Journée GéoAlgo /05/2010 IREM

Journée GéoAlgo 2010 7/05/2010 IREM
ALGOBOX

Les points forts d’Algobox Quelques exemples simples
Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX L’auteur d’Algobox Les points forts d’Algobox Quelques exemples simples Des activités qui peuvent être faites par les élèves Conclusion

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX 1. L’auteur
Pascal Brachet est professeur de maths au lycée Bernard Palissy d'Agen. En dehors du travail, il s'intéresse aux logiciels libres, programme… est l'auteur de logiciels Dès avril 2009, après la publication du projet de programme pour la seconde, il pense créer un logiciel dont le cahier des charges serait le suivant : - installable facilement et gratuitement à la fois par les professeurs et les élèves - facile d'utilisation pour tous les débutants (élèves et professeurs) - logiciel qui se concentre sur l'apprentissage des structures de base de l'algorithmique - logiciel qui permettent de tester et d'exécuter les algorithmes - logiciel simple mais assez complet pour traiter tous les algorithmes de niveau lycée - logiciel qui puisse être modifié à loisir par d'autres En juin 2009, il propose une première version limitée. Les réactions des utilisateurs furent favorables. Il poursuivit donc le développement d’Algobox ... Le tout sans aucune décharge horaire et gratuitement (Voilà un saint laïc!!!) Des mises à jour sont depuis régulièrement disponibles, tenant compte des suggestions que nous pouvons lui faire. La dernière version (0.5) est disponible depuis avril

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2. Les points forts Obligation de déclarer les variables

2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine

2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine Possibilité de commentaires, présentation

2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine Possibilité de commentaires, présentation L’algorithme apparaît très structuré

2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine Possibilité de commentaires, présentation L’algorithme apparaît très structuré Erreurs de syntaxe très limité grâce à la rigidité de l’interface: utilisation de boutons, les textes tapés sont réduits à minima.

2. Les points forts

3. Exemples simples Exemple 1 : Afficher la liste des diviseurs d’un entier n strictement positif.

3. Exemples simples Exemple 2 : Tracer (point par point) la courbe d’une fonction périodique. La fonction est x 1 - x² sur [-1;1] et de période 2. La courbe est à tracer dans [-2;5]

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX L’auteur d’Algobox Les points forts d’Algobox Quelques exemples simples Des activités qui peuvent être faites par les élèves Conclusions

4. Activités Activité 1 (seconde) Il faut tracer la parabole y=x² et la droite y=x, puis colorier la partie située entre les deux. On peut colorier avec des segments ou avec des points

4. Activités Activité 1 variante (seconde) Il faut tracer la parabole y=x² et la droite y=x, puis hachurée la partie située entre les deux. Pour hachurer, il faut trouver x1 et x2, solutions de -x+p=x et –x+p=x² x1 = p/2 et x2 = -0,5 + racine(p+0.25) P doit varier de 0 à 2…

4. Activités Activité 2 suite logistique (terminal): Un+1 = k*Un (1-Un) U1[0;1] k [0;4] Les cas où k [0 ;1] (U est décroissante, convergente vers 0) k]1 ;2] (U est monotone, convergente vers 1-1/k) k]2 ;3] (U est « en escargot », convergente vers 1-1/k) sont très classiques, les conjectures sont faciles et les démonstrations sans problèmes… k ]2 ; [ est beaucoup moins classique: il y a deux points d’accumulation démonstrations très difficiles pour un élève de terminal..

4. Activités Activité 2 suite logistique (terminal): Un+1 = k*Un (1-Un) U1[0;1] k [0;4] Le cas k=4 et U1= sin²(p/17) est curieux: la suite est de cycle 4. Mais à cause des erreurs de calculs de la machine, la suite devient chaotique U2= 4*sin²(p/17)(1-sin²(p/17)) = 4sin²(p/17)cos²(p/17) = sin²(2p/17) U3= 4*sin²(2p/17)(1-sin²(2p/17)) = 4sin²(2p/17)cos²(2p/17) = sin²(4p/17) U4= 4*sin²(4p/17)(1-sin²(4p/17)) = sin²(8p/17) U5= sin²(16p/17) = sin²(p/17) = U1

4. Activités Activité 3 Euler sur une équation différentielle (première): y’ = 2xy sur [0;1] y(0)=1 La solution de cette équation est sol(x) = exp(x²).

4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) La méthode: On choisis au hasard n points de ]0;1[² . On compte le nombre k de points situés « sous la courbe » d’équation y=x². Le rapport k/n est une valeur approchée à 1/n près de la probabilité qu’un point pris au hasard dans le carré soit sous la courbe, avec un risque d’erreur de 5%.. En plus, on a: aire du carré * k / n est une valeur approchée de l’aire sous la courbe. Pourquoi: X est la variable aléatoire qui, à chaque point M(x,y) du carré ]0;1[ associe 1 si le point M est sous la courbe (y<x²) et 0 sinon. X suit une loi de Bernouilli avec p=aire sous la courbe = 1/3 Quand on réalise n expériences indépendantes (on choisit au hasard n points M), la variable aléatoire Yn = somme (Xi) suit une loi binomiale B(n,p) d’espérance np =n/3, variance npq=2n/9

4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) Quand n « devient grand », B(n,p) est « proche» de la loi normale d’espérance np et variance npq. Ci-dessous: n=100, p=1/3 Si Zn = Yn / n, Zn suit une loi proche de la loi normale d’espérance p et de variance pq/n, d’écart type s=(p(1-p))/(n). Or (p(1-p))  0,5 quand p est dans [0;1], on a donc s  0,5/n . Pour une loi normale, 95% de l’effectif est entre E-2 s et E+2 s , Donc, on a environ 95% de l’effectif entre p - 1/n et p+1/n. Il en résulte que la méthode de Monte-Carlo, pour un calcul d’aire, donne (pour un nombre de points de ) une valeur approchée de l’aire (erreur relative de 1%) avec un risque d’erreur de 5%.

4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) Activité: Calcul d’aire En utilisant la méthode de Monte Carlo, donner une approximation (à 0,1 près) de l’aire de la surface colorée comprise entre la parabole (y=x²) et la droite (y=2x+1,25). Les coordonnées des points d’intersection sont : (0,5 ; 0,25) et (2,5 ; 6,25). L’aire du rectangle est 18,75. L’erreur de l’approximation de l’aire cherchée par la méthode de Monte-Carlo est 18,75/n doit être inférieur à 0,1, Donc n doit être supérieur à 187,5² Soit n >

4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) Résultats: Calcul d’aire Résultat exact : 4,5

4. Activités Activité 5 Zoomer avec des fonctions affines (seconde) Dans un premier temps, on trace les ensembles {M(x,x), x[0;1]} et {M( x,x²), x[0;1]} Ensuite on trace les ensembles {M(f(x),f(x)), x[0;1]} et {M( f(x),f(x²)), x[0;1]} avec f : x 2x+2. On peut ensuite faire trouver la fonction affine f qui réalise le dessin ci-dessous par exemple.

4. Activités Activité 5 Zoomer avec des fonctions affines (seconde) Même question en un peu plus compliqué (avec 2 fonctions affines f sur les abscisses et g sur les ordonnées)

4. Activités Activité 5 Zoomer avec des fonctions affines (seconde) encore un peu plus compliqué (avec une fonction usuelle f sur les abscisses et une fonction affine sur les ordonnées)

4. Activités Activité 6 une rosace et une frise (seconde) A partir d’un arc de parabole {M(x,x²), x[0;1]}, en utilisant les symétries, on trace une rosace: {M1(x²,x), M2(-x,x²), M3(-x²,x), M4(-x,-x²), M5(-x²,-x), M6(x,-x²), M7(x²,-x), x[0;1]}

4. Activités Activité 6 une frise (seconde) Puis à l’aide de translations, on créé la rosace

4. Activités Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde) Dans un repère orthonormé (O,I,J): On trace le cercle de centre O(0;0) et rayon 100 et le carré [-100;100]². On choisit au hasard un point à coordonnées entières situé à l’intérieur du carré (sens large). Quelle est la probabilité que ce point soit à l’intérieur du carré (sens large)? On trouve que la proba est / 40401

4. Activités Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde) On réalise un échantillonnage de 1600 essais d’un point à coordonnées entières choisi au hasard dans le carré; on veut connaître la fréquence de l’événement « le point est à l’intérieur du disque ». Comparer avec la probabilité du même événement (p = / 40401) : Est-il dans l’intervalle [p-1/1600; p+1/1600] ?

4. Activités Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde) On réalise 200 échantillonnages de 1600 essais chacun en s’intéressant à la fréquence de l’événement « le point est dans le disque ». Représenter graphiquement la fluctuation d’échantillonnage avec l’intervalle de confiance. Combien d’échantillons sont hors de l’intervalle? Quelle pourcentage cela représente-t-il?

4. Activités Activité 8 Evolution d’une population (délire personnel) La population est découpée en 5 tranches d’âge: [0;20[ : « les enfants » [20;40[ : « les reproducteurs » [40;60[ : « les mûrs » [60;80[ : « les retraités » [80;100[ : « les chrysanthèmes » Chaque tranche a son taux de natalité et de mortalité, ainsi que son effectif: TM = [0.6 ; 0.2 ; 0.3 ; 0.4 ; 1] TN = [0 ; 2.4 ; 0.2 ; 0 ; 0] A chaque période k (une génération = 20 ans), chaque tranche d’âge q (q variant de 1 à 5) a son effectif POP[k,q]. On a ainsi: Il ne reste plus qu’à programmer l’évolution de la population totale et la répartition entre génération

4. Activités Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Notes et fréquences: Ajouter une octave c’est multiplier la fréquence par 2: Toutes les notes entre D01 et D02 sont dans l’octave 1 etc. Les différentes notes de la gamme de Pythagore s’obtiennent par ajout de quintes. Ajouter une quinte, c’est multiplier la fréquence par 1,5:

4. Activités Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Gammes: Et on continue ce cycle des quintes. On construit ainsi à partir de DO, à l’aide de 5 quintes ascendantes et 1 quinte descendante, les 7 notes : FA - DO – SOL - RE – LA – MI - SI (notes blanches du piano) C’est la gamme diatonique. Si on ajoute encore des quintes, on obtient 5 autres notes, proches de notes déjà créées: FA# - DO# - SOL# - RE# - LA# - C’est la gamme chromatique de 12 notes Le problème mathématique est de savoir si, en ajoutant des quintes, on peut retomber sur une note déjà créée (voir si le cycle des quintes « boucle »). Ou encore s’il existe q et n entiers non nuls tels que q quintes = n octaves Ou encore si 1,5q = 2n ou encore 3q = 2n+q . Il n’y a évidemment pas de solution (une puissance de 2 ne peut être égale à une puissance de 3) Mais on peut chercher les meilleures solutions approchées pour déterminer le nombre de notes des gammes les plus efficaces .

Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX 4. Activités
Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Les meilleures gammes: Pour chaque octave n variant de 2 à (60 par exemple), on cherche le nombre de quintes q qui est le plus proche: 1,5q  2n . Puis on affichera l’erreur relative Abs(2n - 1,5q)/2n . Meilleurs résultats: 5 quintes: (gamme pentatonique dite »chinoise) DO – SOL – RE – LA – MI (– SI) (SI et DO sont confondus) ou FA# – DO # – SOL # – RE # – LA # ou SOLb – REb – LAb – MIb – SI b (notes noires du piano) 7 quintes: (gamme diatonique) FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI (–FA#) (FA et FA# sont confondus: erreur = 1 dièse) 12 quintes: (gamme chromatique) FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI – FA# – DO # – SOL # – RE # – LA # (–MI #) (FA et MI # sont confondus; erreur = 1 comma) ou SOLb – REb – LAb – MIb – SI b – FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI 17 quintes: SOLb – REb – LAb – MIb – SI b – FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI – FA# – DO # – SOL # – RE # – LA # ( – MI #)

4. Activités Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Une autre méthode: les fractions continuées Résoudre 1,5q  2n revient à q Ln(1,5)  n Ln(2) ou encore q/n  Ln(2) /Ln(1,5) Il faut trouver les meilleurs rationnels q/n approximant x = Ln(2) /Ln(1,5). On trouve : Cela donne les meilleurs rationnels approximant x: On retrouve: quintes  3 octaves  gamme pentatonique quintes  7 octaves  gamme chromatique quintes  31 octaves

4. Activités Activité 10 Des générateurs de loi : loi normale, loi exponentielle (outils) Loi exponentielle La formule « - m ln( random() ) » où random() est le loi uniforme du logiciel, permet de simuler la loi exponentielle de paramètre 1/m (m est l’espérance de la loi) On peut le vérifier sur l’exemple suivant... Loi exponentielle de paramètre 1/3( m=3)

4. Activités Activité 10 Des générateurs de loi : loi normale, loi exponentielle (outils) Loi normale d’espérance m et écart type s La formule « m + (-2 Ln(random) ) * cos(2p*random) » permet de simuler la loi normale N(m,s) - Méthode de Box-Muller. On peut le vérifier sur l’exemple suivant : notes entières au hasard suivant la loi normale N(10,2)...

4. Activités Activité 10 Des générateurs de loi Loi normale d’espérance m et écart type s 2 autres exemples:  1000 pts M(x,y) au hasard, x et y suivent N(0,1)  1000 pts M(r,q) au hasard, r: N(0,1) et q: uniforme sur[0;2p]

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Conclusion Journée GéoAlgo 07/05/2010 IREM ALGOBOX 5. Conclusion
Algobox permet à l’évidence de traiter complètement les algorithmes de seconde et de 1ère. Mais: Quelques manquements pour la classe de Terminale: pas de sous programmes pas de récursivité écran graphique limité: Peu de couleurs, pas de gomme… Modification de la fenêtre graphique dans l’algorithme Pas de tortue logo Sinon on peut quasiment tout faire avec Algobox ….

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