Mathématiques et statistiques appliquées [...]SA 4146

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1 Mathématiques et statistiques appliquées [...]SA 4146
Antoine MADIGNIER 1

2 Objectifs pédagogiques
Le présent cours répond aux finalités suivantes : permettre aux étudiants de maîtriser l’application d’outils mathématiques et statistiques d’aide à la décision des gestionnaires, principalement à des fins d’évaluation du coût d’opérations de financement à CT et LT, d’analyse de tendance et de prévision de l’activité économique de l’entreprise. 2

3 Ouvrages conseillés Bourbonnais R., Terraza M. (2008), Analyse des séries temporelles. Applications à l’économie et à la gestion, Dunod, 2ème édition. Masiéri W. (2008), Mathématiques financières, Dunod, 2ème édition. Py B. (2007), La statistique sans formule mathématique. Comprendre la logique et maîtriser les outils, Pearson Education France. 3

4 Introduction L’imagination et la mise en œuvre de nouveaux projets impliquent pour l’entreprise d’être en capacité de prévoir l’évolution du secteur concerné, de lever les ressources financières nécessaires. 4

5 de l’environnement économique de l’entreprise
Introduction générale Dans les deux cas, le facteur temps intervient et complique l’exercice : Le futur étant partiellement inconnaissable ➡ Difficulté à prévoir l’évolution de l’environnement économique de l’entreprise des flux de trésorerie des nouveaux projets 5

6 Le passage du temps modifie la valeur de l’argent
Introduction générale Dans les deux cas, le facteur temps intervient et complique l’exercice : Le passage du temps modifie la valeur de l’argent Emprunter pour dépenser aujourd’hui a un coût, celui du temps. 6

7 Introduction générale
L’objet du cours ➡ présentation des principaux outils mathématiques et statistiques qui permettent de calculer le coût des principales opérations de financement de l’entreprise (ch.1. et 2.), d’analyser l’évolution passée des variables économiques clés et d’en prévoir l’évolution future (ch.3.). 7

8 Opérations financières à court terme
Ch.1. - Mathématiques fi. Opérations financières à court terme 8

9 Introduction Avant de présenter les principes des intérêts simples et composés ➥ Rappel : le taux d’intérêt est un prix A court terme, pour l’entreprise, obtenir des moyens de financement ➥ Résoudre des problèmes de trésorerie 9

10 Introduction A court terme, le coût d’un emprunt est calculé à partir d’intérêts simples. ➥ Présentation du principe de l’intérêt simple et ses modes de paiement ➥ Présentation d’une des principales opérations de financement à court terme : l’escompte 10

11 I. Prêt, intérêt et marché des fonds prêtables
Un prêt d’argent est caractérisé par un montant , une durée et une rémunération Deux grands types de prêts proposés par le système financier les prêts bancaires et les prêts obligataires 11

12 Hors système financier
I. Prêt, intérêt et marché des fonds prêtables Hors système financier ➥ prêts proposés par les usuriers à des taux très supérieurs aux taux légaux L’intérêt (I) = rémunération d’un prêt d’argent prix de sa renonciation temporaire à une consommation immédiate Pour le prêteur, l’intérêt = ➥ renonciation à sa « préférence pour le présent » coût de la consommation anticipée que le prêt lui permet de réaliser Pour l’emprunteur, l’intérêt = 12

13 ⚠ Le montant de l’intérêt dépend positivement du capital emprunté C ➡
I. Prêt, intérêt et marché des fonds prêtables Le montant de l’intérêt dépend positivement du capital emprunté C ➡ du taux d’intérêt nominal i et la durée du prêt n Le taux d’intérêt est la variable d’équilibrage des marchés des fonds prêtables ⚠ Comme tout prix flexible, il dépend de la tension entre l’offre et la demande (de fonds prêtables) 13

14 Des marchés et non du marché des fonds prêtables car
I. Prêt, intérêt et marché des fonds prêtables Des marchés et non du marché des fonds prêtables car ➥ marchés du crédit bancaire et marchés financiers des titres obligataires ➥ autant de taux d’intérêt que d’échéances, de « termes » En général, les taux « longs » sont supérieurs aux taux « courts » du fait du risque d’inflation ➥ courbe des taux inversée en période de récession économique ➥ courbe des taux ascendante en période d’expansion économique 14

15 II.1. Principes de l’intérêt simple
II. L’intérêt simple II. L’intérêt simple II.1. Principes de l’intérêt simple ➡ Définition de l’intérêt simple : L’intérêt est dit simple lorsqu’il ne s’ajoute pas au capital pour porter lui-même intérêt. 15

16 ⚠ ➡ La durée de placement peut être exprimée en mois ou en jours
II.1. Principes de l’intérêt simple ➡ La durée de placement peut être exprimée en mois ou en jours • Placement exprimé en mois m : • Placement exprimé en jours j : ⚠ Année comptable v.s. année civile... 16

17 ) d’une série de K placements de conditions
II.1. Principes de l’intérêt simple ) d’une série de K placements de conditions ➡ Le taux d’intérêt moyen (noté doit rapporter le même intérêt total, soit : On peut donc noter : 17

18 II.1. Principes de l’intérêt simple
18

19 II.2. Modes de paiement de l’intérêt simple
II.2.1. L’intérêt post-compté ➡ Paiement des intérêts simples en fin de période avec le remboursement du capital. ➡ Le paiement post-compté ou « terme échu » permet d’introduire les concepts de « valeur actuelle » et « valeur acquise » 19

20 Dans notre exemple initial (1000€ placés à 5% pendant 2 ans),
II.2.1. L’intérêt post-compté Dans notre exemple initial (1000€ placés à 5% pendant 2 ans), la valeur actuelle (i.e. à la période 0) = capital emprunté C0=1000€ la valeur acquise (i.e. à la fin de la durée de l’emprunt) = capital emprunté + intérêts post comptés 20

21 II.2.1. L’intérêt post-compté
soit : = 1100€ 21

22 II.2.2. L’intérêt pré-compté
a) Principe de l’intérêt pré-compté ➡ Paiement des intérêts simples en début de période (ou « terme à échoir ») En début de période, l’emprunteur perçoit le capital C0 - intérêt I 22

23 Dans notre exemple initial (1000€ placés à 5% pendant 2 ans),
la valeur actuelle de l’emprunt : la valeur acquise (i.e. à la fin de la durée de l’emprunt) = capital remboursé, soit 1000€. 23

24 ⚠ Le choix entre intérêts pré- ou post-compté n’est pas neutre. 24

25 b) Taux d’intérêt équivalent (TIE) terme échu - terme à échoir
Le TIE ➡ quel taux d’intérêt calculé sur un capital terme à échoir dont l’intérêt simple serait équivalent à l’intérêt simple post-compté ? 25

26 Soit : ⇔ (5)=(6) : 26

27 Dans notre exemple, on obtient :
27

28 II.3. Exemples d’application
II. L’intérêt simple II.3. Exemples d’application II.3.1. Valeur de réalisation d’une obligation En supposant qu’elle fut émise le 25 octobre 2006, quelle est la valeur à terme d’une Obligation Assimilable du Trésor (OAT) 4% 25 octobre 2014, pour un nominal de 1000€ (1000 obligations de 1€) ? 28

29 II.3.2. Coupon couru d’obligation
II.3. Exemples d’application II.3.2. Coupon couru d’obligation Cette OAT 4% 25 octobre 2014 fut revendue le 30 mai Calculez la valeur du coupon couru. 29

30 II.3.3. Prise en pension de bons du Trésor par la BCE
II.3. Exemples d’application II.3.3. Prise en pension de bons du Trésor par la BCE Afin de répondre à un besoin momentané de liquidités de la part des banques secondaires, la BCE décide de présenter un offre portant sur 50 millions d’euros de bons du Trésor sur une période de 20 jours. La BCE ne retient finalement que 50% des offres à un taux de 3 3/4%. Quel est le coût de la pension pour les banques secondaires ? 30

31 III.1. Principe de l’escompte
III. L’escompte III. L’escompte III.1. Principe de l’escompte Supposons qu’une entreprise A vende en date du 20 mars des marchandises à une entreprise B pour un montant de 4500€ en accordant 2 mois de délai de paiement. ➥ règlement au plus tard le 20 mai. Cependant, il se peut que l’entreprise A ait besoin de ce règlement avant la date de paiement. 31

32 III.1. Principe de l’escompte
➥ L’entreprise A peut solliciter une avance de la part de sa banque en invoquant la créance qu’elle détient sur B. La banque n’acceptera de consentir cette avance de fonds à l’entreprise A qu’à 2 conditions : • L’entreprise A doit justifier l’existence de la créance qu’elle détient sur B par un document écrit : l’effet de commerce ; • L’entreprise A devra payer des intérêts et commissions à la banque en contrepartie. 32

33 ➡ Définition de l’escompte :
III.1. Principe de l’escompte ➡ Définition de l’escompte : Opération de crédit par laquelle une banque met à disposition d’une entreprise porteuse d’un effet de commerce non échu, contre remise de cet effet, le montant de l’effet diminué des intérêts et commissions. Le remboursement du principal est réalisé à échéance par le paiement par B de la dette envers A. 33

34 ⚠ ⚠ ❶ En cas d’impayé de B à échéance,
III.1. Principe de l’escompte ⚠ ❶ En cas d’impayé de B à échéance, la banque se retourne contre le porteur de l’effet, A, qui doit supporter le risque de défaillance de B. ⚠ ❷ La durée de l’escompte est calculée en comptant le nombre exact de jours (en partant du premier jour mais sans compter le dernier). A nouveau, année comptable v.s. année civile... 34

35 III.2. Calculs des escomptes commercial et rationnel à intérêt simple
III. L’escompte III.2. Calculs des escomptes commercial et rationnel à intérêt simple Reprenons notre exemple. Supposons que l’entreprise A sollicite une avance auprès de sa banque le 5 avril en contrepartie de son effet de commerce. 35

36 une valeur nominale C = 4500€,
L’effet de commerce a une valeur nominale C = 4500€, pour date d’échéance le 20 mai. Le 5 avril, l’entreprise A remet à l’escompte, négocie l’effet de commerce auprès de sa banque. De son côté, si la banque accepte de verser l’avance en contrepartie de l’effet de commerce, on dit qu’elle escompte l’effet. 36

37 L’escompte (E) est l’intérêt retenu par la banque.
La valeur actuelle de l’effet (V) est égale à sa valeur nominale, C diminuée de l’escompte E (et des commissions et taxes) ➥ V = C - E Le taux facial de l’escompte (i) = escompte pour 1€ pour 1 an. Notons n la durée de l’escompte (en année). 37

38 III.2.1. Le calcul de l’escompte commercial
L’escompte est dit commercial (ou en « dehors ») lorsqu’il est calculé sur la valeur nominal de l’effet : L’escompte = intérêt simple calculé sur C pendant la durée séparant la date de présentation de l’effet et sa date d’échéance. 38

39 Dans notre exemple, en supposant i = 10% :
où 45 est le nombre de jours séparant le 5 avril du 20 mai : 30-5=25 jours en avril et 20 jours en mai. 39

40 L’escompte est pré-compté :
Le capital versé à l’entreprise A le 5 avril = montant de l’effet diminué de l’escompte = valeur actuelle commerciale de l’effet : A la date d’échéance, l’entreprise B versera les 4500€ au détenteur de l’effet : la banque. 40

41 III.2.2. Le calcul de l’escompte rationnel
Il paraîtrait normal (c/ à la pratique) que l’escompte soit calculé sur la somme effectivement prêtée : V et non C 41

42 Dans ce cas l’escompte est dit « rationnel » et est calculé ainsi :
42

43 Dans notre exemple, on obtient :
⚠ Puisque ➡ lorsque i,n>0 43

44 III.2.3. Un exemple d’application : l’escompte multiple
Une entreprise doit encaisser les deux effets de commerces suivants : 5000€ dans 2 mois et 2500€ dans 3 mois. Le coût global de l’escompte calculé par la banque est de 125€ dont 8,33€ de commissions et taxes. Quel est le taux facial de l’escompte ? 44

45 III.3. Les commissions et taxes
Nous l’avons dit en introduction de section, la retenue réalisée par la banque = l’escompte + commissions + taxes (= TVA) Puisque la TVA est déductible pour l’entreprise, nous nous limiterons aux commissions hors taxes. 45

46 Deux types de commissions sont généralement pratiqués :
la commission proportionnelle au temps la commission indépendante du temps Reprenons notre exemple d’escompte commercial en ajoutant les deux types de commissions. L’effet de commerce a une valeur nominale de C=4500€. 46

47 Taux facial d’escompte : i=10%
En rajoutant les commissions, les conditions de l’escompte deviennent : Taux facial d’escompte : i=10% Commission proportionnelle au temps : i’=0,5% Commission indépendante du temps : k=1/6% Durée de l’escompte : 45 jours 47

48 Nous savons que l’escompte commercial est égal à :
La commission proportionnelle au temps est égale à : Et la commission non proportionnelle au temps est égale à : 48

49 L’escompte augmenté des commissions (hors taxes) est donc égal à :
III.3. Les commissions et taxes L’escompte augmenté des commissions (hors taxes) est donc égal à : 56,25 + 2,81 + 7,5 = 66,56 € La valeur actuelle de l’effet est finalement : ,56 = 4433,44 € La présence des commissions augmente le taux réel de l’escompte (hors taxes) : 49

50 ➥ Taux réel de l’escompte égal à :
III.3. Les commissions et taxes Généralisation : ➥ Taux réel de l’escompte égal à : 50

51 IV. Equivalence d’effets ou de capitaux
Reprenons l’exemple de nos entreprises A et B. Supposons que B n’est pas en mesure de régler sa dette de 4500€ à échéance (le mai), demande à A de reporter l’échéance d’un mois. 51

52 Supposons que A faisait payer le coût de l’escompte à B
IV.1. Equivalence d’effets Supposons que A faisait payer le coût de l’escompte à B ➥ L’achat de marchandises par B = 4438,75€ et non 4500€ : L’entreprise A peut accepter le report d’un mois mais dans ce cas va réévaluer à la hausse le paiement. 52

53 ➥ Détermination du nominal du nouvel effet, au même taux i=10%.
IV.1. Equivalence d’effets ➥ Détermination du nominal du nouvel effet, au même taux i=10%. Règle : Les deux effets doivent être équivalents à la date de renégociation 53

54 Supposons que la date de renégociation de l’effet est le 1er avril.
IV.1. Equivalence d’effets Supposons que la date de renégociation de l’effet est le 1er avril. ➥ A son échéance (20 mai), l’effet initial vaut 4500€. Au 1er avril, sa valeur est donc : 54

55 ➥ Au 1er avril, la valeur du nouvel effet est :
IV.1. Equivalence d’effets ➥ Au 1er avril, la valeur du nouvel effet est : ➥ Les deux effets sont donc équivalents si : 55

56 IV.2. Remplacement de plusieurs effets par un effet unique
IV. Equivalence d’effets ou de capitaux IV.2. Remplacement de plusieurs effets par un effet unique Supposons qu’au total l’entreprise B est débritrice envers A des 3 effets suivants : 4500€ à échéance du 20 mai 10000€ à échéance du 10 juin 7500€ à échéance du 10 juillet 56

57 ➥ Application du principe d’équivalence aux 3 effets :
IV. Equivalence d’effets ou de capitaux Plutôt que de retarder l’échéance du 1er effet au 20 mai (cf. section précédente), supposons que B demande à A de remplacer ces 3 effets par un seul à une échéance plus lointaine : le 20 août. ➥ Application du principe d’équivalence aux 3 effets : 57

58 A la date du 1er avril : • L’effet 1 vaut : • L’effet 2 vaut :
IV. Equivalence d’effets ou de capitaux A la date du 1er avril : • L’effet 1 vaut : • L’effet 2 vaut : • L’effet 3 vaut : • Le nouvel effet vaut : 58

59 La valeur nominale du nouvel effet est donc de :
IV. Equivalence d’effets ou de capitaux La valeur nominale du nouvel effet est donc de : 59