Mathématiques des Modèles Impulsionnels de Neurones Romain Brette INSERM U483.

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1 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ brette@ccr.jussieu.fr Mathématiques des Modèles Impulsionnels de Neurones Romain Brette INSERM U483

2 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Le neurone Les neurones communiquent par impulsions électriques (potentiels daction).

3 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Modèles impulsionnels Impulsions impulsions

4 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Modèles impulsionnels Variable continue impulsions (encodeur)

5 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Formulation générale 1) Une équation différentielle: 2) Un mécanisme de réinitialisation: impulsion quand V > seuil

6 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Exemples Modèle de Lapicque (1907): L. Lapicque, J physiol pathol gen 9, 620-635 (1907)

7 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Exemples Modèle à conductances synaptiques:

8 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Modèles à fuite with i.e. Vf(V,t) est décroissante Modèle à conductances synaptiques: Le modèle de Lapicque (1907): Exemples:

9 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Lapplication impulsionnelle

10 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Lapplication impulsionnelle : temps dune impulsion temps de limpulsion suivante Dynamique en temps continu du modèle impulsionnel = dynamique en temps discret de lapplication impulsionnelle

11 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ La fréquence de décharge dépend-elle de la condition initiale t ? non si φ est croissante

12 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ est-elle croissante ? est localement croissante en t si f(0,t)>0 est localement décroissante en t if f(0,t)<0

13 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ est croissante sur son image (modèles à fuite) t Si t est dans limage de : f(1,t)0 et Vf(V,t) décroissante (fuite) implique: f(0,t)>0 Donc: est localement croissante en t En fait: est strictement croissante sur son image Conséquence: la fréquence est indépendante de la condition initiale

14 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Continuité de lapplication impulsionnelle est continue en t if f(1, (t))>0

15 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Continuité de lapplication impulsionnelle intervalle sans impulsions

16 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Dérivée de lapplication impulsionnelle Théorème des fonctions implicites: Exemple: modèle de Lapicque

17 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Stimulations périodiques

18 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Stimulations périodiques avec f(V,t+T)=f(V,t) Alors φ(t+T)= φ(t)+T

19 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Homéomorphismes du cercle Or φ est strictement croissante sur son image (modèle à fuite): cest le relèvement dun homéomorphisme du cercle (si continue) ou dune application du cercle conservant lorientation (sinon) Nombre de rotation = inverse de la fréquence de décharge (pour T=1) (Poincaré, Denjoy) Nombre de rotation rationnel: orbite périodique stable Nombre de rotation irrationnel: orbite dense dans le cercle ou dans un Cantor

20 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Accrochage de phase Nombre de rotation rationnel: « accrochage de phase »

21 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Application impulsionnelle continue vs. discontinue φ discontinue => accrochage de phase p.s. (Veerman) φ C 1 => orbite dense avec proba>0 (Herman)

22 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Conjectures Si φ t est une famille continue dapplications du cercle conservant lorientation (continue avec la topologie de Hausdorff sur les graphes), alors pour presque tout t, le nombre de rotation de φ t est rationnel. Si φ a un nombre de rotation rationnel, alors φ+petit bruit a une seule orbite stable (dans la limite bruit petit).

23 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Fiabilité neuronale

24 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Reproductibilité des temps dimpulsion Z. Mainen, T. Sejnowski, Science 268, 1503-1506 (1995) La réponse du neurone à un courant constant nest pas reproductible

25 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Reproductibilité des temps dimpulsion Z. Mainen, T. Sejnowski, Science 268, 1503-1506 (1995) La réponse du neurone à un courant variable est reproductible

26 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Reproductibilité des impulsions dynamique instable dynamique stable / convergence

27 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Lien avec la synchronisation Des neurones qui reçoivent le même stimulus dynamique se synchronisent, même sils sont au départ dans des états différents.

28 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Fiabilité et discontinuités de lapplication impulsionnelle intervalle sans impulsions

29 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Fiabilité et discontinuités de lapplication impulsionnelle - zones colorées: zones interdites - zone blanche: zone atteignable par une solution - trajectoire discontinue: exemple de solution du modèle

30 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Première piste Proportion de trous dans φ n ([0,t]) = Proportion de trous dans φ n ([0,+[) = Idée: montrer que Remarque: où λ(t) = exposant de Lyapunov

31 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Autres pistes On considère le problème sur laxe du potentiel (V); on observe lévolution de la distribution de V au cours du temps: entropie produit dapplications du cercle aléatoires (V(t n ) V(t n+1 )) EDP de transport

32 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Détection de coïncidences

33 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Détection de coïncidences Un neurone est sensible aux fluctuations de son entrée, i.e., la fréquence de décharge en réponse à un courant I(t) est plus grande que celle en réponse à un courant constant de même moyenne. Et dans les modèles impulsionnels? Comparer les fréquences de décharge de et avec =0 pour tout V (F fonction croissante de λ ?)

34 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Modèles impulsionnels stochastiques

35 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Un modèle stochastique simple Ex. 1: φ(t)-t = temps darrêt (intervalle entre deux impulsions successives) Distribution de φ-id en fonction des paramètres ? Fiabilité ? (à ω fixé) Distribution de V (lien avec EDP de Fokker-Planck)

36 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Un modèle stochastique plus compliqué Ex. 2: avec g g+δ aléatoirement selon un processus de Poisson (g(t)=« shot noise ») Mêmes questions Quelle est la fonction de corrélation entre les impulsions postsynaptiques (en V) et présynaptiques (en g) ?

37 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Synchronisation avec V un vecteur de R n et A une matrice constante et V i (t+)=0 si V i (t)=1 Corrélations entre les impulsions ? (pour 2 neurones i et j)

38 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Dynamique de populations

39 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Population homogène Soit f(t)dt la proportion de neurones qui émettent une impulsion dans lintervalle [t,t+dt], et g(t) lentrée commune. Alors pour un neurone i: Comment évolue f(t) ? Y a-t-il synchronisation ? Propriétés dergocité ? (lien avec les EDPs)

40 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Simulation numérique

41 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Modèles à conductances exponentielles Avec g i g i + δ ij à linstant t ij. Objectif: calculer rapidement la suite des temps dimpulsions Idem avec un bruit ξ(t) ajouté à g i (t).

42 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Méthodes expérimentales

43 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Mesures in vivo On veut déterminer: C (capacité membranaire) (conductance moyenne) sans trop perturber le système

44 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Mesures in vivo Idée: on injecte un petit courant: I(t) est constant sur un pas de temps [t n,t n+1 ] (de durée h) On choisit I n = variables aléatoires i.i.d. Alors: Problème: il faudrait évaluer pour plusieurs valeurs de h

45 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Mesures in vivo Idée: dans [t n,t n+1 ], on injecte soit I n =I n-1 avec probabilité p soit I n = variable aléatoire indépendante avec probabilité (1-p) Alors si on note N p ={n|I n-1 I n =I n+1 =…=I n+p-1 I n+p }: Problèmes: comment choisir p ? comment estimer optimalement C et la conductance ? comment estimer lerreur ?

46 http://www.snv.jussieu.fr/brette/ Publications Résultats généraux: Brette, R. Dynamics of one-dimensional spiking neuron models. J Math Biol 48, 38-56 (2004). Nombre de rotation pour des applications discontinues: Brette, R. Rotation numbers of discontinuous orientation-preserving circle maps. Set-Valued Analysis 11, 359-371 (2003). Fiabilité: Brette, R. & Guigon, E. Reliability of spike timing is a general property of spiking model neurons. Neural comput 15, 279-308 (2003). Simulation numérique: Brette, R. Event-driven simulation of integrate-and-fire neurons with exponential synaptic conductances. Submitted (2004).