Chapitre 2 : Matrice de répartition (S)

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1 Chapitre 2 : Matrice de répartition (S)
Lignes de Transmission ELEC 2360

2 Paramètres S Rappels de théorie des circuits notions associées à un quadripôle matrice d’impédance et d’admittance gain, puissance paramètres S - matrice de répartition définition des paramètres S? Propriétés de la matrice S Méthode de calcul: théorie des graphes et règle de Mason

3 Théorie des circuits A basse fréquence, un quadripôle est caractérisé par des tensions et courants. Les paramètres Z (matrice d’impédance) sont utilisés pour décrire complètement le circuit: V1 = Z11 I1 + Z12 I2 V2 = Z21 I1 + Z22 I2 Z11 Z22 Z12 I2 Z21 I1 I1 I2 V1 V2 + - Z11 Z12 Z21 Z22 Z =

4 Théorie des circuits Z11 Z22 Z12 I2 Z21 I1 I1 I2 V1 V2 + - Z11 = V1/ I1 lorsque I2 = 0 (accès de sortie ouvert) Z12 = V1/ I2 lorsque I1 = 0 (accès d’entrée ouvert) Z22 et Z21 obtenus similairement D’autres matrices sont aussi utilisées pour les quadripoles: matrices Y, H,… Toutes ces matrices utilisent une représentation courant/tension

5 Théorie des circuits Vg
Z11 Z22 Z12 I2 Z21 I1 I1 I2 V1 V2 + - Zg Vg ZL Zin Zout Puissance fournie au quadripôle par le générateur Puissance fournie à la charge par le quadripôle Gain de puissance fournie

6 Théorie des circuits Zg=Rg+jXg ZL=RL+jXL Vg
- Vg ZL=RL+jXL Zg=Rg+jXg Puissance fournie à une charge ZL par un générateur d’impédance Zg Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle est obtenue pour : et est notée puissance disponible

7 Théorie des circuits Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle est obtenue pour :

8 Théorie des circuits Vg Notion de gain transductique:
+ - Z11 Z22 Z12 I2 Z21 I1 I1 I2 V1 V2 Zg Vg ZL Notion de gain transductique: rapport entre la puissance fournie à la charge et la puissance disponible à la source Notion de gain d’insertion: rapport entre la puissance fournie à la charge(Pf2) et la puissance fournie à cette même charge lorsqu’elle est connectée directement au générateur (notée PfL)

9 Intérêt des paramètres S ?
Aux hyperfréquences: longueur des éléments  l théorie des lignes de transmission applicable des ondes de courant, tension doivent être considérées V1= V10 cos (t - z) = Re{V10 exp j(t - z)} il est souvent difficile à ces fréquences de mesurer des courants et/ou des tensions de créer des circuits ouverts ou des courts-circuits Généralisation à des ondes qui sont des racines carrées de Watts

10 Intérêt des paramètres S ?
définition des ondes généralisées: avec Rci = Re{Zci} où: ai est l’onde incidente à l’accès “i” bi est l’onde réfléchie à l’accès “i” Zci est l’impédance de référence au port “i” Les impédances de références sont choisies arbitrairement mais sont généralement prises égales aux impédances caractéristiques des lignes de transmission incidentes aux accès L’onde réfléchie s’annule à l’ “adaptation conjuguée”, c-à-dire lorsque l’impédance que présente le quadripôle à l’accès i est égale au conjugué de l’impédance de référence Zci : Vi = Z*ci Ii I1 I2 V1 V2

11 Intérêt des paramètres S ?
Les paramètres S décrivent complètement un quadripole ou Les paramètres S sont obtenus comme Si l’impédance caractéristique de référence est réelle adaptation conjuguée = adaptation ligne I1 I2 V1 V2 S11 a1 S22 S21 S12 b2 a2 b1 graphe de transfert associé I1 I2 V1 V2 ZL1 ZL2 Sij est obtenu en connectant à l’accès j une charge ZLj = Zcj c’est-à-dire une charge « adaptée » à l’impédance de référence

12 Propriétés particulières
La puissance fournie à l’accès i est Sous forme matricielle: Quadripôle passif et sans pertes: Ptot = 0 Quadripôle passif: Ptot > 0 Quadripôle réciproque: Lien entre matrices S et Z: est définie positive

13 Règle de Mason calcul des fonctions de transfert à partir de la théorie des graphes x y u w r v = z avec D = 1 -  T’ +  T’’ -  T’’’ + … T’ transmittance de boucle T’’ produit 2 à 2 des transmittances de boucles qui ne se touchent pas T’’’ produit 3 à 3 des … N =  Tab Dp Tab chacun des trajets liant y à x Dp calculé comme D, mais pour graphe dont Tab est supprimé

14 Règle de Mason S21 a1 b2 S11 S22 L b1 a2 S12
impédance de charge ZL = Zc I1 I2 V1 V2 a1 b1 S11 S22 S21 L S12 b2 a2 a2 = GL b2 ?? Facteur de réflexion en entrée du quadripôle ??

15 Règle de Mason pour une ligne de transmission
V1 V2 Hypothèses ligne d’impédance caractéristique Zc impédances de références Zci choisies = Zc impédance de charge ZL  Zc a1 e- g L b2 a2 b1 S11 a1 S22 S21 S12 b2 a2 b1 L a2 = GL b2