Exercice 2 : On sait que f est une fonction affine, qu’elle est décroissante, que f(1) = - 5, et que f(-1) et f(2) sont dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1.

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1 Exercice 2 : On sait que f est une fonction affine, qu’elle est décroissante, que f(1) = - 5, et que f(-1) et f(2) sont dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }. Déterminez l’expression de f(x).

2 f est affine donc f(x) = mx + p
affine, décroissante, f(1) = - 5, f(-1) et f(2) dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }. f est affine donc f(x) = mx + p

3 affine, décroissante, f(1) = - 5, f(-1) et f(2) dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }.
f est affine donc f(x) = mx + p mais on ne peut pas calculer m comme un coefficient directeur, ni déterminer p.

4 affine, décroissante, f(1) = - 5, f(-1) et f(2) dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }.
f est affine donc f(x) = mx + p mais on ne peut pas calculer m comme un coefficient directeur, ni déterminer p. f est décroissante donc m ≤ 0 mais il y a une infinité de réels négatifs !

5 affine, décroissante, f(1) = - 5, f(-1) et f(2) dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }.
f est décroissante donc les images sont rangées dans l’ordre inverse des antécédents : x : - 1 < 1 < 2 y : - 8 < - 5 < - 3 < 1 < 2 < 5

6 affine, décroissante, f(1) = - 5, f(-1) et f(2) dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }.
f est décroissante donc les images sont rangées dans l’ordre inverse des antécédents : x : - 1 < 1 < 2 y : - 8 < - 5 < - 3 < 1 < 2 < 5 donc f(2) = - 8

7 affine, décroissante, f(1) = - 5, f(-1) et f(2) dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }.
f est décroissante donc les images sont rangées dans l’ordre inverse des antécédents : x : - 1 < 1 < 2 y : - 8 < - 5 < - 3 < 1 < 2 < 5 donc f(2) = - 8 et avec f(1) = - 5 je peux déterminer m et p

8 affine, décroissante, f(1) = - 5, f(-1) et f(2) dans l’ensemble { - 8 ; - 3 ; 1 ; 2 ; 5 }.
f(2) = - 8 et f(1) = - 5 permettent de calculer le coefficient directeur m, puis l’ordonnée à l’origine p. yB - yA (- 8) – (- 5) m = = = = - 3 xB - xA – y = mx + p et A appartient à la droite (AB) donc yA = mxA + p = (- 3)1 + p p = - 2 Réponse : f(x) = mx + p = - 3x - 2

9 2ème méthode : f est affine donc les variations d’images sont proportionnelles aux variations d’antécédents :

10 Utilisons le théorème de la proportionnalité :
x : - 1 < 1 < 2 donc ∆x : 2 ; 1 y : - 8 < - 5 < - 3 < 1 < 2 < 5 donc ∆y : 3 ; ? ∆x ∆y ? proportionnalité donc ∆y / ∆x = Constante donc -3/1 = ∆y / 2 donc ∆y = -6 = (-5) – f(-1) y : - 8 < - 5 < - 3 < 1 < 2 < 5 donc f(-1) = 1 x - 1 1 2 f(x) ? - 5 - 8

11 Exercice 3 : 1°) Soit g(x) = - 3 x + 5 et h(x) = g ( g(x) )
h est-elle affine ? 2°) On sait que f est une fonction affine, et que f ( f ( f(x) ) ) = 8x – 7 Déterminez f(x).

12 Exercice 3 : 1°) Soit g(x) = - 3 x + 5 et h(x) = g ( g(x) )
h est-elle affine ? h(x) = g ( g(x) ) = - 3 g(x) + 5 = - 3 ( - 3x + 5 ) + 5 = 9x – = 9x – 10 donc h(x) = mx + p donc h est affine.

13 Exercice 3 : 2°) On sait que f est une fonction affine,
et que f ( f ( f(x) ) ) = 8x – 7 Déterminez f(x).

14 Exercice 3 : f est une fonction affine donc f(x) = mx + p
f ( f ( f(x) ) ) = m( f ( f(x) ) ) + p = m( m( f(x) ) + p ) + p = m( m( mx + p ) + p ) + p = m( m²x + mp + p ) + p = (m3x) + (m²p + mp + p) = (8x) – 7 Donc m3 = 8 et m²p + mp + p = - 7 Donc m = 2 et 4p + 2p + p = - 7 donc 7p = - 7 donc p = - 1 Réponse : f(x) = 2x - 1