Chapitre 10 Technologie.

Chapitre 10 Technologie

Technologies La technologie d’une entreprise est le nom donné à l’ensemble des procédés permettant à l’entreprise de convertir certains biens – des inputs – en d’autres biens - des outputs. Par exemple, du travail, un ordinateur, un projecteur, de l’électricité, un amphi et un logiciel sont combinés pour produire cette leçon. Dans ce cours, on supposera toujours qu’un seul output est produit

Technologies Il y a en général plusieurs moyens différents de produire le même bien (par exemple, on peut également produire une leçon de microéconomie en remplaçant l’ordinateur, le logiciel et le projecteur par un tableau et des craies). Y a t-il des procédés « meilleurs » que d’autres? Comment comparer différents procédés? Comment décrire l’ensemble des procédés disponibles à la firme ?

Combinaisons d’inputs
xi désigne la quantité utilisée de l’input i. Une combinaison d’inputs est une liste de quantités d’inputs; (x1, x2, … , xn). E.g. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9).

Fonctions de production
y désigne le niveau d’output. La fonction de production associe à chaque combinaison d’inputs la quantité maximale d’output qu’il est techniquement possible de produire à partir de la dite combinaison.

Fonctions de production
un input, un output Niveau d’output y = f(x) décrit la Fonction de de production. y’ y’ = f(x’) représente le niveau maximal d’output que l ‘on peut produire à partir de x’ unités d’input. x’ x Niveau d’Input

Ensembles de production
Une activité productive est une combinaison d’inputs et un niveau d’output; (x1, … , xn, y). Une activité productive est réalisable si L’ensemble de toutes les activités productives réalisables est appelé ensemble de production.

Un input, un output y = f(x) décrit la fonction de production. Niveau d’output y’ y’ = f(x’) : niveau maximal d’output qui peut être produit de x’ unités d’input. y” y” < f(x’) : niveau d’output réalisable avec x’ unités d’input. x’ x Niveau d’input

L’ensemble de production:

Un input, un output Niveau d’Output y’ L’ensemble de production y” x’ x Niveau d’input

Un input, un output Niveau d’output Activités productives efficaces y’ Ensemble de production y” Activités productives techniquement inefficaces x’ x Niveau d’input

Technologies avec plusieurs inputs
Comment décrire la technologie lorsqu’il y a plusieurs inputs? Considérons le cas où il n’y a que deux inputs, dont les quantités sont notées x1 et x2. La quantité d’output est notée y. Supposons que la fonction de production soit

E.g. le niveau maximal d’output possible à partir de la combinaison d’ input (x1, x2) = (1, 8) est Alors que le niveau maximal d’output possible à partir de (x1,x2) = (8,8) est

Output, y x2 (8,8) (8,1) x1

On appelle isoquante associée au niveau de production y l’ensemble de toutes les combinaisons d’inputs permettant de produire exactement y comme niveau maximal d’output.

Isoquantes avec deux inputs
y º 8 y º 4 x1

Les isoquantes peuvent être représentées graphiquement en ajoutant un axe pour les niveaux d’output level et en « découpant » chaque isoquante à la hauteur du niveau d’output associée à la dite isoquante.

Output, y y º 8 y º 4 x2 x1

L’ajout d’isoquantes supplémentaires fournit une information de plus en plus précise sur la technologie de la firme.

y º 8 y º 6 y º 4 y º 2 x1

Output, y y º 8 y º 6 y º 4 x2 y º 2 x1

Technologies à plusieurs inputs
La collection complète des isoquantes est parfois appelée la carte d’isoquantes. La carte d’isoquantes est équivalente à la fonction de production. E.g.

x2 y x1

y x1

Ensemble d’inputs requis
On appelle l’ensemble des inputs requis à la production de y unités d’output (noté V(y)) l’ensemble de toutes les combinaisons d’inputs permettant au moins de produire y Formellement: V(y) = {(x1,…,xn)Rn+: f(x1,…,xn)  y}

x2 x2 y º 8 I(y) y º 4 x1 x1

x2 x2 V(y) I(y) y º 4 x1 x1

Analogie avec la théorie du consommateur
D’un point de vue mathématique, la fonction de production ressemble à la fonction d’utilité du consommateur La carte d’isoquantes ressemble à la carte d’indifférence Les ensembles d’inputs requis ressemblent aux ensembles des paniers faiblements préférés

Analogie avec la théorie du consommateur
Il y a toutefois une différence essentielle: Les nombres associés par la fonction d’utilité aux courbes d’indifférence n’ont pas d’autre signification que d’ordonner ces courbes de manière conforme aux préférences du consommateur Par contre les nombres associés aux isoquantes par la fonction de production ont une signification plus précise (cardinale) : ce sont des niveaux physiques d’output.

Technologies Cobb-Douglas
Comme pour le consommateur, la fonction de production Cobb-Douglas s’écrit Par ex: avec

x2 Les isoquantes sont hyperboliques, asymptotiques aux axes sans jamais les toucher. x1

x2 Les isoquantes sont hyperboliques, asymptotiques aux axes sans jamais les toucher. > x1

Technologies à coefficients de production fixes (Léontieff)
Une fonction de production Léontieff est de forme E.g. avec

Technologies Léontieff
x2 x1 = 2x2 min{x1,2x2} = 14 7 4 min{x1,2x2} = 8 2 min{x1,2x2} = 4 4 8 14 x1

Technologie Léontieff
Décrit des situations de parfaite complémentarité entre facteurs de production Ex: il faut une pelle et un travailleur pour creuser un trou. Deux pelles et deux travailleurs pour creuser deux trous, etc. Augmenter le nombre de travailleurs sans augmenter le nombre de pelles n’augmentera pas le nombre de trous

Technologies à parfaite substituabilité
Comme pour les préférences du consommateur, une fonction de production à parfaite substituabilité est de forme E.g. avec

Technologies à parfaite substituabilité
x2 x1 + 3x2 = 18 x1 + 3x2 = 36 x1 + 3x2 = 48 8 6 Isoquantes linéaires et parallèles 3 9 18 24 x1

Technologie à parfaite substituabilité
Décrit des situations de parfaite substituabilité entre facteurs de production Ex: On a besoin de heures de travail efficace pour produire des bigoudis sur une chaîne de montage Les femmes (facteur 2) sont plus efficaces que les hommes (facteur 1) au sens ou une heure de travail féminin donne deux heures de travail efficace alors que le taux de conversion du travail masculin en travail efficace est de 1 pour 1

Produit Marginal Physique d’un input
Le produit marginal de l’input mesure la variation de l’output qu’entraîne une variation infinitésimale d’input i,toutes choses égales par ailleurs. Mathématiquement:

Produit marginal physique
E.g. si alors le produit marginal de l’input 1 est

E.g. si alors le produit marginal de l’input 1 est et le produit marginal de l’input 2 est

En général, le produit marginal physique d’un input dépend de la quantité utilisée des autres inputs. E.g. si alors si x2 = 8, Et si x2 = 27 alors

On suppose souvent que le produit marginal physique de l’input i est décroissant par rapport à l’emploi de cet input, toutes choses égales par ailleurs. Formellement:

On justifie usuellement cette décroissance du produit marginal par la loi dite « des rendements décroissants ». On obtient moins de la quarantième heure de travail que de la trente neuvième!

E.g. si alors et

E.g. si alors et Et donc

E.g. si alors et Et donc et

E.g. si alors et Et donc et Les deux produits marginaux sont décroissants.

Rendements d’échelle La notion de produit marginal physique décrit le changement de niveau d’output qui résulte d’un changement (marginal) dans l’emploi d’un seul input. La notion de rendements d’échelle décrit la manière avec laquelle le niveau d’ output est affecté lorsque toutes les quantités d’input sont modifiées dans une même proportion (e.g. les niveaux d’input doublés, ou divisés par deux). Très importante notion pour comprendre l’émergence de grandes firmes

Rendements d’échelle Si, pour chaque combinaison d’inputs (x1,…,xn),
Pour tout tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie décrite par la fonction de production f est l’objet de rendements d’échelle constants. E.g. (k = 2) doubler tous les niveaux d’input Double la quantité maximal d’output Que l’on peut produire.

Rendements d’échelle un input, un output Rendements d’échelle
Niveau d’output y = f(x) 2y’ Rendements d’échelle constants y’ x’ 2x’ x Niveau d’input

Rendements d’échelle Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),
Pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait l’objet de rendements d’échelle décroissants. E.g. (k = 2) doubler le niveau d’emploi de tous les inputs fait moins que doubler la quantité maximale d’output possible.

Rendements d’échelle Un input, un output
Niveau d’output 2f(x’) y = f(x) f(2x’) Rendements d’échelle décroissants f(x’) x’ 2x’ x Niveau d’input

Rendements d’échelle Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),
pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait l’objet de rendements d’échelle croissants. E.g. (k = 2) doubler le niveau de tous les input fait plus que doubler la quantité maximale d’output.

Rendements d’échelle Un input, un output
Niveau d’output Rendements d’ échelle croissants y = f(x) f(2x’) 2f(x’) f(x’) x’ 2x’ x Niveau d’Input

Rendements d’échelle Une technologie peut localement faire montre de différents types de rendements d’échelle. La notion de rendements d’échelle est, de fait, une notion locale

Rendements d’échelle Un input, un output Rendements
d’échelle croissants y = f(x) Rendements d’échelle décroissants x Input

Exemples de Rendements d’échelle
La fonction de production avec parfaite substituabilité est Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la Quantité d’output:

La fonction de production avec parfaite substituabilité est Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la quantité d’output: Cette technologie fait donc l’objet de rendements d’échelle constants.

Exemples de rendements d’échelle
La fonction de production Léontieff: L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieux la production du niveau d’output:

Exemples de rendements d’échelle
La fonction de production Léontieff: L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieux la production du niveau d’output: La technologie Léontieff fait donc l’objet de rendements d’échelle constants.

La fonction de production Cobb-Douglas: L’augmentation proportionnelle des niveaux d’input par k va conduire au niveau d’output:

La fonction de production Cobb-Douglas: L’augmentation proportionnelle des niveaux d’input par k va conduire au niveau d’output: La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet de rendements d’échelle: constants si a1+ … + an = 1

La fonction de production Cobb-Douglas: L’augmentation proportionnelle des niveaux d’input par k va conduire au niveau d’output: La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet de rendements d’échelle: constants si a1+ … + an = 1 croissants si a1+ … + an > 1

La fonction de production Cobb-Douglas: L’augmentation proportionnelle des niveaux d’input par k va conduire au niveau d’output: La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet de rendements d’échelle: constants si a1+ … + an = 1 croissants si a1+ … + an > 1 décroissants si a1+ … + an < 1.

Mesure locale de rendements d’échelle
Pour une technologie donnée, comment connaître les rendements d’échelle dont elle fait l’objet ? La notion d’élasticité d’échelle fournit une réponse à cette question L’élasticité d’échelle donne le taux d’augmentation du niveau d’output qu’entraîne une augmentation proportionnelle d’un pour cent du niveau d’emploi des inputs

Soit une fonction de production f(x1,…,xn) A tout niveau d’emploi des inputs (x1,…,xn) on considère une augmentation proportionnelle de ce niveau d’emploi d’un montant k (proche de 1). Cela définit une fonction g(k) de la manière suivante: g(k)= f(kx1,…,kxn) Dérivons cette fonction g par rapport à k (possible si f est dérivable)

Cette dérivée s’écrit: Si on l’évalue à k = 1, elle s’interprète comme le taux de variation du niveau d’output par rapport à une augmentation infinitésimale proportionnelle du niveau d’emploi des inputs

Une mesure locale d’élasticité d’échelle E serait donc: E > 1 Rendements d’échelle croissants E = 1 Rendements d’échelle constants E < 1 Rendements d’échelle décroissants

Exemple: trouver l’élasticité l’échelle associée à la fonction de production f(x1,x2) = (1+x1)1/2 (1+x2)1/2 Les dérivées partielles de f sont: f1(x1,x2) = ½((1+x1)-1/2 (1+x2)1/2 et f2(x1,x2) = ½((1+x1)1/2 (1+x2)-1/2 On a donc:

Rendements d’échelle Q: Une technologie peut elle faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ?

Rendements d’échelle Q: Une technologie peut-elle faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ? R: Oui. E.g.

Rendements d’échelle donc, cette technologie fait l’objet de rendements d’échelle croissants.

Rendements d’échelle donc, cette technologie fait l’objet de rendements d’échelle croissants. mais est décroissant en x1

Rendements d’échelle donc, cette technologie fait l’objet de rendements d’échelle croissants. mais est décroissant en x1 et est décroissant en x2

Rendements d’échelle Donc, une technologie peut faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants. Pourquoi?

Rendements d’échelle Le produit marginal décrit le taux de variation de l’output par rapport à la variation d’un niveau d’input (toutes choses égales par ailleurs). Le produit marginal décroît parce que les autres inputs restent fixés de sorte que les unités additionnelles de l’input ont de moins d’autres input avec lesquels elles peuvent être combinées.

Rendements d’échelle Lorsque tous les niveaux d’input sont augmentés de manière proportionnelle, il peut ne pas y avoir de réduction des produits marginaux les unités additionnelles de chaque input vont pouvoir être combinées avec des unités additionnelles des autres inputs. Il est donc possible que les rendements d’échelle soient constants ou croissants alors même que la productivité marginale de chaque facteur soit décroissante

Taux marginal de Substitution technique
A quel taux la firme peut-elle substituer un input à un autre sans modifier son niveau de production ?

Taux marginal de substitution technique
yº100 x1

Taux marginal de substitution technique
Pente = taux maximal auquel le niveau d’input 2 peut être réduit lorsque l’input 1 est augmenté et que la firme désire garder constant son niveau de production. La pente de l’ isoquante est donc ce taux marginal de substitution technique x2 yº100 x1

Comment calculer le Taux Marginal de substitution technique ?

Comment calculer le Taux Marginal de Substitution Technique TMST ? On utilise, comme pour le TMS de la théorie du consommateur, le théorème des fonctions implicites

Rappel le théorème des fonctions implicites
Dans un monde à deux inputs, la courbe de l’isoquante associée à un niveau de production y, qui définit une relation entre le niveau d’input 1, x1, et le niveau d’input 2, x2y(x1), est définie par l’identité:

Calcul du TMST par le théorème des fonctions implicites
Si les produits marginaux sont toujours positifs et si la fonction de production est continue, la relation est fonctionnelle (elle associe à toute quantité d’input 1 l’unique quantité d’input 2 qui permet à l’entreprise de produire y)

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)

Taux marginal de substitution technique: Un exemple Cobb-Douglas
donc et Le TMST est donc

Taux marginal de substitution technique; Un exemple Cobb-Douglas

8 x1 4

6 x1 12

Hypothèses sur les Technologies
On suppose souvent d’une technologie qu’elle est monotone, et convexe.

Monotonie Monotonie: Augmenter le niveau d’emploi de n’importe quel input ne réduit jamais l’ output. y y monotone non monotone x x

Convexité Convexité: Si les combinaisons d’ inputs x’ et x” permettent chacune de produire au moins y unités d’output, le mélange tx’ + (1-t)x” des deux combinaisons doit également permettre de produire au moins y unités d’output et, quelque soit 0 < t < 1.

Convexité x2 yº100 x1

Convexité x2 yº120 yº100 x1

Convexité x2 La convexité implique que le
TMST augmente (devienne moins négatif) au fur et à mesure que x1 augmente. x1

Technologies monotones
Plus grande quantité d’output x2 yº200 yº100 yº50 x1

Une distinction importante: Le long terme vs le court terme
Le long terme décrit l’horizon temporel sur lequel l’entreprise n’est pas du tout restreinte en terme de ses choix de combinaisons d’input. Le court terme est un horizon temporel dans lequel l’entreprise est restreinte d’une manière ou d’un autre dans ses choix de combinaisons d’input. Il y a plusieurs horizons de court terme.

Long terme vs court terme
Exemples de restrictions qui peuvent limiter les choix d’activité productive dans le court terme: Incapacité temporaire d’installer ou de détruire un équipement lourd ou une chaîne de montage Obligation légale de satisfaire certaines normes environnementales Obligation légale de satisfaire des exigences en termes de contenu national.

Long terme vs court terme
Quelle type de restrictions l’horizon de court terme impose t-il à la technologie de la firme ? De manière spécifique, supposons que la restriction de court terme fixe le niveau disponible d’input 2. L’input 2 sera donc l’input fixe dans le court terme. L’input 1 restera variable.

Long terme et court terme
x2 y x1

y x2 x1

y x1

y x1 Quatre fonctions de production de court terme.

est la fonction de production de long terme (x1 and x2 sont tous les deux variables). La fonction de production de court terme pour x2 º 1 est La fonction de production de court terme pour x2 º 8 est

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