Présentation d’un exercice sur les matrices

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1 Présentation d’un exercice sur les matrices
Par Julien Tison

2 Énoncé : Deux briques de longueur 4 et de hauteur 2 sont disposées comme sur le schéma. Quelle est la hauteur du sommet supérieur de la brique inclinée?

3 Nous devons tout d’abord fixer des axes sur notre schéma afin de déterminer les coordonnées des sommets des deux rectangles. L’exercice est donc de calculer l’ordonnée du sommet supérieur du rectangle incliné.

4 Nous remarquons que le rectangle incliné est en fait le résultat de la rotation d’un rectangle (vert), identique au rectangle horizontal de départ mais décalé de 1.5 vers la gauche sur l’axe des abscisses . Le point recherché est donc la rotation par un angle B du sommet supérieur droit du rectangle vert.

5 Nous allons donc appliquer la matrice de rotation au point (4 ; 2)
Nous allons donc appliquer la matrice de rotation au point (4 ; 2). Or la matrice de rotation d’angle B est :

6 Nous allons maintenant calculer cos B et sin B à partir du triangle formé par les deux rectangles.

7 Le cosinus d’un angle, dans un triangle rectangle, est le quotient du côté adjacent de l’angle sur l’hypoténuse. Or l’hypoténuse dans ce cas est égale à 2,5 (Pythagore). Le sinus d’un angle, dans un triangle rectangle, est le quotient du côté opposé de l’angle sur l’hypoténuse. La matrice de cette rotation est donc :

8 Appliquons cette matrice de rotation au point (4;2) c’est à dire, faire le produit matriciel :

9 Le point recherché a donc pour coordonnées : (4/5 ; 22/5)
La hauteur de la brique est 22/5.