Propriétés de Courbes et Surfaces Marc Neveu. Vecteur Tangent courbe p(u). p u :dérivée par rapport à u En pi le vecteur tangent est p i u vecteur tangent.

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1 Propriétés de Courbes et Surfaces Marc Neveu

2 Vecteur Tangent courbe p(u). p u :dérivée par rapport à u En pi le vecteur tangent est p i u vecteur tangent unitaire droite passant par pi // à ti : q = pi + a ti O titi a t i pipi p i + a t i tangente

3 Plan Normal Plan normal à p(u) au point p i : plan passant par p i et orthogonal à t i équation : (q-p i ).t i = 0 q : point qcq du plan normal. (q-p i ).p i u = 0 avec q = (x,y,z) q pipi titi

4 Normale principale dans le plan normal pointe sur le centre de courbure Plan osculateur défini par p i u et p i uu Module de la projection de p i uu sur p i u on construit le centre de courbure m orthogonal à p i u piupiu  p i u =p i uu piu+piupiu+piu l m piupiu (p i uu.p i u )/|p i u | (p i uu.p i u ).p i u /|p i u | 2 p i uu k i =p i uu -(p i uu.p i u ).p i u /|p i u | 2 O titi nini

5 Plan osculateur equation phph pipi pjpj titi nini

6 Vecteur binormal, Plan rectifiant bi = ti  ni Plan  normale principale (r-pi).ni=0 r = pi + u.ti + v.bi Plan normal Plan osculateur Plan rectifiant b t n  i n i

7 Courbure  i = 1/  i  i est le rayon de courbure Points d’inflexion

8 Plan tangent Normale Plan tangent (q-p).(p u  p v ) = 0 n pvpv pupu q

9 Courbure Normale En p, on construit le plan tangent T, et une droite qcq t passant par p dans ce plan Tous les plans P coupant T et contenant t coupent la surface  famille de courbes paramétriques. Toutes ces courbes passent par p et ont t pour tangente en p. De plus le plan osculateur de n’importe laquelle de ces courbes est le plan P qui contient cette courbe.  une infinité de courbes non planes de S, passant par p, de tangente t en p qui ont P comme plan osculateur. Elles ont toutes –le même centre de courbure, –le même rayon de courbure, –le même vecteur de courbure k, –la même normale principale. La courbe c dans le plan P est une des ces courbes. T P t S du dv k knkn n pvpv pupu q Courbure Normale : k n : projection du vecteur de courbure k sur n : vecteur de courbure normale à la courbe de la surface en p k n = (k. n)n. La composante de k dans la direction de n est la courbure normale de c en p notée  n (  n = k. n)

10 Courbure Principale Parmi tous les P possibles : ceux contenant n Quand on tourne P autour de n, la courbure  n varie  2 valeurs minimale et maximale : courbures normales principales notées  1 et  2. kn= cte  point ombilical. courbures principales = solutions de l’équation : (EG-F 2 )  2 – (EN+GL-2FM)  + (LN- M 2 ) = 0 n

11 Courbure Principale Pour trouver les lignes de courbure principale: –soit h = du/dv. –(EG-F 2 )h 2 – (EN+GL-2FM)h + (LN-M 2 ) = 0 possède 2 racines (une maximum = une direction et une minimum = une direction ) =>directions de courbure principale. Formes fondamentales –première forme fondamentale : I = dp.dp= Edu 2 +Fdudv+Gdv 2 –E = p u.p u,F = p u. p v, G = p v.p v (coefficients de la première forme fondamentale). –seconde forme fondamentale : II = -dp.dn = Ldu 2 +2Mdudv+Ndv 2 –L = -p u.n u, M= -1/2(p u.n v +p v.n u ), N= -p v.n v (coefficients de la seconde forme fondamentale). –L = p uu.n,M = p uv.n, N = p vv.n

12 Courbure Gaussienne, moyenne On appelle courbure Gaussienne K : On appelle courbure moyenne H :

13 Et les maillages? Seulement C0 ! => Approximation : Surface résultante (courbure positive)découpe d'un secteur et recollement découpe d'un segment et recollement d'un secteurSurface résultante (courbure négative)

14 Courbure discrète D’après le Theorema Egregium de Gauss Défaut angulaire : 2 π-  i