Opérations financières à long terme

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1 Opérations financières à long terme
Ch.2. - Mathématiques fi. Opérations financières à long terme 1

2 Introduction A long terme, l’intérêt composé est préféré à l’intérêt simple. Plan du chapitre : ➥ Principe de l’intérêt composé. ➥ Etude de quelques opérations financières de LT : Escompte à intérêt composé Annuité Amortissement d’emprunt Rentabilité d’investissement 2

3 I.1. Principes de l’intérêt composé
I. L’intérêt composé I. L’intérêt composé I.1. Principes de l’intérêt composé ➡ Définition de l’intérêt composé : L’intérêt est dit composé lorsqu’il est périodiquement ajouté au capital afin de produire lui-même des intérêts. L’intérêt composé est préféré pour le long terme (durée > 1 an). 3

4 ➡ Principe de calcul de l’intérêt composé :
I.1. Principes de l’intérêt composé ➡ Principe de calcul de l’intérêt composé : Soient : C0 le capital placé à la date 0 ; n le nombre de périodes ; i le taux d’intérêt nominal ; Cn la valeur acquise par le capital C0 au bout des n périodes. 4

5 Capitalisation à intérêts composés
I.1. Principes de l’intérêt composé Capitalisation à intérêts composés 5

6 ➡ Définition de la capitalisation :
Opération qui consiste en la détermination de la valeur acquise d’un capital C0 placé pendant n périodes. ➥ Valeur acquise, capitalisée, à intérêts composés pendant n périodes : On place un capital de € à un taux i de 9% :quelle sera sa valeur acquise au bout de 7 ans? C7=50000*1.097=91401,95 Exemple... 6

7 I.1. Principes de l’intérêt composé
➡ Définition de l’actualisation : Opération qui consiste en la détermination de la valeur actuelle d’un capital qui ne sera disponible qu’au terme de n périodes. ➥ La valeur actualisée = montant du capital C0 qu’il faut placer au taux i pendant n périodes pour obtenir Cn à terme : Cn = C0 .(1+ i) n C0 = (1+ i) = Cn (1+ i) -n 7

8 ➡ Capitalisation, actualisation : déplacement sur l’axe du temps
I.1. Principes de l’intérêt composé ➡ Capitalisation, actualisation : déplacement sur l’axe du temps Le taux d’intérêt = taux de capitalisation et d’actualisation (par le terme 1+i) La valeur de l’exposant = valeur algébrique du déplacement sur l’axe du temps : positive lorsque le déplacement a lieu dans le sens de l’écoulement du temps négative lorsque le déplacement a lieu dans le sens contraire de l’écoulement du temps 8

9 Actualisation, capitalisation et écoulement du temps
I.1. Principes de l’intérêt composé Actualisation, capitalisation et écoulement du temps 9

10 I.2. Evolution du taux d’intérêt et intérêts composés
Dans la formule des intérêts composés, le taux i est supposé constant sur la période d’observation. Qu’en est-il lorsque le taux varie pendant la période du prêt ? ➥ Les variations de i vont être prises en compte dans les facteurs multiplicatifs (1+i) 10

11 ➥ Valeur acquise d’un capital C0 :
I.2. Evolution du taux d’intérêt et intérêts composés Supposons que le taux d’intérêt soit successivement égal à i1, i2,…, ip pendant n1, n2,…, np sous-périodes, respectivement. avec n= n1+n2+…+np ➥ Valeur acquise d’un capital C0 : 11

12 ➥ Calculons le taux moyen annuel noté
I.2. Evolution du taux d’intérêt et intérêts composés ➥ Calculons le taux moyen annuel noté tel que les intérêts composés qu’il produit soient égaux à ceux initialement obtenus. On peut donc noter : 12

13 I.2. Evolution du taux d’intérêt et intérêts composés
= (1+ i1) (1+ i2 ) n1 n2 …(1+ ip ) n p i =[(1+ i1) (1+ i2 ) … (1+ i2 ) ] -1 n1 13

14 I.3. Taux proportionnel et taux équivalent
Dans la formule des intérêts composés, le nombre de périodes n est supposé être entier, alors qu’il peut être fractionnaire. ➥ Considérons un taux annuel i et supposons que l’année est divisée en k sous-périodes égales (k≥2). 14

15 I.3. Taux proportionnel et taux équivalent
Deux traitements sont proposés afin de prendre en compte des périodes fractionnaires : i’ - Le taux par période proportionnel à i, noté Le taux trimestriel proportionnel à un taux annuel de 8% est: i’4=8/2=2% c’est-à-dire proportionnel au rapport entre les périodes : Exemple... 15

16 I.3. Taux proportionnel et taux équivalent
- Le taux par période équivalent à i, noté produisant une valeur acquise en k sous période équivalente à celle produite par l’intérêt i en une seule période, i.e. tel que : Le taux trimestriel équivalent à un taux annuel i=8% est: (1+i’’4) 4=1,08 i’’4=0,01943 i’’4<i’4 i  = 1+ i -1  Exemple... 16

17 I.4. Exemples d’application
➠ Placement à intérêts capitalisés Correction: 1) C0*(1,05)5=10000 C0=10000/(1,05)5 C0=7835,26 2) 5000*(1+i)6=6894,22 (1+i)6=1,37 1+i=1,055 i=5,5% 1. Quelle somme doit-on placer aujourd’hui au taux annuel de 5% afin de disposer de 10000€ dans 5 ans ? 2. La somme de 5000€ placée 6 ans à intérêts composés rapporte 6894,22€. A quel taux fut placée cette somme ? 17

18 ➠ Equivalence intérêts composés
I.4. Exemples d’application 3. La somme de 6000€ placée au taux d’intérêt de 5,1% (intérêts composés) rapporte à échéance 7320,86€. Quelle fut la durée du placement ? Correction: 3) 6000*1,051n=7320,86 1,051n=1,22 On regarde sur la table financière: n=4 4) On cherche la période pour laquelle les valeurs acquises seront égales: 10000*1,05n=8835*1,06n 1,06n/1,05n=10000/8835 1,00952n=1,13 n=12 ➠ Equivalence intérêts composés 4. Considérons les deux placements à intérêts composés suivants : 10000€ à 5% et 8835€ à 6%. Au bout de combien d’années les deux placements auront-ils la même valeur acquise ? 18

19

20 II. Escompte et équivalence d’effets à intérêt composé
II.1. Escompte à intérêt composé Supposons qu’une entreprise détienne une créance d’un montant C=750000€ à échéance n=5 ans envers un de ses clients. L’échéance à long terme ➡ escompte de l’effet de commerce réalisé à intérêt composé. 20

21 II. Escompte et équivalence d’effets à intérêt
composé La valeur actuelle de l’effet de commerce, V, augmentée des intérêts composés de l’escompte, correspond à la valeur acquise C=750000€ : V = C(1+ i) -n V(1+ i)n = C V =C/(1+ i)n Dans notre exemple : V = (1+ 0,07)-5= ,63€ 21

22 Et, comme dans le cas de l’intérêt simple, l’escompte E = C - V :
II. Escompte et équivalence d’effets à intérêt composé Et, comme dans le cas de l’intérêt simple, l’escompte E = C - V : Dans notre exemple : 22

23 II.2. Equivalence d’effets à intérêt composé
II. Escompte et équivalence d’effets à intérêt composé II.2. Equivalence d’effets à intérêt composé Supposons qu’une entreprise ayant une dette de € à 2 ans envers son fournisseur souhaite reporter d’un an le réglement de cette dette. La valeur actuelle de cette dette est donc : 23

24 II.2. Equivalence d’effets à intérêt composé
Afin d’être équivalents, les deux effets doivent avoir la même valeur actuelle. Soumis au même taux pendant 3 ans cette fois, l’effet de commerce vaut : 24

25 III.1. Principe de l’annuité III. L’annuité
➡ Définition des annuités : Série de versements effectués à intervalles de temps égaux. Une suite d’annuités est définie par : - la date du 1er versement ; - la période ; - le nombre de versements ; - le montant des versements, des termes. 25

26 Le versement d’annuités ➡ objectifs :
III.1. Principe de l’annuité La date d’origine de la suite d’annuités est située une période avant le 1er versement. Le versement d’annuités ➡ objectifs : - soit la constitution d’un capital ; - soit le service d’un emprunt. 26

27 Les annuités peuvent être :
III.1. Principe de l’annuité Les annuités peuvent être : - constantes ou variables ; - de début de période (terme à échoir) ou de fin de période (terme échu). Lorsqu’elles sont de début de période ➡ la date d’origine = date de versement de la 1ère annuité. 27

28 III.2. Les annuités constantes
III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Supposons une série d’annuités de n versements de a€ (avec n>1). Les versements portent intérêt (composé) au taux i. Le montant a correspond donc à l’annuité constante et n au nombre de termes. 28

29 Et la valeur acquise (ou définitive) Vn d’une suite d’annuités =
III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Puisque les annuités portent intérêts composés, la valeur acquise d’une annuité respecte l’équation habituelle : Et la valeur acquise (ou définitive) Vn d’une suite d’annuités = somme des valeurs acquises des n annuités 29

30 Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes
III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes 30

31 III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes
➥ La valeur acquise Vn de la série des n annuités constantes est égale à la somme des valeurs acquises de ces annuités : 31

32 III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes
Vn correspond à la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de 1er terme a et de raison (1+i). correspond à la somme des n-1 premières puissances successives de (1+i). Cette somme est égale à : 32

33 Vn est donc finalement égale à :
III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Vn est donc finalement égale à : Vn = a. (1+ i) -1 (1 + i) - 1 n  Vn = a. (1 + i) -1 i n 33

34 Exemples d’application :
III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Exemples d’application : 1. Calculez la valeur acquise de 15 annuités constantes de 1000€ au taux de capitalisation de 8%. Correction: 1) V15=1000 (1,0815-1)/0,08 V15=27152,11 2) 40 000=a* (1,0720-1)/0,07 28000=a*2,869684 a=975,72€ 2. Calculez l’annuité constante d’une série de 20 annuités, capitalisées au taux de 7%, ayant une valeur acquise de 40000€. 34

35 Exemples d’application :
III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Exemples d’application : 3. Supposons qu’à partir d’une série d’annuités constantes de 998€, capitalisées à 6,5%, on souhaite constituer un capital égal à 50000€. Correction: 3) 998*(1,065n-1)=3250 1,065n-1=3,25651 n=23 ans On cherche le taux mensuel i’’12 équivalent au taux annuel i=10% i.e. i’’12 = 1,101/12-1 i’’12 = 0,00797 V84 = 150*[(i’’12 +1)84-1]/i’’12 V84 = 150 (1,107-1)/0,00797 V84 = 17855€ Combien d’annuités seront nécessaires afin d’atteindre cet objectif ? 4. Calculez la valeur acquise par 84 mensualités de 150€ chacune au taux annuel de 10%. 35

36 III.2.2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes
III.2. Les annuités constantes III.2.2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes La valeur actuelle V0 d’une série d’annuités = somme (à la date d’origine) des valeurs actualisées des différentes annuités. 36

37 Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes
III.2.2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes

38 1 - (1+ i)-n V0 = a (1+ i) + a (1+ i) + a (1+ i) + …+ a (1+ i)
III.2.2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes ➥ La valeur actuelle V0 de la série des n annuités constantes est égale à la somme des valeurs actuelles de ces annuités : V0 = a (1+ i) + a (1+ i) + a (1+ i) + …+ a (1+ i) 2 3 n -1 + a (1+ i) n V0 = a.(1+ i) -n.[1+ (1+ i) + (1+ i)² +…+ (1+ i)n-1] V0 = a.(1+ i) –n [ (1+ i)n - 1] /i  V0 = a. 1 - (1+ i)-n i 38

39 Remarque : La relation entre V0 et Vn
III.2.2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes Remarque : La relation entre V0 et Vn et Si l’on multiplie V0 par (1+i)n, on obtient Vn. On retrouve le relation des intérêts composés. 39

40 Exemples d’application :
III.2.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Exemples d’application : 1. Calculez la valeur actuelle d’une série de 15 annuités constantes de 1000€ au taux de capitalisation de 8%. Correction: 1) V0=1000*(1-1,08-15)/0,08 V0=8559,48 2) 21792,9=a*(1-1,06-20)/0,06 a=1900€ 2. Calculez l’annuité constante d’une série de 20 annuités, capitalisées au taux de 6%, ayant une valeur actuelle de 21792,9€. 40

41 III.3. Les annuités en progression arithmétique
III.3.1. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique Supposons une série de n annuités de montant initial a, progressant d’un montant r par période, et capitalisées au taux i. ➥ Suite d’annuités en progression arithmétique de premier terme a et de raison r. 41

42 On obtient la suite d’annuités suivante :
III.3. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique On obtient la suite d’annuités suivante : ➥ La valeur acquise Vn de cette suite d’annuités en progression arithmétique = somme des valeurs acquises de chacune des annuités. 42

43 III.3. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique
Soit : La suite de termes (1) = valeur acquise d’une suite de n annuités constantes (cf. section ). Sa valeur est égale à : 43

44 Après quelques traitements, la suite de termes (2) vaut :
III.3. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique Soit : Après quelques traitements, la suite de termes (2) vaut : 44

45 Au final, on obtient donc :
III.3. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique Au final, on obtient donc : 45

46 Exemples d’application :
III.3. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique Exemples d’application : 1. Calculez la valeur acquise d’une série de 15 annuités de premier terme a=10000€, progressant par palier de 1000€, et capitalisées au taux de 10%. Correction: 1) V15=( /0,1)(1,115-1)/0,1 – (15*1000)/0,1 V15= € 2) 80000=(10000+r/0,1)(1,18-1)/0,1 – (8*r)/0,1 r=-1000 2. Un épargnant souhaite placer pendant 8 ans à 10% une série d’annuités afin d’obtenir à terme €. Sachant que sa 1ère annuité est de 10000€, quelle doit être la progression arithmétique des annuités ? 46

47 III.3. Les annuités en progression arithmétique
La valeur actuelle V0 peut être déterminée à partir de la valeur acquise Vn puisqu’elles respectent l’équation des intérêts composés : Vn = V0 (1+ i)  V0= Vn (1+ i) n -n 47

48 Exemple d’application :
III.3. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique Exemple d’application : 1. Calculez la valeur actuelle d’une suite de 15 annuités de premier terme a=20 000€, progressant par palier de 1000€, et capitalisées au taux de 10%. Correction: 1) V0=(1-1,10-15)/0,1*( /0, )-15000/0,1 V0=7,60608*( ) V0=192273,60€ 48

49 III.4. Les annuités en progression géométrique
III.4.1. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression géométrique Supposons une série de n annuités de montant initial a, progressant de x % par période, et capitalisées au taux i. ➥ Suite d’annuités en progression géométrique de premier terme a et de raison q=(1+x). 49

50 On obtient la suite d’annuités suivante :
III.4. Valeur acquise d’une suite d’annuités en progression géométrique On obtient la suite d’annuités suivante : ➥ La valeur acquise de cette suite d’annuités en progression géométrique est donc égale à : 50

51 Cette somme est égale à :
III.4. Valeur acquise d’une suite d’annuités en progression géométrique La somme (1) correspond à la somme des n-1 premières puissances successives de q/(1+i) Cette somme est égale à : 51

52

53 progression géométrique
III.4. Valeur acquise d’une suite d’annuités en progression géométrique Cas particulier : lorsque q=(1+i), la formule précédente suivante : prend la forme indéterminée ⚠ Pour lever l’indétermination ➡ revenir à la forme initiale : Vn = a(1+ i)n-1 + a(1+ i)(1+ i)n-2 + a(1+ i)²(1+ i)n-3 +… + a(1+ i)n-2 (1+ i) + a(1+ i)(1+ i)n-1 Vn = a(1+ i)n-1 + a(1+ i)n-1 + a(1+ i)n-1 +… + a(1+ i)n-1 n -1  Vn = na(1+ i) 53

54 progression géométrique
III.4. Valeur acquise d’une suite d’annuités en progression géométrique Au final, annuités égale à : la valeur en acquise d’une série de n est donc progression géométrique qn - (1+ i)n Vn = a. lorsque q≠(1+i) ; q - (1+ i) = n. a(1+ i) n -1 Vn lorsque q=(1+i). 54

55 Exemple d’application :
III.3. Valeur acquise d’une série d’annuités en progression arithmétique Exemple d’application : 1. Calculez les valeurs acquises d’une suite de 15 annuités de valeur initiale 100€, en progression géométrique respective de 4%, 6% et 8%, au taux de capitalisation de 6%. Correction: 1) Nous avons dans cet exercice les deux cas de figures: Quand q=1,04% et q=1,08%, q est différent de 1+i: on applique dés lors, la formule suivante: V15=a*[qn-(1+i)n]/(q-1-i) Ce qui nous donne respectivement pour q=1,04% et q=1,08% V15=2550€ Et V15=3900€ Quand q=1+i=1,06 on applique la formule suivante: V15=a*n*qn-1 Donc: V15=3391,35€ 55

56 III.4. Les annuités en progression géométrique
III.4.2. Valeur actuelle d’une série d’annuités en progression géométrique La valeur actuelle V0 peut être déterminée à partir de la valeur acquise Vn puisqu’elles respectent l’équation des intérêts composés : 56

57 progression géométrique
III.4.2. Valeur actuelle d’une série d’annuités en progression géométrique Lorsque q≠(1+i), on obtient :  V0= qn - (1+ i) n q - (1+ i) -n [a ](1+ i) V0 = Vn (1+ i) -n  V0 = a qn - (1+ i)n (1+ i)n q-(1+ i) Lorsque q= (1+i), on obtient  V0 = [n a(1+ i) n -1 ] (1+ i) -n V0 = Vn (1+ i) -n -1  V0 = na(1+ i) 57

58 Exemple d’application :
III.4.2. Valeur actuelle d’une série d’annuités en progression géométrique Exemple d’application : 1. Calculez le premier terme d’une suite de 10 annuités en progression géométrique de raison 1,03, actualisées au taux de 5,5% et de valeur actuelle de €. Correction: 1) q = 1,03 et 1+i=1,055 sont différents On cherche a: V0=a/(1+i)n*[qn-(1+i)n]/(q-1-i) a=V0* (1+i)n*(q-1-i)/[qn-(1+i)n] a=1172,5 58

59 IV. Les amortissements d’emprunt
Le remboursement d’emprunt s’effectue soit à terme en une seule fois (amortissement in fine*), soit en plusieurs annuités suivant une loi d’amortissement. * Avec versements d’intérêts pendant la durée de l’emprunt. 59

60 IV.1. Amortissement constant
Soit un capital C=100000€ emprunté à 6% et remboursé sur 5 ans. Supposons que le remboursement ➡ amortissement constant = /5 = 20000€. On obtient donc le tableau d’amortissement d’emprunt suivant : 60

61 Amortissement constant d’emprunt
IV.1. Amortissement constant Amortissement constant d’emprunt 61

62 En cas d’amortissement constant ➡ annuités non constantes.
IV.1. Amortissement constant En cas d’amortissement constant ➡ annuités non constantes. Comparons deux annuités consécutives de rang n et n+1 : CRn est le capital restant à amortir à la période n et avec : 62

63 En cas d’amortissement constant ➡ annuités non constantes.
IV.1. Amortissement constant En cas d’amortissement constant ➡ annuités non constantes. Comparons deux annuités consécutives de rang n et n+1 : et avec : 63

64 ➥ Annuités en « régression » arithmétique de raison
IV.1. Amortissement constant ➥ Annuités en « régression » arithmétique de raison et de 1er terme 64

65 Amortissement par annuités
IV.2. Amortissement par annuités constantes La valeur de l’annuité constante est déterminée à partir de la valeur actuelle d’une série d’annuités constantes (cf. III.2.2.) : Soit, pour un capital emprunté C : C = a. 1 - (1+ i)-n i  a = C.i 1 - (1+ i)- n 65

66 Dans notre exemple, on obtient :
66

67 V. Décision d’investissement et actualisation
V.1. Principe de l’évaluation de la rentabilité d’un investissement L’évaluation de la rentabilité d’un investissement ➥ estimer les flux de trésorerie (FT) futurs engendrés pendant la durée de vie du projet 67

68 La décision d’investissement repose sur le principe suivant :
Le projet sera mis en œuvre si les FT engendrés dépassent les dépenses initiales. Cependant, puisque l’évaluation a lieu en t0 ➥ comparaison de la valeur actuelle des FT aux dépenses initiales. 68

69 V.2. Calcul des FdT du projet
V.2.1. Calcul des excédents de trésorerie d’exploitation (ETE) Le calcul des ETE du projet d’investissement est réalisé en deux étapes : 1. L’EBE = ressource obtenue de l’activité d’exploitation du projet. 2. Cependant, l’EBE est ≠ de l’ETE car l’EBE sera réduit par l’impôt (IS), les délais de paiement interviennent dans le calcul de l’ETE. 69

70 1. ➥ Prise en compte de l’IS :
V.2.1. Calcul des excédents de trésorerie d’exploitation (ETE) 1. ➥ Prise en compte de l’IS : L’IS sera calculé non pas sur l’EBE mais sur le résultat d’exploitation du projet (RE) : RE = EBE - DAA. L’EBE après impôt théorique (au taux t=33 1/3 %) sur le RE est donc : 70

71 2. ➥ Prise en compte des délais de réglement :
V.2.1. Calcul des excédents de trésorerie d’exploitation (ETE) 2. ➥ Prise en compte des délais de réglement : L’EBE après impôt théorique est diminué de la variation du BFRE. BFRE=Besoin de fond de roulement d’exploitation (du projet) Le BFRE est l’immobilisation de trésorerie nécessaire afin de faire face aux délais de réglement. Le BFRE devra être financé dès le début de la mise en œuvre (i.e. en t0). 71

72 On obtient donc finalement :
V.2.1. Calcul des excédents de trésorerie d’exploitation (ETE) Ensuite, son augmentation (diminution) diminuera (augmentera) d’autant le flux de trésorerie d’exploitation correspondant. On obtient donc finalement : 72

73 V.2.2. Les différents flux de trésorerie engendrés par le projet
V.2. Calcul des FT du projet d’investissement V.2.2. Les différents flux de trésorerie engendrés par le projet ➡ Initialement : dépenses d’investissements (matériels et immatériels) comptabilisées dans les immobilisations. + immobilisation initiale de trésorerie afin de couvrir le BFRE initial. L’ensemble de ces dépenses initiales sera noté I0. 73

74 ➡ Pendant la durée de vie du projet :
V.2.2. Les différents FT engendrés par le projet ➡ Pendant la durée de vie du projet : On retrouve les ETE calculés dans la section précédente. Les ETE varieront notamment en fonction de l’évolution de l’activité (et des parts de marchés) de l’entreprise. 74

75 ➡ A la fin de la durée de vie du projet :
V.2.2. Les différents FT engendrés par le projet ➡ A la fin de la durée de vie du projet : Des FT positifs sont obtenus : revente éventuelle des actifs immobilisés récupération du BFRE 75

76 V.3. Les critères d’évaluation de la rentabilité et du risque économique
Les deux principaux critères d’évaluation de la rentabilité du projet d’investissement sont la Valeur Actualisée Nette (VAN), le Taux de Rendement Interne (TRI). 76

77 V.3.1. La valeur actualisée nette
V.3. Les critères d’évaluation de la rentabilité et du risque économique du projet d’investissement V.3.1. La valeur actualisée nette a) Définition de la VAN La VAN d’un projet d’investissement est la somme algébrique des valeurs actualisées des FT générés par ce projet : 77

78 V.3.1. La valeur actualisée nette
FT(t) n VAN(a) = " t= 0 (1+ a) t où : - FT(t) les flux de trésorerie engendrés par le projet d’investissement en période t=0, …,n ; n la durée de vie du projet ; a le taux d’actualisation choisi. 78

79 V.3.1. La valeur actualisée nette
Dans la plupart des projets d’investissement, le premier FT est négatif puisqu’il correspond à la dépense initiale. On peut donc noter : 79

80 b) Le taux d’actualisation (a)
V.3.1. La valeur actualisée nette b) Le taux d’actualisation (a) Le choix du taux d’actualisation est fondamental : • Lorsque le projet est considéré comme « sans risque » ➡ a = prix du temps = taux d’intérêt des actifs sans risque (emprunts d’Etat à LT) ; • Lorsque le projet est considéré comme risqué ➡ a = taux d’intérêt LT + prime de risque. 80

81 Les FT du projet vont permettre de
V.3.1. La valeur actualisée nette Les FT du projet vont permettre de rembourser les emprunts réalisés, constituer les recettes de l’entreprise, et rémunérer les associés. Dans cette optique, a = coût du financement du projet, soit le coût du capital applicable au projet. Et à ce titre, le taux d’actualisation renvoie à l’articulation entre la décision d’investissement (CI et CE) et la décision de financement (CFi). 81

82 c) L’interprétation de la VAN
V.3.1. La valeur actualisée nette c) L’interprétation de la VAN La VAN représente l’excès de richesse généré par le projet d’investissement. ➡ Deux interprétations sont proposées : 1. Si l’entreprise dispose des fonds nécessaires pour réaliser le projet ➥ une VAN > 0 ➡ il est préférable pour l’entreprise de réaliser le projet plutôt que de placer les fonds correspondant sur l’horizon envisagé. 82

83 Il s’ensuit les règles de décision suivantes :
V.3.1. La valeur actualisée nette 2. Si l’entreprise ne dispose des fonds nécessaires et doit faire appel à des capitaux extérieurs ➥ une VAN > 0 = surplus qu’apportera le projet d’investissement au-delà des exigences des apporteurs de capitaux. Il s’ensuit les règles de décision suivantes : • Un projet d’inv. ne doit être réalisé que lorsque sa VAN > 0 ; • Si plusieurs projets d’inv. en concurrence ➡ classement des projets par ordre décroissant de VAN. 83

84 Exemple d’application :
Supposons qu’un projet d’investissement implique une dépense initiale de 60000€ et soit supposé rapporter 10000€ par an pendant 10 ans. On suppose qu’au bout de 10 ans le projet sera arrêté et que l’on prévoit de récupérer 5000€ de la revente des actifs engagés et un BFRE de 15000€. Les associés attendent une rentabilité de 10%. Le projet d’investissement sera-t-il mis en œuvre ? 84

85 La VAN du projet d’investissement est égale à :
La VAN est >0, le projet est donc rentable (au taux a=10%) et peut être développé. 85

86 Le projet n’est plus rentable à ce taux.
Finalement les associés souhaitent une rentabilité de 14%. Le projet sera-t-il mis en œuvre ? A taux a=14% ➡ VAN = -2443,97€ Le projet n’est plus rentable à ce taux. 86

87 V.3.2. Le taux de rendement interne
V.3. Les critères d’évaluation de la rentabilité et du risque économique du projet d’investissement V.3.2. Le taux de rendement interne a) Définition du taux de rendement interne (TRI) Le TRI = taux d’actualisation r tel que VAN = 0. 87

88 Dans notre exemple, on cherche donc r tel que :
V.3.2. Le taux de rendement interne Dans notre exemple, on cherche donc r tel que : Dans notre exemple, par tâtonnement, on obtient r=13,0574%. 88

89 V.3.2. Le taux de rendement interne
Remarque : Lorsque les FT sont constants dans le temps, on peut noter : Ainsi, lorsque n→+∞, Soit finalement : 89

90 b) L’interprétation du TRI
V.3.2. Le taux de rendement interne b) L’interprétation du TRI De façon générale, la VAN et le TRI conduisent aux mêmes décisions d’acceptation ou de rejet du projet d’investissement. Le TRI = coût du capital maximal que peut supporter le projet d’investissement. Contrairement à la VAN, le TRI traduit la rentabilité du projet sous forme de taux et non de montant, ce qui est plus parlant. 90

91 V.3. Les critères d’évaluation de la rentabilité et du risque économique du projet d’investissement
V.3.3. La prise en compte du risque économique dans la rentabilité du projet d’investissement Le risque économique du projet d’investissement provient de l’incertitude des FT, soit de celle : • des EBE après impôt ;  • du BFRE initial et des variations du BFRE ; • du coût d’acquisition et de la valeur de liquidation des actifs du projet. 91

92 L’ajustement du taux d’actualisation
V.3.3. La prise en compte du risque économique dans l’évaluation de la rentabilité du projet d’inv. Deux méthodes sont proposées afin de prendre en compte le risque économique (donc l’incertitude) : L’ajustement des FT L’ajustement du taux d’actualisation 92

93 V.3.3. La prise en compte du risque économique dans l’évaluation de la rentabilité du projet d’inv.
a) L’ajustement des FT ➥ Intégration de l’incertitude des FT en les traitant de façon probabiliste grâce au concept d’espérance mathématique. L’espérance mathématique E(X) d’une variable X = somme des différentes valeurs xi de cette variable pondérées par les probabilités pi associées à ces valeurs xi : 93

94 Ainsi, pour les FT, on obtient :
V.3.3. La prise en compte du risque économique dans l’évaluation de la rentabilité du projet d’inv. Ainsi, pour les FT, on obtient : Exemple : Compte tenu de l’incertitude pesant sur les niveaux de CAHT, on propose les 2 scenarii suivants : • Hypothèse basse H1 : les ETE sont 5% inférieurs aux ETE initialement calculés, avec p1(H1)=60% ; • Hypothèse haute H2 : les ETE correspondent aux ETE initiaux, avec p2(H2)=40%. 94

95 b) L’ajustement du taux d’actualisation
V.3.3. La prise en compte du risque économique dans l’évaluation de la rentabilité du projet d’inv. b) L’ajustement du taux d’actualisation ➥ Intégration de l’incertitude des FT en ajustant le taux d’actualisation en fonction du risque économique, par l’ajout d’une prime de risque. En effet, le taux d’actualisation a une double fonction : la rémunération du temps (fonction habituelle), la rémunération du risque. 95

96 avec k = a + prime de risque
V.3.3. La prise en compte du risque économique dans l’évaluation de la rentabilité du projet d’inv. avec k = a + prime de risque Une prime de risque constante pèsera plus fortement sur les FT éloignés. Cela revient à considérer que ce sont eux qui sont les plus risqués. 96

97 Problème essentiel de chacune des 2 méthodes :
V.3.3. La prise en compte du risque économique dans l’évaluation de la rentabilité du projet d’inv. Problème essentiel de chacune des 2 méthodes : Dans la méthode d’ajustement des FT ➡ détermination des hypothèses et des probabilités associées ; Dans la méthode d’ajustement du taux a ➡ détermination de la prime de risque. 97