Table des matières Arithmétique Algèbre Géométrie Statistique Probabilité La résolution de problèmes Clique sur cette image pour aller à Netmaths pour.

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2 Table des matières Arithmétique Algèbre Géométrie Statistique Probabilité La résolution de problèmes Clique sur cette image pour aller à Netmaths pour pratiquer Capsule calcul mental Attention pour Netmaths Retour à la page précédente

3 Travailler avec Netmaths Attention, il faut toujours travailler dans 1 er cycle du secondaire. Retour à la table des matières Retour à la page précédente

4 La résolution de problèmes Consulter les étapes pour m’aider à résoudre des problèmes. Consulter les étapes pour m’aider à résoudre des problèmes. M’exercer à résoudre des problèmes Retour à la table des matières Retour à la page précédente

5 Exercices de résolution de problèmes Jeu des chevilles Mastermind La fausse monnaie Vider des contenus Retour à la table des matières Retour à la page précédente

6 La résolution de problèmes Retour à la table des matières Retour à la page précédente  Stratégies de compréhension du problème. (J’comprend rien!)Stratégies de compréhension du problème.  Stratégies d’organisation des données du problème. (J’sais pas comment faire!)Stratégies d’organisation des données du problème.  Stratégies de résolution du problème. (Quelles notions vais-je utiliser?)Stratégies de résolution du problème.  Présentation de ma solution. (Y-a-t-il seulement des nombres et calculs?)Présentation de ma solution.  Valider les différents résultats obtenus dans mon problème. (C’tu correct?)Valider les différents résultats obtenus dans mon problème. Voici les différentes étapes nécessaires à la résolution de problèmes. Tu dois parcourir ces étapes dans l’ordre qu’elles te sont présentées. (Tu ne dois pas essayer de résoudre le problème avant de bien le comprendre) Avant de demander de l’aide, il faut explorer le problème avec ces étapes de résolution.

7 Comprendre Boite à outils Utiliser un marqueur. Utiliser une feuille brouillon pour dégager les informations pertinentes. Utiliser les dictionnaires pour connaître la signification des mots. Vérifier du vocabulaire sur Internet. (Google)(Google) Boite à trucs Souligner les mots importants. Identifier la question. Lire les phrases une à la fois et dégager les informations importantes après chaque phrase. Réécrire la question dans ses propres mots. Retour à la table des matières Retour à la page précédente On se questionne (page suivante)

8 On se questionne Avant de demander à mon enseignant, est-ce que : Je connais le sujet principal du problème? J’ai ciblé les mots ou expressions que je ne connais pas? J’ai écris les données importantes que je comprends? Y a-t-il des mots ou expression faisant référence à des opérations mathématiques?opérations mathématiques Retour à la table des matières Retour à la page précédente

9 Organisation Boite à outils Utiliser de la couleur. Utiliser une feuille brouillon pour tenter une partie de solution. Utiliser des feuilles quadrillées ou une règle pour mesurer ou faire des graphiques. Utiliser GéoGébra pour faire des dessins. Boite à trucs Identifie ce que tu sais et ce que tu cherche. Fais un dessin, un tableau, un graphique. Numérote les étapes que tu compte faire. Regrouper des informations ayant les mêmes unités. Retour à la table des matières Retour à la page précédente

10 Résolution Boite à outils Utilise des feuilles brouillons Utilise des marqueurs Boite à trucs Avant d’effectuer un calcul, j’estime le résultat. J’écris les étapes pour résoudre le problème. Retour à la table des matières Retour à la page précédente

11 Validation On se questionne Ai-je répondu à la question? Ai-je vérifié mes calculs? Est-ce que je suis capable d’expliquer mon raisonnement? Est-ce que mes résultats ont du sens dans la situation? (est-ce que c’est réaliste?) Retour à la table des matières Retour à la page précédente

12 Communication Boite à outils Utiliser de la couleur. Utiliser des feuilles quadrillées pour présenter des tableaux ou des graphiques. Boite à trucs Placer les étapes de résolution en ordre (tu peux les numéroter). Ne pas oublier d’identifier par des mots ce que chaque calcul représente. Identifier la réponse clairement. Expliquer et justifier les étapes de ta résolution (si nécessaire). Retour à la table des matières Retour à la page précédente La communication est une étape essentielle pour bien te faire comprendre.

13 Les nombres rationnels (Q) Les nombres décimaux (à virgule) Les fractions Les pourcentages Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente

14 Arithmétique Retour à la table des matières Retour à la page précédente Naturels (N) 2 135 456 19 874 Entiers (Z) -3 -126 -44 -763 -32 Rationnels (Q) -3,25 1,2 ¼-2½ 34% Réel (R) Irrationnels (IQ) 22

15 Un nombre naturel c’est…  Des chiffres pour former des nombres. Des chiffres pour former des nombres. Il existe différentes sortes de nombres. Les nombres les plus simples et les plus utilisés sont les nombres naturels. On utilise le symbole N pour identifier cet ensemble de nombres. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,..., 46, 47, 48, 49,..., 300 102, 300 103, …} N* = {1, 2, 3, 4, 5,...} (Les nombres naturels sans zéro) Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

16 Chiffres Les chiffres sont les symboles utilisés en mathématique pour écrire les nombres. Dans notre système de numération, il y en a ___  ________________________. Donc, 12 n’est pas un chiffre, mais bien un __________. Un __________ est un objet mathématique qui représente une quantité. Comme on utilise les lettres pour former des mots, on utilise les __________ pour former des nombres. Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente La graphie de nos chiffres vient des ARABES. Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés avant notre ère Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés avant notre ère. (N) 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9 nombre chiffres

17 Les nombres décimaux (à virgule) Lecture et écriture des nombres décimaux Tableau des positions Forme développée Comparer ( ou =) Ordonner des nombres Arrondir (  ) Arrondir (  ) Opérations (+, -, X,  ) Opérations (+, -, X,  ) Notation scientifique Transformer des décimaux en fractions ou en pourcentage Retour à la table des matières Retour à la page précédente NOTE : Les zéros que l’on ajoute à la fin du nombre dans la partie décimale ne change pas la valeur du nombre. Exemples Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Q)

18 Exemples Ex.1 835,4 = 835,400 Ex. 2 -46,2008 = -46,200 800 00 Ex. 3 0,5 = 0,500 000 000 000 000 000 Ex. 4 0000000005,7 = 5,7 Retour à la page précédente (Q)

19 Lecture et écriture des décimaux Pour lire un nombre décimal, on doit : 1. lire la partie entière; 2. dire « et » lorsqu’on rencontre la virgule; 3. lire la partie décimale en mentionnant à la fin le nom de la position occupée par le dernier chiffre.nom de la position chiffre Ex. : 2 3 4, 2 7 lire : deux cent trente-quatre et vingt-sept centièmes. Partie entière VirgulePartie décimale Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Q)

20 Tableau des positions Retour à la table des matières Retour à la page précédente Chaque position vaut 10 fois la valeur de la position située immédiatement à sa droite. Retour à la table des matières Retour à la page précédente Puissances de 10 (Q)

21 Forme développée La forme développée d’un nombre est une écriture qui permet de mettre en évidence la valeur de chacun des chiffres de ce nombre.des chiffres Pour les nombres aussi, la valeur associée à un chiffre dépend de sa position.position On peut donc écrire un nombre décimal sous sa forme développée. Ex. : 21 453 = 2×10 000 + 1×1000 + 4×100 + 5×10 + 3×1 46 129,5873 = 4×10 000 + 6×1000 + 1×100 + 2×10 + 9×1 + 5×0,1 + 8×0,01 + 7×0,001 + 3×0,0001 46 129,5873= 4×10 4 + 6×10 3 + 1×10 2 + 2×10 1 9×10 0 + 5×10 -1 + 8×10 -2 + 7×10 -3 +3×10 -4 La deuxième forme développée est en notation exponentielle.notation exponentielle Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Q)

22 Comparer ( ou =) Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente > Signifie « est supérieur à » ou « est plus grand que » ex.: 3 > 2 < Signifie « est inférieur à » ou « est plus petit que » ex.: 11 < 20 Pour comparer des nombres entre eux, on compare position par positionposition en commençant par la gauche. Attention! Il faut aligner les virgules. Ex. : Compare 49,271 et 49,25 :4 9, 2 7 1 4 9, 2 5 NOTE : Pour les nombres négatifs, plus ils sont éloignés de zéro, plus ils sont petits. (Exemple avec des négatifs)Exemple avec des négatifs 7 > 5 alors 49,271 > 49,25 > (Q)

23 Ordonner des nombres Lister en ordre croissant Placer des nombres du plus petit au plus grand. Exemple: 23, 67, 79, 124, 857. Lister en ordre décroissant Placer les nombres du plus grand au plus petit. Exemple: 354, 56, 32, 13, 3. Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Q)

24 Arrondir (  ) Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente Voici les étapes à suivre pour arrondir un nombre à une position donnée.position 1.Repérer le chiffre représentant l’ordre de grandeur.chiffre 2.Regarder le chiffre qui suit (chiffre à droite). 3.Si le chiffre à droite du nombre à arrondir est inférieur à 5, laisser le chiffre à arrondir tel quel. S’il est supérieur ou égal à 5, ajouter 1 au chiffre à arrondir. 4.Compléter en remplaçant par des zéros les chiffres qui suivent. NOTE : Les zéros que l’on ajoute à la fin du nombre dans la partie décimale ne change pas la valeur du nombre. Exemples Ex.: Si on arrondit 5327 à la centaine près, on obtient ______. Si on arrondit 7483 à l’unité de mille près, on obtient _____. Si on arrondit 595 à la dizaine près, on obtient _____. Si on arrondit 34, 578 au centième près, on obtient ______. (Q) 5300 7000 600 34,58

25 Opérations (+, -, X,  ) Addition (+) Soustraction (-) Multiplication (X) Division (  ) Division (  ) Égalité (=) Priorités des opérations Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

26 Addition (+) a  b = c - On appelle ________ le résultat d’une addition. - a et b sont appelés les ________. - (mots clés : additionner, ajouter, augmenter, …) - Exemple: La somme de 4 et 6 est ___ (N) Retour à la table des matières Retour à la page précédente somme termes 10

27 Soustraction (-) a  b = c - On appelle ____________ le résultat d’une soustraction. - a et b sont appelés les _________. - (mots clés : soustraire, retrancher, enlever, retirer, diminuer, …) - Exemple:La ___________ entre 10 et 7 est ____. (N) Retour à la table des matières Retour à la page précédente différence termes différence 3

28 Multiplication (X) a  b = c - On appelle _________ le résultat d’une multiplication. - a et b sont appelés les facteurs.facteurs - (mots clés : multiplier, doubler…) - Exemple: Le _________ de 4 et 6 est ____. (N) Retour à la table des matières Retour à la page précédente produit 24

29 Division (  ) (N) Retour à la table des matières Retour à la page précédente a  b = c -On appelle _________ le résultat d’une division. -a est appelé le _________ et b, le diviseur.diviseur -Au lieu du symbole  on utilise parfois le trait horizontal pour représenter une division. -ex : = 9 ou 135  15 = 9 -(mots clés : diviser, partager, …) 135 15 quotient dividende

30 Égalité (=) Le symbole = signifie …est égal à… Le signe d’égalité agit comme une balance Il se place entre des opérations mathématiques qui ont la même valeur. a)15  10 = 5  1 b) 121 + 19 = 120 + 20 = 140 c) 152 + 266  420 d) 16 x 25 = 4 x 4 x 25 e) 2 + 5  7 – 1 = 6 f) 32 x 75 = 8 x 4 x 25 x 3 = 4 x 25 x 8 x 3 Le signe d’égalité agit comme une balance Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

31 Capsule calcul mental Commutativité (+ et x) Associativité (+ et x) Distributivité Élément neutre Élément absorbant Divisibilité des nombres Retour à la table des matières Retour à la page précédente

32 Commutativité (+ et x) Retour à la table des matières Retour à la page précédente PROPRIÉTÉSSTRATÉGIES DE CALCUL MENTAL pour l’addition et la multiplication COMMUTATIVITÉ a  b = b  a 3  4 = 4  3 a x b = b x a 5  2 = 2  5 Changer l’ordre des opérations sans modifier le résultat. Exemple: Trouve la somme mentalement: 1 999 + 45 + 180 + 55 + 1 + 20 Résultat: 1999 + 1 + 180 + 20 + 45 + 55 = 2300 Exemple: Trouve le produit mentalement: 25 x 500 x 4 x 2 Résultat: 25 x 4 x 500 x 2 = 100 000

33 Associativité (+ et x) Retour à la table des matières Retour à la page précédente PROPRIÉTÉSSTRATÉGIES DE CALCUL MENTAL pour l’addition et la multiplication Associativité a  (b  c ) = (a  b)  c 6 + (994  98 ) = (6 + 994)  98 a x ( b x c) = (a x b) x c 5 x ( 200 x 44) = (5 x 200) x 44 Changer l’ordre des parenthèses sans modifier le résultat. Exemple: Trouve la somme mentalement: (26 + 1 ) + 99 Résultat: 26 + (1 + 99) = 126 Exemple: Trouve le produit mentalement: 32 x 25 x 4 Résultat: 32 x (25 x 4) = 3200

34 Distributivité Retour à la table des matières Retour à la page précédente PROPRIÉTÉSSTRATÉGIES DE CALCUL MENTAL Distributivité a  (b  c) = a  b  a  c 3  (4  8) = 3  4 + 3  8 a  (b  c) = a  b  a  c 5  (3  1) = 5  3  5  1 Distribuer la multiplication sur l’addition ou sur la soustraction sans modifier le résultat. Exemple:52 x 21 = 52 x (20 + 1) = 52 x 20 + 52 x 1 = 1040 + 52 = 1092 Exemple: 6 x 98 = 6 x (100 - 2) = 6 x 100 – 6 x 2 = 600 - 12 = 588

35 Élément neutre Retour à la table des matières Retour à la page précédente PROPRIÉTÉSSTRATÉGIES DE CALCUL MENTAL pour l’addition et la multiplication Élément neutre a  0 = a 3 + 0 = 3 a  1 = a 5  1 = 5 Nombre qui n’ a aucun effet sur le résultat. Pour l’addition, l’élément neutre est 0. 0 + 60 + 45 + 198 + 0 + 55 + 2 + 40 = 60 + 40 + 198 + 2 + 45 + 55 = 400 Pour la multiplication, l’élément neutre est 1. 12 x 1 x 12 x 25 x 4 x 1 = 12 x 12 x 25 x 4 = 14 400 Comme dans le sport, l’arbitre est un élément neutre. Il ne doit pas avoir un effet sur le résultat!

36 Élément absorbant Retour à la table des matières Retour à la page précédente PROPRIÉTÉSSTRATÉGIES DE CALCUL MENTAL pour la multiplication Élément absorbant a x 0 = 0 153 897 x 0 = 0 Le résultat de tout nombre multiplié par 0 est toujours 0. 12 x 10 x 20 x 5 x 0 x 11 x 9 = 0 Les essuie-tout sont très absorbant. Ils absorbent tout et ne laisse rien (0).

37 Transformer des décimaux en fractions ou en pourcentage Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Q)

38 Algèbre Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente

39 Les nombres naturels (N) Retour à la table des matières Retour à la page précédente  Qu’est-ce qu’un nombre naturel?Qu’est-ce qu’un nombre naturel?  Opérations sur les nombres (+, -, X,  )Opérations sur les nombres (+, -, X,  )  Notation exponentielleNotation exponentielle  Divisibilité des nombresDivisibilité des nombres  Factorisation premièreFactorisation première  PGCD et PPCMPGCDPPCM  Priorités des opérationsPriorités des opérations

40 Notation exponentielle Qu’est-ce qu’une notation exponentielle? La base est 1 ou 10 L’exposant est 0 ou 1 Au carré et au cube La notation scientifique Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

41 Notation exponentielle (def.) La notation exponentielle est une façon abrégée d’écrire une multiplication répétée d’un même nombre. Ex. : 3  3  3  3  3 = 3 5  produit de cinq facteurs de trois.facteurs Dans l’expression 3 5 = 2433 est appelé la 5 est appelé 243 est appelé la Algébriquement : Si a, n et b sont des nombres naturels :nombres naturels la notation exponentielle s’écrit algébriquement a n = b. a est appelé la (le nombre que l’on répète) n est appelé (le nombre de fois que l’on répète le facteur)facteur b est appelé la (le résultat de l’expression exponentielle). Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente base l’exposant puissance base l’exposant puissance (N)

42 Exemples 3 2 = ____  ____ = ____ 5 3 = 1 4 = ____  ____  ____  ____ = ____ 9 1 = ___ 4 2 = ____  ____ = ____  y 5 = ATTENTION! : 2 3 ne veut pas dire 2  3 mais 3 3 9 5 x 5 x 5 = 125 1 1 1 11 9 4 4 16 y x y x y x y x y = y 5 2 X 2 x 2 = 8 Retour à la table des matières Retour à la page précédente Exposant … explosant … (N)

43 Cas particuliers (Base) La base est 1, la puissance est égale à ___ 1 6 = ___  ___  ___  ___  ___  ___ = ___ La base est 10, le nombre de zéros dans la puissance est égale à ___________. 10 3 = ____  ____  ____ = _______ 10 6 = ___________ 10 4 = __________ 10 2 = __________ 10 0 = __________ 10 1 = __________ Retour à la table des matières Retour à la page précédente 1 1 1 1 1 1 1 1 l’exposant 10 1000 1 000 000 10 000 1 100 10 (N)

44 Cas particuliers (Exposant) L’exposant est 1, la puissance est égale à la _________. ex: 10 1 = ______ 15 1 = ______8 1 = ______ a 1 = ___ L’exposant est 0 la puissance est TOUJOURS égale à ____ sauf si la base est 0. 0 0 = __________________________ ex: 10 0 = ______ 15 0 = ______ 8 0 = ______ 0 0 = ____ n 0 = 1 (si n __ 0) n 0 = impossible (si n __ 0) Retour à la table des matières Retour à la page précédente base 10 15 8 a 1 N’existe pas (  ) 1 1 1   = (N)

45 Carré ou cube L’exposant est 2, la puissance est appelée un nombre carré car on peut associer ce nombre à l’aire d’un carré. Ex:5 2 se lit « 5 au carré » ou «cinq exposant 2» 36 est un nombre carré car 6 2 = 36 64 est un nombre carré car ______ L’exposant est 3, la puissance est appelée un nombre cube car on peut associer ce nombre au volume d’un cube. Ex:5 3 se lit « 5 au cube» ou «cinq exposant 3» 8 est un nombre cube car 2 3 = 8 64 est un nombre cube car ______ Retour à la table des matières Retour à la page précédente 8 2 = 64 4 3 = 64 (N)

46 Notation scientifique Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente La notation scientifique simplifie l’écriture des gros nombres ou des très petits. Pour exprimer un nombre en notation scientifique, il faut : 1.Déplacer la virgule (vers la gauche ou vers la droite) pour obtenir un nombre de 1 à 9 inclus. 2.Multiplier ce nombre par la puissance de 10 correspondante au déplacement de la virgule.puissance Ex.: a) Transformer 143 000 en notation scientifique. 143 000 = 1,43 × _____ b) Transformer 0,0231 en notation scientifique. 0,0231 = 2,31 × _____ NOTE:  Déplacement de la virgule vers la droite : exposant négatif.  Déplacement de la virgule vers la gauche : exposant positif. 10 5 10 -2 (Q)

47 Divisibilité Retour à la table des matières Retour à la page précédente Un nombre est divisible par: 2 Si le chiffre des unités est un nombre pair.chiffreunités 3 Si la somme de ses chiffres est divisible par 3.somme 4 Si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. 5 Si le chiffre des unités est 0 ou 5. 6 S’il est divisible par 2 et 3. 9 Si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 10 Si le dernier chiffre est 0. 12 S’il est divisible par 3 et 4. 25 Si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 25. (N)

48 Diviseur DIVISEURS:Les diviseurs d’un nombre sont les nombres naturels qui le divisent sans reste.nombres naturels Ex: Les diviseurs de 15 sont: 1, 3, 5 et 15 Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

49 Pair et Impair NOMBRES PAIRS:Nombres qui se divise par 2. ex: 0, 2, 4, 6, 8, 10, … NOMBRES IMPAIRS Nombres qui ne sont pas divisible par 2. ex: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

50 Factorisation première Décomposition d’un nombre sous forme d’une multiplication de facteurs premiers.facteurs premiers La factorisation première d’un nombre est unique. On utilise la factorisation première pour voir de quoi est fait le nombre. ex : 90 = 2  3  3  5 (2, 3 et 5 sont tous des nombres premiers)nombres premiers Retour à la table des matières Retour à la page précédente 3 90 910 253 3 90 245 59 3 Utilise des trucs de divisibilité Un site pour t’aider à faire de la factorisation première. (N)

51 Facteurs FACTEURS:Les facteurs d’un nombre sont les nombres qui font le nombre lorsqu’il sont multipliés. Ex: 12 et 5 sont des facteurs de 60 car 12 x 5 = 60 FACTEUR PREMIER: Dans une multiplication, facteurs qui est un nombre premier.nombre premier. Ex: Dans 2 x 2 x 3 = 12 les nombres 2 et 3 sont les facteurs premiers du nombre 12. Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

52 Nombre premier Nombre premier:Nombre naturel supérieur à 1 et qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.diviseurs ex: 17 est un nombre premier, car ses diviseurs sont 1 et 17. Nombre composé:Nombre qui a plus de deux diviseurs.diviseurs ex: 18 est un nombre composé car ses diviseurs sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N) Crible d’Ératosthène 1 Crible d’Ératosthène 2

53 PGCD On peut utiliser la factorisation première pour trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux ou de plusieurs nombres.factorisation première diviseur Pour trouver le PGCD(126, 270), il faut effectuer la factorisation première de ces deux nombres. Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N) Ensuite, il trouver le produit de tous les diviseurs communs. X X 2 3 3 = 18 Donc le PGCD(126, 270)= 18 Clique ici pour t’exercer à trouver des PGCD et des PPCM Pour un autre exemple avec une méthode différente.

54 PGCD (Suite) Pour trouver le PGCD de 135 et 324: 1-Faire l’arbre des facteurs premiers de 135 et 324. 2-Placer les facteurs premiers obtenus au bon endroit dans les ensembles suivants: 3-Donc le PGCD(135, 324) = 3 x 3 x 3 = 27 Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N) Clique ici pour t’exercer à trouver des PGCD et des PPCM

55 PPCM On peut utiliser la factorisation première pour trouver le plus petit commun multiple (PPCM) de deux ou plusieurs nombres.factorisation première multiple Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N) Pour trouver le PPCM de 135 et 324: 1-Faire l’arbre des facteurs premiers de 135 et 324. 2-Placer les facteurs premiers obtenus au bon endroit dans les ensembles suivants: 3-Donc le PPCM(135, 324) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 = 1620 Clique ici pour t’exercer à trouver des PGCD et des PPCM

56 PPCM (Suite) Pour trouver le PPCM de 135 et 324: 1- Énumérer les multiples de chaque nombre jusqu’à ce qu’on trouve le plus petit commun multiple différent de 0: Mult(135) = {0, 135, 270, 405, 540, 675, 810, 945, 1080, 1215, 1350, 1485, 1620… Mult(324) = {0, 324, 648, 972, 1296, 1620, … 2- Le PPCM(135, 324)= 1620 Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N) Clique ici pour t’exercer à trouver des PGCD et des PPCM

57 Multiples Multiples: Tous les produits qu’on obtient quand on multiplie ce nombre par tous les nombres naturels.produitsnombres naturels. Note: Zéro est un multiple de tous les nombres. Exemples: les multiples de 5 sont: mult(5) = {0, 5, 10, 15, 20, …} Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N)

58 PRIORITÉS DES OPÉRATIONS: Les opérations n’ont pas toutes la même priorité. Elles fixent l’ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées dans une chaîne d’opérations. Chaîne d’opérations: Une chaîne d’opérations permet d’écrire en une seule ligne les calculs à effectuer pour résoudre un problème. Une stratégie efficace pour calculer une chaîne d’opérations consiste à faire une seule opération à la fois tout en réécrivant le reste de l’expression. 1. Effectuer les ________________________ 2. Les __________________ 3. Les ____________ et les _____________ dans l’ordre rencontré. 4. Les ____________ et les _____________ dans l’ordre rencontré. Priorités des opérations Retour à la table des matières Retour à la page précédente (N) Opérations entre parenthèses exposants multiplications divisions additions soustractions

59 Les pourcentages Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente

60 Les nombres entiers (Z) Droite numérique avec les entiers Le plan cartésien Opérations avec les nombres entiers Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z) Le symbole de cet ensemble ____ est la première lettre du mot allemand Zahl qui signifie ____________. Les nombres entiers {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} font partie de l’ensemble ____. Ce sont des nombres qui ne sont pas partagés, divisés ou séparés. Ce sont les nombres qui représentent un tout, autant positif que négatif. Donc, ______ est inclus dans ______. Z entier Z Z N

61 Comparer des nombres entiers Ex2:-140 > -148 car –140 se trouve plus près de zéro que –148 sur la droite numérique. Zéro se trouve à droite Retour à la table des matières Retour à la page précédente Pour représenter l’ordre dans les nombres ont peut aussi utiliser la droite numérique. La flèche placée à l’extrémité droite indique le sens dans lequel les nombres augmentent. 15-25 Ex1:Gradue mentalement la droite suivante. (Q)(Z)

62 Le plan cartésien Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z) Un plan cartésien est un système de repérage formé de deux droites numériques qui se coupent perpendiculairement (90°). René Descartes 1596-1650 Clique ici pour d’autres définitions concernant le plan cartésien. Clique ici pour t’exercer un peu!

63 Plan cartésien (suite) Retour à la table des matières Retour à la page précédente NOMDÉFINITION Le point d’intersection des deux droites. Les deux droites graduées partagent le plan cartésien en quatre parties. (Nom des parties formées) Les deux nombres décrivant la position d’un point dans le plan cartésien. Nom du premier nombre décrivant la position d’un point. Nom du deuxième nombre décrivant la position d’un point. Autre nom de l’axe des x. Autre nom de l’axe des y. Origine Quadrant Coordonnées Abscisse Ordonnée Abscisse Ordonnée Clique ici pour mieux comprendre. (Z) Positionner un point dans le plan cartésien

64 (Z) Retour à la table des matières Retour à la page précédente

65 Opérations avec entiers Nombres opposés Addition (+) Soustraction (-) Multiplication (X) Division (  ) Division (  ) Exponentiation (exposant) Priorités des opérations Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z) Moyenne

66 Nombres opposés Des opposés sont deux nombres de signes contraires. On traduit le signe « - » par le mot __________________. Sur la droite numérique, chaque nombre à un opposé situé à la même distance du zéro. Exemples -2 se lit « l’opposé de 2» - (-9) se lit « l’opposé de l’opposé de 9» - ( - ( -3)) = ______ - ( - ( - 6 )) = _______ l’opposé de a = _____ Quel est l’opposé de 0 ?______ Quel signe correspond à un nombre pair de signes opposés ?_________ Quel signe correspond à un nombre impair de signes opposés ?_________ Si n = -4, que vaut -(-(-n))__________ Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z) 0156 -4-2 -3-534 2 Opposé -3 -6 -a 0 + - 4

67 Addition des entiers Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z) La somme de deux entiers négatifs est un entier _________________ ex. : -8 + -9 = __________ La somme d’un entier positif et un entier négatif est soit ___________ ou ___________ ex. : -12 + 3 = __________ ex. : 12 + -3 = __________ La somme de deux entiers positifs est un entier ________________ ex. : 8 + 12 = __________ positif 20 négatif -17 positifnégatif -9 9

68 Soustraction des entiers Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z) Soustraire un nombre revient à ______________ son _____________ Ex. :a) 4  10 = ______ + ______ = ______ b) 9  4 = ______ + ______ = ______ c) -5  -8 =______ + ______ = ______ d) -9  10 = ______ + ______ = ______ additionner opposé 4 -10 -6 9 -4 5 -5 8 3 -9 -10 -19

69 Multiplication des entiers Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z) Résumé : Quand on multiplie deux nombres de mêmes signes, le produit est __________. Quand on multiplie deux nombres de signes différents, le produit est __________. x = + + +     + positif négatif ++--++--

70 Division des entiers (Z) Résumé : Quand on divise deux nombres de mêmes signes, le quotient est __________. Quand on divise deux nombres de signes différents, le quotient est __________.  = + + +     + positif négatif ++--++-- Retour à la table des matières Retour à la page précédente

71 Exponentiation avec entiers Retour à la table des matières Retour à la page précédente (Z)  Pour l’exponentiation, il faut faire très attention aux parenthèses. Il y a une différence entre -5 2 et (-5) 2. - 5 2 = ___________________ (-4) 3 = _______________________ (-5) 2 = _________________ (-10) 5 = ______________________ - 7 2 = ___________________ (-7) 2 = ______________________ - (5 x 5) = - (25) = -25 - (7 x 7) = - (49) = -49 (-5 x -5) = 25 (-4 x -4 x -4) = -64 (-10 x -10 x -10 x -10 x -10) = -10 000 (-7 x -7) = 49

72 Moyenne Une moyenne est une mesure qui suggère l’idée d’une répartition égale. Moyenne = (somme de toute les données)  (nombre total de données) Exemple: Voici les résultats d’une évaluation corrigée sur 100 réalisé par 10 élèves: 69, 76, 54, 85, 97, 78, 68, 83, 56, 93 La moyenne = (69+ 76 + 54 + 85 + 97 + 78 + 68 + 83 + 56 + 93) / 10 = 759 / 10 = 75,9 Retour à la table des matières Retour à la page précédente

73 Fraction vient du latin fractiones, qui est une traduction de l'arabe kasr, qui signifie rompu. Les fractions Sens de la fraction Fractions équivalentes Fraction réduite (irréductible) Transformer des fractions et des nombres fractionnaires Fractions décimales Droite numérique avec des fractions Comparer des fractions Opérations sur les fractions Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente

74 Sens de la fraction Une fraction représente la séparation (division) d’un tout ou d’une unité. Une fraction s’écrit sous la forme, où a et b sont des _______________ ___________________ b est ≠ 0 car la division par zéro est ____________. Le nombre du haut (a) est appelé le _________________ Le nombre du bas (b) est appelé le __________________ Retour à la table des matières Retour à la page précédente abab nombres entiers impossible numérateur dénominateur Une fraction est une façon d’écrire une division. La barre ou le trait entre le numérateur et le dénominateur a le même sens que le symbole ÷. = 3 ÷ 5 = 0,6 3535

75 Exemple de fraction Exemple: lecture : Cinq huitièmes Représentation : ___ 5 8 Le _______________________ indique en combien le tout ou _________________ est divisé(e). Le ____________________ indique le nombre de parties que l’on prend. numérateur dénominateur l’unité Retour à la table des matières Retour à la page précédente

76 Transformer des fractions et des nombres fractionnaires Retour à la table des matières Retour à la page précédente Nombre fractionnaire Fraction 10 3 Calcul 10  3 = 3,… Donc 3 entiers 3 x 3= 9 10 – 9 = 1 Et il reste 1 3 3 1 5 3434 Les 20 quarts ajouter aux 3 donne en tout 23 quarts + x Dans 5 unités, il y a 20 quarts car 5 x 4 = 20 4 23 En résumé 4 x 5 + 3 = 23 Remarque: Lorsqu’on transforme en nombre fractionnaire ou en fraction le DÉNOMINATEUR NE CHANGE JAMAIS!

77 Fractions équivalentes Retour à la table des matières Retour à la page précédente Fractions qui représentent la même valeur. On obtient des fractions équivalentes en ____________ ou en __________ le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Exemple:9 18 7 35 12 100 Le signe « - » est écrit _________ la fraction ou devant le ________________ ou devant le __________________. multipliant divisant devant numérateur dénominateur x2 5 5 5 5 24 20 == 3 -3 3 = = 4 4 -4 -

78 Fraction réduite (irréductible) Une fraction est irréductible si aucun nombre entier sauf___ peut divisernombre entier à la fois le ________________ et le __________________. On dit alors que la fraction est réduite à sa plus simple expression. Retour à la table des matières Retour à la page précédente Pour réduire une fraction, on peut utiliser les trucs de divisibilité que tu connais ou bien trouver le PGCD du numérateur et du dénominateurtrucs de divisibilitéPGCD Exemples: 126 270 = PGCD(126, 270)= 18 7 15  18 Pour toute fraction non réduite, il y a toujours une fraction équivalente irréductible qui existe. fraction équivalente À toi de la trouver avec les méthodes suggérées! 1 numérateur dénominateur

79 Fractions décimales Retour à la table des matières Retour à la page précédente Fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.puissance de 10 Exemples: 17 10 134 1000 12 100

80 Droite numérique avec des fractions Retour à la table des matières Retour à la page précédente Comme pour les nombres entiers, il est possible de graduer une droite numérique avec les fractions. Il faut d’abord trouver le pas de graduation. 0 1 AD B C E Il y a 5 espaces pour une unité. Donc chaque espace vaut 1/5

81 Comparer des fractions Dénominateur commun: Lorsque deux fractions ont un dénominateur commun, la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Comparer à 0, ½ ou 1: On peut comparer des fractions en les comparant à 0, ½ ou 1. Numérateur commun: Lorsque deux fractions ont un numérateur commun, la fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Retour à la table des matières Retour à la page précédente 3 9 10 < 3 8 7 15 < 8 1 15 2 > 3 1 7 2 < Comme et alors 3 7 5 <

82 Opérations sur les fractions Somme (+) et différence (-) de fractions Produit (X) de fractions Quotient (  ) de fractions Quotient (  ) de fractions Puissance (exposants) de fractions Retour à la table des matières Retour à la page précédente Avant d’effectuer les opérations sur les fractions, il faut toujours transformer les nombres fractionnaires en fractions.transformer les nombres fractionnaires en fractions Toujours donner le résultat avec une fraction irréductible. Si c’est possible, transformer le résultat en nombre fractionnaire. fraction irréductible transformer le résultat en nombre fractionnaire

83 Produit (X) de fractions Pour multiplier des fractions, il suffit de multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Ex: Retour à la table des matières Retour à la page précédente 3 4 5 6 x = 3 x 4 5 x 6 = 12 30 = 2525

84 Quotient (  ) de fractions Pour diviser deux fractions, tu dois multiplier la première fraction par l’inverse de la deuxième fraction.multiplier EX: Retour à la table des matières Retour à la page précédente 3 9 5 10  = = 30 45 = 2323 3 10 5 9 X L’inverse de 9 / 10 est 10 / 9. Il suffit de changer le numérateur pour le dénominateur et le dénominateur pour le numérateur.

85 Somme (+) et différence (-) de fractions Retour à la table des matières Retour à la page précédente 1- Si les fractions n’ont pas le même dénominateur. Il faut trouver des fractions équivalentes ayant le même ________________ 2- Additionner ou soustraire les ________________. (On n’additionne pas les dénominateurs.) Avant d’effectuer les opérations sur les fractions, il faut toujours transformer les nombres fractionnaires en fractions.transformer les nombres fractionnaires en fractions Toujours donner le résultat avec une fraction irréductible. Si c’est possible, transformer le résultat en nombre fractionnaire.fraction irréductibletransformer le résultat en nombre fractionnaire dénominateur numérateur Exemple: 3 1 11 2 + = 22 611 6 + 11 22 = 17 22

86 Puissance (exposants) de fractions Observe les exemples suivants: Retour à la table des matières Retour à la page précédente 3 = 3 4 3 4 3 4 3 4 X X = 3 X 3 X 3 4 X 4 X 4 = 3 4 3 3 27 64 = 2 5 3 = 2 X 2 X 2 5 = 8 5 = 3 5 1 - Lorsque l’exposant est affecté à toute la fraction, c’est la fraction qui se multiplie par elle un certain nombre de fois. - Par contre, lorsque l’exposant est seulement au numérateur ou au dénominateur, c’est seulement celui-ci qui se multiplie par lui-même un certain nombre de fois.

87 Fraction d’un nombre Les mots «de», «du» ou «des» rencontrer lors de résolution de problèmes se traduit par une multiplication. Ex: le quart du tiers équivaut à 1/4 X 1/3 = 1/12 Retour à la table des matières Retour à la page précédente

88 Les pourcentages (%) Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur équivaut à 100. Pour transformer une fraction en pourcentage, on peut appliquer le produit croisé ou les fractions équivalentes.fractions équivalentes Ex: Transforme 24/30 en pourcentage. Retour à la table des matières Retour à la page précédente 24 a 30 100 = a = 100 x 24 / 30 = 80 Donc 24/30 = 80%

89 Statistique Étude statistique Type d’étude statistique Population et échantillon Caractère (sujet de l’étude) Collecte de données Source de biais Représentation graphique Retour à la table des matières Retour à la page précédente

90 Étude statistique Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente Collecte, classement, analyse et interprétation des données statistiques en vue d’en tirer des conclusions et de faire des prévisions. Collecte interprétation Type d’étude statistique

91 Recensement: Étude statistique faisant appel à toute la population.Étude statistique population Sondage: Recherche d’informations sur un sous-ensemble (échantillon) d’une population afin d’en tirer des conclusions sur l’ensemble de la population.échantillon population Retour à la table des matières Retour à la page précédente

92 Population et échantillon Population: Ensemble des êtres, des choses ou des faits qui sont objets de l’étude statistique.objets Échantillon: Sous-ensemble d’une population. L’échantillon est choisi selon une méthode d’échantillonnage.méthode d’échantillonnage Retour à la table des matières Retour à la page précédente

93 Caractère Trait qui caractérise, qui distingue un objet statistique dans son ensemble. C’est le sujet de l’étude statistique. Il existe deux types de caractère:types de caractère Qualitatif Quantitatif (discret ou continu) Retour à la table des matières Retour à la page précédente

94 Type de caractère Qualitatif: Caractère non quantitatif dont les données recueillies sont, par exemple, des mots ou des codes. Exemple: La couleur des yeux, la marque des voitures, le type d’instrument de musique, etc. Quantitatif: Caractère dont les données recueillies sont des nombres. Quantitatif discret: les données sont des nombres entiers. Quantitatif continu: les données sont des nombres réels. Exemple: La taille (continu), le salaire horaire (continu), le nombre de chansons (discret), le nombre de frères et sœurs (discret), etc. Retour à la table des matières Retour à la page précédente

95 Collecte de données Action de recueillir des données destinées à l’étude statistique. Méthodes d’échantillonnage Les procédés utilisés pour la collecte des données sont, entre autres: -L’entrevue téléphonique -Le questionnaire écrit; -L’entrevue en personne; -L’observation directe; -L’observation documentaire; -L’utilisation d’instruments mécaniques ou électroniques. Retour à la table des matières Retour à la page précédente

96 Méthode d’échantillonnage Façon de tirer un échantillon d’une population.échantillon - Méthode aléatoire simpleMéthode aléatoire simple - Méthode systématiqueMéthode systématique Retour à la table des matières Retour à la page précédente

97 Méthode aléatoire simple Choisir au hasard les éléments qui formera l’échantillon. Chaque élément de la population doit avoir la même chance d’être choisi.échantillonpopulation Exemple: Placer dans une boite 500 bulletins comportant le nom de chaque élève et en tirer 100 au hasard. Retour à la table des matières Retour à la page précédente

98 À l’aide d’une liste ordonné de tous les éléments de la population, établir un système (méthode) pour choisir les éléments qui formera l’échantillon.populationéchantillon Exemple: Placer les bulletins des élèves en ordre alphabétique de nom de chaque élève et prendre le bulletin à chaque 10 noms de la liste. Retour à la table des matières Retour à la page précédente Méthode systématique

99 Source de biais Faits ou situation pouvant mener une étude statistique à des conclusions erronées. Exemples: Un échantillon non représentatif de la population; Une mauvaise formulation de la question; Une représentation inadéquate des résultats obtenus; Une erreur de traitement lors de la compilation des données. Retour à la table des matières Retour à la page précédente

100 Diagrammes Retour à la table des matières Retour à la page précédente Diagramme à bandes Diagramme à lignes brisées Diagramme circulaire

101 Probabilité Retour à la table des matières Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente