a autant de fois q qu'il est possible. Le reste r est donc strictement inf é rieur à b, sinon on pourrait enlever b de a – b q une fois de plus. 2 - L algorithme d Euclide (Livre VII, prop. 1) : « Deux nombres in é gaux é tant propos é s et le plus petit é tant retranch é du plus grand de fa ç on r é it é r é e et en alternance, si le reste ne mesure jamais le [reste] pr é c é dent jusqu à ce qu il subsiste une unit é, les nombres initiaux seront premiers entre eux ».

7 II - Arithm é tique dans les É l é ments d Euclide. n est entier ou irrationnel Avec les propositions 2 à 12 du Livre VII, Euclide é tudie les propri é t é s de la divisibilit é, et celles des proportions avec les propositions 13 à 19. Proportion : Deux couples d entiers (a, b) et (c, d) sont en proportion si et seulement si a d = b c (prop. 19). Euclide dit qu ils sont en « même raison », ou « dans le même rapport ». (Pour nous : ils d é finissent un même rationnel). 3 - La r é duction des fractions Proposition 20, la cl é : « Les plus petits nombres parmi ceux qui ont le même rapport qu eux mesurent ceux qui ont le même rapport autant de fois, le plus grand le plus grand et le plus petit le plus petit ». Traduction: Si a et b sont deux entiers non nuls et si pour tout (c, d) formant avec (a, b) une proportion on a a c et b d, alors il existe un entier q tel que c = q a et d = q b.

8 II - Arithm é tique dans les É l é ments d Euclide. n est entier ou irrationnel 3 - La r é duction des fractions Proposition 21, la bonne remarque : « Les nombres premiers entre eux sont les plus petits parmi ceux qui ont le même rapport qu eux ». Proposition 22, r é ciproque : « Les nombres les plus petits parmi ceux qui sont dans le même rapport qu eux sont premiers entre eux ». Synth è se: le th é or è me d Euclide : Soient (a, b) et (c, d) deux couples d entiers non nuls en même rapport (a d = b c). Si a et b sont premiers entre eux, alors c et d sont é quimultiples de a et b (i.e. il existe un entier q tel que c = a q et d = b q). Interpr é tation moderne: Tout nombre rationnel repr é sent é par une fraction c/d, peut être repr é sent é par une fraction irr é ductible unique a/b avec c = aq et d = bq, o ù q est le p.g.c.d. de c et d).

9 II - Arithm é tique dans les É l é ments d Euclide. n est entier ou irrationnel 4 - Cons é quence directe : le th é or è me dit « de Gauss » – Supposons que a divise b c et que a est premier avec b. – Il existe donc d non nul tel que a d = b c. – a et b sont premiers entre eux dans le même rapport que (c, d). – D apr è s le th é or è me d Euclide, a divise c. 5 - Les é nonc é s d Euclide : Proposition 24 : Si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec b c. Cas particulier (proposition 25): Si a est premier avec b, alors a est premier avec b 2. Cons é quence contrapos é e pour a premier : Si p premier divise b 2, alors p divise b. Th é or è me de Gauss pour a premier (proposition 30) : « Si deux nombres se multipliant l un l autre produisent un certain [nombre] et si un certain nombre premier mesure leur produit, il mesurera aussi l un des nombres initiaux. » Si p est un nombre premier et si il divise le produit b c, il divise b ou il divise c