Leçon 59 Problèmes conduisant à la résolution d'équations différentielles.

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1 Leçon 59 Problèmes conduisant à la résolution d'équations différentielles

2 Loi de refroidissement de Newton La loi de refroidissement de Newton s'énonce ainsi : "La vitesse de refroidissement d'un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant". On suppose que la température de l'air ambiant est constante égale à 25°C. Dans ces conditions, la température d'un corps passe de 100°C à 70°C en 15 minutes. Au bout de combien de temps se trouvera-t-il à 40°C ?

3 On injecte une dose d'une substance médicamenteuse dans le sang à l'instant t=0 (t exprimé en heures). On note Q(t) la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t, exprimée en unités adaptées. A l'instant t=0, on injecte par piqûre intraveineuse une dose de 1,8 unité. On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu'elle est ensuite progressivement éliminée. On admet que ce processus d'élimination se traduit par l'équation différentielle : Q'(t)=-λ.Q(t) où λ est un nombre qui sera déterminé expérimentalement. 1) Montrer que Q(t)=1,8 exp(-λt). Montrer que l'équation exp(-λ)=0,7 admet une solution unique dont on donnera une approximation. En déduire une valeur approchée à 10^-4 près de λ, sachant qu'au bout de d'une heure la quantité de substance présente dans le sang a diminué de 30%. Dose de médicament

4 2)Étudier le sens de variation de Q pour t >=0. 3)Donner une valeur décimale approchée à 10^-2 du temps au bout duquel la quantité de substance a diminuée de moitié. 4) On décide de réinjecter une dose analogue à l'instant t=1 puis aux instants t=2, t=3, … On note R_n la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t=n, dès que la nouvelle injection est faite. a- Montrer que R_1=1,8+0,7.1,8. b- Soit (u_n) la suite définie par u_n=R_(n) – 6. Montrer que la suite (u_n) est une suite géométrique. En déduire u_n en fonction de n, puis établir que, pour tout entier naturel n, on a R_(n+1)=6(1-0,7^(n+1)). c- Déterminer la limite de R_n quand n tend vers + ∞.

5 Dispositif de suspension Un dispositif de suspension amortie est représenter sur le schéma ci- dessous. On désigne par x(t) l'expression en fonction du temps t de la distance du plateau au sol (en cm) et on appelle débattement de la suspension la différence entre la plus grande et la plus petite valeur atteinte par x(t) lorsque t est supérieur ou égal à 0. Les lois de la mécanique permettent d 'établir que la fonction x, supposée deux fois dérivables pour t>=0 doit être solution de l'E.D. : x''+6x'+25x=400 (*) où : 6 correspond à la masse suspendue ; 25 est la raideur du ressort ; 400 la puissance des amortisseurs.

6 On veut déterminer une solution de (*). 1) Déterminer la solution générale de l'équation sans second membre de X''+6X+25X=0. 2) Montrer que l'E.D. (*) possède une solution constante C que l'on déterminera. 3) En déduire l'expression de la fonction qui à t associe x(t) sachant qu'à l'instant t=0, le plateau est immobilisée à 20 cm au dessus du sol. 4) Montrer que x(t) a une limite finie lorsque t tend vers + ∞ que l'on déterminera. 5) On modifie le dispositif en remplaçant le ressort par un autre et on obtient alors l'E.D. x''+10x'+25x=400 (E). Que deviennent alors les réponses aux questions précédentes ? En déduire le débattement de la suspension.

7 Décharge d'un condensateur dans une bobine Dans un circuit on dispose d'un condensateur de capacité C=10^-4 F, une bobine d'inductance L=0,5H et d'une résistance R=100 Ω. On montre en physique que dans un tel circuit, la tension u aux bornes du condensateur pendant sa décharge est une fonction du temps (en s) qui vérifié l'E.D. : LC.u''(t)+RC.u'(t)+u(t)=0 (*). 1) Établir que (*) peut s'écrire u''+200u'+20000u=0 (E). 2) a- Déterminer sur [0 ; +∞[ la solution générale de (E). b- On suppose qu'à l'instant t=0, on a u(0)=50 et u'(0)=-5000. Montrer que la fonction u solution de (E) avec ces conditions initiales a pour expression u(t)=50.exp(-100t).cos(100t). 3) a- Établir le tableau de variations de la fonction u et la représenter graphiquement dans l'intervalle [0 ; 0,04]. Indication : on montrera que u('t)=-5000.sqrt(2).exp(-100t).cos(100t- (pi/4)). b- Montrer que la limite de u(t) lorsque t tend vers +∞ est 0.