Chapitre VII :Commande par retour d’état

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1 Chapitre VII :Commande par retour d’état
VII-1 Introduction VII-2 Méthode de placement des Pôles VII-3 Régulation et asservissement par retour d’état VII-4 Reconstructeur d’état

2 VII-1 Introduction La commande par retour d'état consiste à utiliser le vecteur d’état en contre réaction pour améliorer le comportement propre du processus. Dans le cas d’un commande analogique le schéma général pourra être le suivant : e(t) ou consigne + + Système quelconque C(p) s(t) - - L Exemple Prenons le cas d’un moteur à courant continu approximé au premier ordre (la constante de temps électrique étant négligée)

3 Si nous effectuons une correction classique avec un correcteur proportionnel par exemple, nous constatons que le correcteur permet de régler la pulsation caractéristique en imposant le facteur d’amortissement ou vice-versa. + - Examinons maintenant le cas où l’on conserve le correcteur proportionnel et l’on rajoute une contre réaction tachymétrique : + + - - L Dans cette configuration, on s’aperçoit que la pulsation caractéristique n’a pas changé et surtout qu’il est possible à l’aide des paramètres L et KC de choisir indépendant les caractéristiques du système (facteur d’amortissement, temps de réponse, …)

4 Équations du système bouclé
Principe La loi de commande u(t) peut être une combinaison linéaire des variables d’état et de la consigne (ou entrée). Partant d’un système d’ordre n (p entrées et q sorties) : On lui adresse : Équations du système bouclé La matrice L n’altère que la matrice dynamique. L permettra donc de régler la dynamique pure du système La matrice V n’altère que la matrice de commande. V permettra de changer les entrées mais généralement on prend V=I Remarques : Si l’on veut utiliser ce type de commande, on doit répondre à deux questions 1 - Problème d’observabilité : On a besoin du vecteur d’état : est-il observable? Sinon, peut-on le reconstruire? IL FAUT DONC S’ASSURER QUE LE SYSTEME EST OBSERVABLE

5 IL FAUT DONC S’ASSURER QUE LE SYSTEME EST COMMANDABLE
2 - Problème de commandabilité : Est-il possible de commander le vecteur d’état à partir de l’entrée? IL FAUT DONC S’ASSURER QUE LE SYSTEME EST COMMANDABLE VII-2 Méthode de placement des Pôles But : fixer ou déplacer les valeurs propres d’un système suivant les caractéristiques voulues. Remarque : nous supposerons que les systèmes sont observable et commandable. Cas Monovariables + Système quelconque Le système schématisé ci-contre est décrit par les équations suivantes : - L la loi de commande est la suivante : La transmittance de la boucle fermée est :

6 Donc les pôles de Fb(p) sont les racines du polynôme :
Le système étudié F(p) peut se mettre sous la forme : Si on écrit la première réalisation compagne du système : La nouvelle matrice compagne du système en boucle fermé est :

7 Par conséquent la transmittance en boucle fermé est:
Après avoir choisi les pôles de Fb (p1, p2, …, pn), il suffira d’identifier les deux expressions suivantes pour déterminer les li : Cas Multivariables : exemple du déplacement d’une valeur propre Au départ on a : Le système possède n valeurs propres 1 à n.

8 On se place en représentation diagonale, d’état z :
La loi de commande s’écrit : Le système en boucle fermée est : M : matrice modale de A La matrice b n’a aucune raison d’être diagonale. On veut déplacer i en i. Pour résoudre ce problème i devrait apparaître dans b. Ceci est possible si BdLM ne possède qu’une colonne non nulle à la position i Le déterminant de b reste égale au produit des termes de la diagonale.

9 On veut que BdLM ne possède qu’une seule colonne non nulle à la position i :
Il suffit donc que LM ne possède qu’une seule colonne non nulle à la position i On sait que : ième ligne de I ième position Finalement :

10 Solution du problème : Placer i en i
On cherche un vecteur ki tel que : une infinité de solution en k, donc on impose n-1 composantes de k On choisit finalement : Cas particulier mono-variable  k est scalaire

11 VII-3 Régulation et asservissement par retour d’état
Principe Pour un système à q sorties si, on crée un vecteur consigne ou entrée e de taille q. Dans la loi de commande doit apparaître la quantité e-s. On se place dans une représentation ou les sorties sont les premières variables d’états : On utilise la loi de commande : Avec V égale aux q premières colonnes de L Structure de commande - + Système quelconque A, B, C - L

12 Cas monovariable (u et e sont des scalaires)
Le retour d’état n’a aucun pouvoir sur les qualités d’un système. Solution : On place autant d’intégrateur que d’erreur stationnaires à annuler On obtient finalement un système augmenté d’une variable d’état. Intégrateur - + Système quelconque A, B, C - L Calcul de L Etat augmenté :

13 La loi de commande s’écrit :
On calcule la matrice de dynamique du système augmenté bouclé : Finalement on identifie Det(pI-Ab) au dénominateur de son choix.

14 VII-4 Reconstructeur d’état
Dans les paragraphes précédents la connaissance du vecteur d’état x est nécessaire pour le fonctionnement des différentes méthodes, malheureusement il n’est pas toujours accessible ou avec une précision suffisante. La solution est de "Reconstruire" le vecteur d’état à d’un dispositif appelé "Reconstructeur d'état" ou encore "Observateur" L'observation d'un système d'ordre n d'équations est un système linéaire dont les entrées sont u et s, et la sortie est une estimation de x arbitrairement proche de x Si z est l'état de l'observateur : DO peut exister si certaines composantes de s sont des variables d'états. Dans certains cas si les si sont variables d'états il n'y a que n-q xi à estimer.  Observateur d'ordre ou de taille réduite On dit que l'observateur est d'ordre plein si toutes les variables d'état sont à estimer.  n = dim(x) = dim(z)

15 BO constitue l'organe de réglage de l'observateur
Observateur identité : On prend CO = I L'état estimé est celui de l'observateur Observateur identité d'ordre plein (de Luenberger) : Pas d'équation d'observation : L'état estimé peut s'écrire : On a aussi : x, u et  sont indépendantes : BO constitue l'organe de réglage de l'observateur

16 Simulation du système à observer
+ + + s BO C - + A L'observateur est une simulation du système à observer recevant la même entrée u et dont la sortie est asservie (en commande proportionnelle de gain BO) à la sortie s du système. L'erreur d'observation : On règle BO de manière a ce que ait des valeurs propres : Et de manière à ce que l'observateur soit plus rapide que le système à observer.

17 Exemple cas continu : Soit le système du 2nd ordre : Simulation du système à observer : 1/2 1/4 - - + + u 1/2 + +   + s -

18 Réglage de l'observateur, détermination de  et :
On veut que cet observateur soit 10 fois plus rapide que le système à observer. Détermination des temps caractéristiques du système à observer:  Système apériodique de constante de temps 2 sec et 4 sec. On peut choisir par exemple pour l'observateur, qui est un 2nd ordre, 1 pôle double associé à une constante de temps de 0.2 sec. Observateur désiré

19 La simulation peut se faire analogiquement ou numériquement
Réalisation de l'observateur : On calcul sa matrice de transfert : Ceci nous permet de ne sortir ou estimer seulement que la variable La simulation peut se faire analogiquement ou numériquement s + + u